高中三年數(shù)學公式總結

高中三年數(shù)學公式總結

1.二次函數(shù)

(1)一般式f(x)ax2bxc(a0);對稱軸x=b2.；b4ac0.2a2充要條件

（1）充分條件：若pq，則p是q充分條件.

（2）必要條件：若qp，則p是q必要條件.

（3）充要條件：若pq，且qp，則p是q充要條件.

注：原命題：若ｐ則ｑ.其否命題：非ｐ則非ｑ。其否定題：ｐ則非ｑ3.函數(shù)的單調性

(定義法)(1)設x1x2a,b,x1x2那么

f(x1)f(x2)0f(x)在a,b上是增函數(shù)；

x1x2f(x1)f(x2)0f(x)在a,b上是減函數(shù).(定義法)

x1x2導數(shù)法(2)設函數(shù)yf(x)在某個區(qū)間內可導，如果f(x)0，則f(x)為增函數(shù)；如果f(x)0，則f(x)為減函數(shù).

4.如果函數(shù)f(x)和g(x)都是減函數(shù),則在公共定義域內,和函數(shù)f(x)g(x)也是減函數(shù);如果函數(shù)yf(u)和ug(x)在其對應的定義域上都是減函數(shù),則復合函數(shù)yf[g(x)]是增函數(shù).

5．奇偶函數(shù)的圖象特征

奇函數(shù)的圖象關于原點對稱，偶函數(shù)的圖象關于y軸對稱;反過來，如果一個函數(shù)的圖象關于原點對稱，那么這個函數(shù)是奇函數(shù)；如果一個函數(shù)的圖象關于y軸對稱，那么這個函數(shù)是偶函數(shù)．

6對于函數(shù)yf(x)(xR),f(xa)f(bx)恒成立,則函數(shù)f(x)的對稱軸是

abab;兩個函數(shù)yf(xa)與yf(bx)的圖象關于直線x對稱.22a.若f(x)f(xa),則函數(shù)yf(x)的圖象關于點(,0)對稱;若

2f(x)f(xa),則函數(shù)yf(x)為周期為2a的周期函數(shù).

(1)函數(shù)yf(x)的圖象關于直線xa對稱f(ax)f(ax)f(2ax)f(x).

ab(2)函數(shù)yf(x)的圖象關于直線x對稱f(amx)f(bmx)

2f(abmx)f(mx).

7.若將函數(shù)yf(x)的圖象右移a、上移b個單位，得到函數(shù)yf(xa)b的圖象；若將曲線f(x,y)0的圖象右移a、上移b個單位，得到曲線f(xa,yb)0的圖象.

函數(shù)x8．互為反函數(shù)的兩個函數(shù)的關系

f(a)bf1(b)a

30.分數(shù)指數(shù)冪(1)a(2)amn1nmnam1mn（a0,m,nN，且n1）.（a0,m,nN，且n1）.

a（3）(na)na.

9指數(shù)式與對數(shù)式的互化式

logaNbabN(a0,a1,N0).

10.對數(shù)的換底公式

logmN(a0,且a1,m0,且m1,N0).

logmann推論logamblogab(a0,且a1,m,n0,且m1,n1,N0).

mlogaN.

11平均增長率的問題

如果原來產(chǎn)值的基礎數(shù)為N，平均增長率為p，則對于時間x的總產(chǎn)值y，有

yN(1p)x.

12.數(shù)列的同項公式與前n項的和的關系

n1s1,(數(shù)列{an}的前n項的和為sna1a2an).ansnsn1,n213.等差數(shù)列的通項公式

ana1(n1)ddna1d(nN*)；

其前n項和公式為

n(a1an)n(n1)na1d22d1n2(a1d)n.22sn14.等比數(shù)列的通項公式

ana1qn1a1nq(nN*)；q其前n項的和公式為

a1(1qn),q1sn1q

na,q11a1anq,q1或sn1q.

na,q1115.等比差數(shù)列an:an1qand,a1b(q0)的通項公式為b(n1)d,q1anbqn(db)qn1d；

,q1q1其前n項和公式為

nbn(n1)d,(q1)sn.d1qnd(b1q)q11qn,(q1)ab(1b)n每次還款x元(貸款a元,n次還清,每期利率為b).n(1b)116同角三角函數(shù)的基本關系式

sin2cos21，tan=

17.和角與差角公

sin，tancot1.coscos()coscossinsin

tantantan().

1tantansin()sin()sin2sin2(平方正

弦公式);

cos()cos()cos2sin2.

asinbcos=定,tana2b2sin()(輔助角所在象限由點(a,b)的象限決b).a18.二倍角公式

sin2sincos.

cos2cos2sin22cos2112sin2.

2tantan2.

1tan219.三角函數(shù)的周期公式

函數(shù)ysin(x)，x∈R及函數(shù)ycos(x)，x∈R(A,ω,為常數(shù)，且A≠0，ω＞0)的周期T2；函數(shù)ytan(x)，xk2,kZ(A,ω,為常數(shù)，且A

≠0，ω＞0)的周期T20.正弦定理

.abc2R.sinAsinBsinC52.余弦定理

a2b2c22bccosA;b2c2a22cacosB;c2a2b22abcosC.

21.面積定理（1）S111ahabhbchc（ha、hb、hc分別表示a、b、c邊上的高）.2（2）S111absinCbcsinAcasinB.222..

22.兩向量的夾角公式

cosx1x2y1y2xyxy21212222(a=(x1,y1),b=(x2,y2)).

23.平面兩點間的距離公式

dA,B=|AB|ABAB(x2x1)2(y2y1)2(A(x1,y1)，B(x2,y2)).

24.直線的五種方程

（1）點斜式y(tǒng)y1k(xx1)(直線l過點P1(x1,y1)，且斜率為k)．（2）斜截式y(tǒng)kxb(b為直線l在y軸上的截距).

yy1xx1(y1y2)(P1(x1,y1)、P2(x2,y2)(x1x2)).

y2y1x2x1xy(4)截距式1(a、b分別為直線的橫、縱截距，a、b0)

ab（5）一般式AxByC0(其中A、B不同時為0).

（3）兩點式

；

②l1l2A；1A2B1B2025.點到直線的距離

d|Ax0By0C|AB22(點P(x0,y0),直線l：AxByC0).

（1）圓的標準方程(xa)2(yb)2r2.

（2）圓的一般方程x2y2DxEyF0(DE4F＞0).（3）圓的參數(shù)方程22xarcos.

ybrsinxacosx2y226.橢圓221(ab0)的參數(shù)方程是.

abybsinx2y227.橢圓221(ab0)

abx2y228.雙曲線221(a0,b0)

abx2y2x2y2b.(1）若雙曲線方程為221漸近線方程：220yx.

abaabxyx2y2b(2)若漸近線方程為yx0雙曲線可設為22.

abaab

29拋物線y2px.過焦點弦長CDx12ppx2x1x2p.b24acb230.二次函數(shù)yaxbxca(x)（1）頂(a0)的圖象是拋物線：

2a4ab4acb2b4acb21,)；,)；點坐標為(（2）焦點的坐標為(（3）準線方程是2a4a2a4a4acb21y.

4a231.直線與圓錐曲線相交的弦長公式AB(x1x2)2(y1y2)2或

（弦端點

AB(1k2)(x2x1)2|x1x2|1tan2|y1y2|1cot2ykxb2A(x1,y1),B(x2,y2)，由方程消去y得到axbxc0，0,為直線ABF(x,y)0的傾斜角，k為直線的斜率）.

1

函數(shù)yf(x)在點x0處的導數(shù)是曲線yf(x)在P(x0,f(x0))處的切線的斜率

f(x0)，相應的切線方程是yy0f(x0)(xx0).

192.幾種常見函數(shù)的導數(shù)

(1)C0（C為常數(shù)）.(2)(xn)"nxn1(nQ).(3)(sinx)cosx.(4)(cosx)sinx.(5)(lnx)11ex；(loga)loga.xx(6)(ex)ex;(ax)axlna

9.導數(shù)的運算法則

（1）(uv)"u"v".（2）(uv)"u"vuv".

u"u"vuv"(v0).（3）()vv2197.復數(shù)的相等

abicdiac,bd.（a,b,c,dR）

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高中三年數(shù)學公式總結

1.元素與集合的關系

xAxCUA,xCUAxA.2.德摩根公式

CU(AB)CUACUB;CU(AB)CUACUB.

3.包含關系

ABAABBABCUBCUA

ACUBCUABR

4.容斥原理

card(AB)cardAcardBcard(AB)

card(ABC)cardAcardBcardCcard(AB)

card(AB)card(BC)card(CA)card(ABC).

nnn5．集合{a1,a2,,an}的子集個數(shù)共有2個；真子集有21個；非空子集有21

個；非空的真子集有22個.

6.二次函數(shù)的解析式的三種形式

(1)一般式f(x)ax2bxc(a0);(2)頂點式f(x)a(xh)2k(a0);(3)零點式f(x)a(xx1)(xx2)(a0).7.解連不等式Nf(x)M常有以下轉化形式

nNf(x)M[f(x)M][f(x)N]0

MNMNf(x)N|0|f(x)22Mf(x)11.f(x)NMN8.方程f(x)0在(k1,k2)上有且只有一個實根,與f(k1)f(k2)0不等價,前者是后

者的一個必要而不是充分條件.特別地,方程axbxc0(a0)有且只有一個實根在

2(k1,k2)內,等價于f(k1)f(k2)0,或f(k1)0且k1k1k2bk2.22a9.閉區(qū)間上的二次函數(shù)的最值

kk2b1,或f(k2)0且2a22二次函數(shù)f(x)axbxc(a0)在閉區(qū)間p,q上的最值只能在xb處及區(qū)2a；

間的兩端點處取得，具體如下：

(1)當a>0時，若xbbp,q，()nmf(,)()fx則fxi2a2axmaxma(f,)p()fqbp,q，f(x)maxmaxf(p),f(q)，f(x)minminf(p),f(q).2abp,q，則f(xm(2)當axbp,q，則f(x)maxmaxf(p),f(q)，f(x)minminf(p),f(q).2a10.一元二次方程的實根分布

依據(jù)：若f(m)f(n)0，則方程f(x)0在區(qū)間(m,n)內至少有一個實根.設f(x)x2pxq，則

p24q0（1）方程f(x)0在區(qū)間(m,)內有根的充要條件為f(m)0或p；

m2f(m)0f(n)0（2）方程f(x)0在區(qū)間(m,n)內有根的充要條件為f(m)f(n)0或p24q0mpn2f(m)0f(n)0或或；af(n)0af(m)0p24q0（3）方程f(x)0在區(qū)間(,n)內有根的充要條件為f(m)0或p.

m211.定區(qū)間上含參數(shù)的二次不等式恒成立的條件依據(jù)

(1)在給定區(qū)間(,)的子區(qū)間L（形如,，,，,不同）上含參數(shù)的二次不等式f(x,t)0(t為參數(shù))恒成立的充要條件是f(x,t)min0(xL).

(2)在給定區(qū)間(,)的子區(qū)間上含參數(shù)的二次不等式f(x,t)0(t為參數(shù))恒成立的充要條件是f(x,t)man0(xL).

a0a042(3)f(x)axbxc0恒成立的充要條件是b0或2.

c0b4ac012.真值表ｐｑ非ｐｐ或ｑｐ且ｑ真真假真真真假假真假假真真真假假假真假假13.常見結論的否定形式原結論反設詞原結論是不是至少有一個都是不都是至多有一個大于不大于至少有n個小于不小于至多有n個對所有x，存在某x，p或q成立不成立對任何x，存在某x，p且q不成立成立

反設詞一個也沒有至少有兩個至多有（n1）個至少有（n1）個p且qp或q14.四種命題的相互關系

原命題互逆逆命題若ｐ則ｑ若ｑ則ｐ互互互為為互否否逆逆否否否命題逆否命題若非ｐ則非ｑ互逆若非ｑ則非ｐ15.充要條件

（1）充分條件：若pq，則p是q充分條件.

（2）必要條件：若qp，則p是q必要條件.

（3）充要條件：若pq，且qp，則p是q充要條件.

注：如果甲是乙的充分條件，則乙是甲的必要條件；反之亦然.16.函數(shù)的單調性

(1)設x1x2a,b,x1x2那么

f(x1)f(x2)0f(x)在a,b上是增函數(shù)；

x1x2f(x1)f(x2)0f(x)在a,b上是減函數(shù).(x1x2)f(x1)f(x2)0x1x2(2)設函數(shù)yf(x)在某個區(qū)間內可導，如果f(x)0，則f(x)為增函數(shù)；如果f(x)0，則f(x)為減函數(shù).

17.如果函數(shù)f(x)和g(x)都是減函數(shù),則在公共定義域內,和函數(shù)f(x)g(x)也是減函數(shù);如果函數(shù)yf(u)和ug(x)在其對應的定義域上都是減函數(shù),則復合函數(shù)yf[g(x)]是增函數(shù).

(x1x2)f(x1)f(x2)018．奇偶函數(shù)的圖象特征

奇函數(shù)的圖象關于原點對稱，偶函數(shù)的圖象關于y軸對稱;反過來，如果一個函數(shù)的圖象關于原點對稱，那么這個函數(shù)是奇函數(shù)；如果一個函數(shù)的圖象關于y軸對稱，那么這個函數(shù)是偶函數(shù)．

19.若函數(shù)yf(x)是偶函數(shù)，則f(xa)f(xa)；若函數(shù)yf(xa)是偶函數(shù)，則f(xa)f(xa).

20.對于函數(shù)yf(x)(xR),f(xa)f(bx)恒成立,則函數(shù)f(x)的對稱軸是函數(shù)xabab;兩個函數(shù)yf(xa)與yf(bx)的圖象關于直線x對稱.22a21.若f(x)f(xa),則函數(shù)yf(x)的圖象關于點(,0)對稱;若

2f(x)f(xa),則函數(shù)yf(x)為周期為2a的周期函數(shù).

22．多項式函數(shù)P(x)anxnan1xn1a0的奇偶性

多項式函數(shù)P(x)是奇函數(shù)P(x)的偶次項(即奇數(shù)項)的系數(shù)全為零.多項式函數(shù)P(x)是偶函數(shù)P(x)的奇次項(即偶數(shù)項)的系數(shù)全為零.23.函數(shù)yf(x)的圖象的對稱性

(1)函數(shù)yf(x)的圖象關于直線xa對稱f(ax)f(ax)

f(2ax)f(x).(2)函數(shù)yf(x)的圖象關于直線xab對稱f(amx)f(bmx)2f(abmx)f(mx).

24.兩個函數(shù)圖象的對稱性

(1)函數(shù)yf(x)與函數(shù)yf(x)的圖象關于直線x0(即y軸)對稱.(2)函數(shù)yf(mxa)與函數(shù)yf(bmx)的圖象關于直線xab對稱.2m(3)函數(shù)yf(x)和yf1(x)的圖象關于直線y=x對稱.

25.若將函數(shù)yf(x)的圖象右移a、上移b個單位，得到函數(shù)yf(xa)b的圖象；若將曲線f(x,y)0的圖象右移a、上移b個單位，得到曲線f(xa,yb)0的圖象.

26．互為反函數(shù)的兩個函數(shù)的關系

f(a)bf1(b)a.

27.若函數(shù)yf(kxb)存在反函數(shù),則其反函數(shù)為y11[f(x)b],并不是ky[f1(kxb),而函數(shù)y[f1(kxb)是y1[f(x)b]的反函數(shù).k28.幾個常見的函數(shù)方程

(1)正比例函數(shù)f(x)cx,f(xy)f(x)f(y),f(1)c.

(2)指數(shù)函數(shù)f(x)ax,f(xy)f(x)f(y),f(1)a0.

(3)對數(shù)函數(shù)f(x)logax,f(xy)f(x)f(y),f(a)1(a0,a1).

(4)冪函數(shù)f(x)x,f(xy)f(x)f(y),f"(1).

(5)余弦函數(shù)f(x)cosx,正弦函數(shù)g(x)sinx，f(xy)f(x)f(y)g(x)g(y)，

f(0)1,limx0g(x)1.x29.幾個函數(shù)方程的周期(約定a>0)

（1）f(x)f(xa)，則f(x)的周期T=a；（2）f(x)f(xa)0，

1(f(x)0)，f(x)1或f(xa)(f(x)0),

f(x)12或f(x)f(x)f(xa),(f(x)0,1),則f(x)的周期T=2a；21(f(x)0)，則f(x)的周期T=3a；(3)f(x)1f(xa)f(x1)f(x2)(4)f(x1x2)且f(a)1(f(x1)f(x2)1,0|x1x2|2a)，則

1f(x1)f(x2)f(x)的周期T=4a；

(5)f(x)f(xa)f(x2a)f(x3a)f(x4a)

f(x)f(xa)f(x2a)f(x3a)f(x4a),則f(x)的周期T=5a；(6)f(xa)f(x)f(xa)，則f(x)的周期T=6a.

或f(xa)30.分數(shù)指數(shù)冪(1)a(2)amn1nmnam1mn（a0,m,nN，且n1）.（a0,m,nN，且n1）.

a31．根式的性質（1）(na)na.

（2）當n為奇數(shù)時，nana；當n為偶數(shù)時，nan|a|32．有理指數(shù)冪的運算性質(1)arasars(a0,r,sQ).(2)(ar)sars(a0,r,sQ).

(3)(ab)rarbr(a0,b0,rQ).

p

注：若a＞0，p是一個無理數(shù)，則a表示一個確定的實數(shù)．上述有理指數(shù)冪的運算性質，對于無理數(shù)指數(shù)冪都適用.

33.指數(shù)式與對數(shù)式的互化式

a,a0.

a,a0logaNbabN(a0,a1,N0).

34.對數(shù)的換底公式

logmN(a0,且a1,m0,且m1,N0).

logmann推論logamblogab(a0,且a1,m,n0,且m1,n1,N0).

mlogaN35．對數(shù)的四則運算法則

若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，則(1)loga(MN)logaMlogaN;

MlogaMlogaN;N(3)logaMnnlogaM(nR).

(2)loga36.設函數(shù)f(x)logm(ax2bxc)(a0),記b4ac.若f(x)的定義域為

2R,則a0，且0;若f(x)的值域為R,則a0，且0.對于a0的情形,需要

單獨檢驗.

37.對數(shù)換底不等式及其推廣

1,則函數(shù)ylogax(bx)a11(1)當ab時,在(0,)和(,)上ylogax(bx)為增函數(shù).

aa11)和(,)上ylogax(bx)為減函數(shù).，(2)當ab時,在(0,aa若a0,b0,x0,x推論:設nm1，p0，a0，且a1，則（1）logmp(np)logmn.（2）logamloganloga2mn.238.平均增長率的問題

如果原來產(chǎn)值的基礎數(shù)為N，平均增長率為p，則對于時間x的總產(chǎn)值y，有

yN(1p)x.

39.數(shù)列的同項公式與前n項的和的關系

n1s1,(數(shù)列{an}的前n項的和為sna1a2an).ansnsn1,n240.等差數(shù)列的通項公式

ana1(n1)ddna1d(nN*)；

其前n項和公式為

n(a1an)n(n1)na1d22d1n2(a1d)n.22sn41.等比數(shù)列的通項公式

ana1qn1a1nq(nN*)；q其前n項的和公式為

a1(1qn),q1sn1q

na,q11a1anq,q1或sn1q.

na,q1142.等比差數(shù)列an:an1qand,a1b(q0)的通項公式為

b(n1)d,q1anbqn(db)qn1d；

,q1q1其前n項和公式為

nbn(n1)d,(q1)sn.d1qnd(b)n,(q1)1qq11q43.分期付款(按揭貸款)

ab(1b)n每次還款x元(貸款a元,n次還清,每期利率為b).n(1b)144．常見三角不等式（1）若x(0,2)，則sinxxtanx.(2)若x(0,)，則1sinxcosx2.2(3)|sinx||cosx|1.

45.同角三角函數(shù)的基本關系式

sin2cos21，tan=

46.正弦、余弦的誘導公式

sin，tancot1.cos(n為偶數(shù))(n為奇數(shù))(n為偶數(shù))(n為奇數(shù))nn(1)2sin,sin()n12(1)2cos,

n2cos,n(1)cos()n12(1)2sin,47.和角與差角公式

sin()sincoscossin;

cos()coscossinsin;

tantantan().

1tantansin()sin()sin2sin2(平方正弦公式);

cos()cos()cos2sin2.

asinbcos=

b定,tan).

a48.二倍角公式

a2b2sin()(輔助角所在象限由點(a,b)的象限決

sin2sincos.

cos2cos2sin22cos2112sin2.

2tantan2.

1tan249.三倍角公式

sin33sin4sin34sinsin()sin().

33cos34cos33cos4coscos()cos()33.

3tantan3tan3tantan()tan().

13tan23350.三角函數(shù)的周期公式

函數(shù)ysin(x)，x∈R及函數(shù)ycos(x)，x∈R(A,ω,為常數(shù)，且A≠0，ω＞0)的周期T2；函數(shù)ytan(x)，xk2,kZ(A,ω,為常數(shù)，且A

≠0，ω＞0)的周期T.51.正弦定理

abc2R.sinAsinBsinC52.余弦定理

a2b2c22bccosA;b2c2a22cacosB;c2a2b22abcosC.

53.面積定理

111ahabhbchc（ha、hb、hc分別表示a、b、c邊上的高）.222111（2）SabsinCbcsinAcasinB.

222221(|OA||OB|)(OAOB).(3)SOAB2（1）S54.三角形內角和定理

在△ABC中，有ABCC(AB)

CAB2C22(AB).22255.簡單的三角方程的通解

sinxaxk(1)karcsina(kZ,|a|1).cosxax2karccosa(kZ,|a|1).

tanxaxkarctana(kZ,aR).

特別地,有

sinsink(1)k(kZ).

coscos2k(kZ).

tantank(kZ).

56.最簡單的三角不等式及其解集

sinxa(|a|1)x(2karcsina,2karcsina),kZ.

sinxa(|a|1)x(2karcsina,2karcsina),kZ.cosxa(|a|1)x(2karccosa,2karccosa),kZ.

cosxa(|a|1)x(2karccosa,2k2arccosa),kZ.

tanxa(aR)x(karctana,k2),kZ.

tanxa(aR)x(k2,karctana),kZ.

57.實數(shù)與向量的積的運算律設λ、μ為實數(shù)，那么

(1)結合律：λ(μa)=(λμ)a;

(2)第一分配律：(λ+μ)a=λa+μa;(3)第二分配律：λ(a+b)=λa+λb.58.向量的數(shù)量積的運算律：(1)ab=ba（交換律）;(2)（a）b=（ab）=ab=a（b）;(3)（a+b）c=ac+bc.59.平面向量基本定理

如果e1、e2是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任一向量，有且只有一對實數(shù)λ1、λ2，使得a=λ1e1+λ2e2．

不共線的向量e1、e2叫做表示這一平面內所有向量的一組基底．60．向量平行的坐標表示

設a=(x1,y1),b=(x2,y2)，且b0，則ab(b0)x1y2x2y10.53.a與b的數(shù)量積(或內積)ab=|a||b|cosθ．61.ab的幾何意義

數(shù)量積ab等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘積．62.平面向量的坐標運算

(1)設a=(x1,y1),b=(x2,y2)，則a+b=(x1x2,y1y2).

(3)設A(x1,y1)，B(x2,y2),則ABOBOA(x2x1,y2y1).

(4)設a=(x,y),R，則a=(x,y).

(5)設a=(x1,y1),b=(x2,y2)，則ab=(x1x2y1y2).

63.兩向量的夾角公式

(2)設a=(x1,y1),b=(x2,y2)，則a-b=(x1x2,y1y2).

cosx1x2y1y2xyxy21212222(a=(x1,y1),b=(x2,y2)).

64.平面兩點間的距離公式

dA,B=|AB|ABAB(x2x1)2(y2y1)2(A(x1,y1)，B(x2,y2)).

65.向量的平行與垂直

設a=(x1,y1),b=(x2,y2)，且b0，則A||bb=λax1y2x2y10.ab(a0)ab=0x1x2y1y20.66.線段的定比分公式

設P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，P(x,y)是線段PP12的分點,是實數(shù)，且PP1PP2，則

x1x2xOP11OP2OPyy12y111t（）.(1t)OPOPtOP12167.三角形的重心坐標公式

△ABC三個頂點的坐標分別為A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3),則△ABC的重心的坐標是G(x1x2x3y1y2y3,).3368.點的平移公式

"注:圖形F上的任意一點P(x，y)在平移后圖形F上的對應點為P(x,y)，且PP的坐標為(h,k).

""x"xhxx"h"OPOPPP.""yykyyk"""69.“按向量平移”的幾個結論（1）點P(x,y)按向量a=(h,k)平移后得到點P"(xh,yk).

(2)函數(shù)yf(x)的圖象C按向量a=(h,k)平移后得到圖象C,則C的函數(shù)解析式為yf(xh)k.

(3)圖象C按向量a=(h,k)平移后得到圖象C,若C的解析式y(tǒng)f(x),則C的函數(shù)解析式為yf(xh)k.

""(4)曲線C:f(x,y)0按向量a=(h,k)平移后得到圖象C,則C的方程為

"""".f(xh,yk)0(5)向量m=(x,y)按向量a=(h,k)平移后得到的向量仍然為m=(x,y).

70.三角形五“心”向量形式的充要條件

設O為ABC所在平面上一點，角A,B,C所對邊長分別為a,b,c，則

222（1）O為ABC的外心OAOBOC.

（2）O為ABC的重心OAOBOC0.

（3）O為ABC的垂心OAOBOBOCOCOA.

（4）O為ABC的內心aOAbOBcOC0.

（5）O為ABC的A的旁心aOAbOBcOC.

71.常用不等式：

22（1）a,bRab2ab(當且僅當a＝b時取“=”號)．

abab(當且僅當a＝b時取“=”號)．2（3）a3b3c33abc(a0,b0,c0).

（2）a,bR（4）柯西不等式

(a2b2)(c2d2)(acbd)2,a,b,c,dR.

（5）ababab.72.極值定理

已知x,y都是正數(shù)，則有

（1）若積xy是定值p，則當xy時和xy有最小值2p；（2）若和xy是定值s，則當xy時積xy有最大值

2212s.4推廣已知x,yR，則有(xy)(xy)2xy（1）若積xy是定值,則當|xy|最大時,|xy|最大；當|xy|最小時,|xy|最小.

（2）若和|xy|是定值,則當|xy|最大時,|xy|最�。划攟xy|最小時,|xy|最大.

73.一元二次不等式axbxc0(或0)(a0,b4ac0)，如果a與

22ax2bxc同號，則其解集在兩根之外；如果a與ax2bxc異號，則其解集在兩根之

間.簡言之：同號兩根之外，異號兩根之間.

x1xx2(xx1)(xx2)0(x1x2)；xx1,或xx2(xx1)(xx2)0(x1x2).

74.含有絕對值的不等式當a>0時，有

xax2aaxa.

xax2a2xa或xa.

75.無理不等式（1）（2）（3）f(x)0.f(x)g(x)g(x)0f(x)g(x)f(x)0f(x)0.f(x)g(x)g(x)0或g(x)0f(x)[g(x)]2f(x)0.f(x)g(x)g(x)0f(x)[g(x)]276.指數(shù)不等式與對數(shù)不等式(1)當a1時,

af(x)ag(x)f(x)g(x);

f(x)0logaf(x)logag(x)g(x)0.

f(x)g(x)(2)當0a1時,

af(x)ag(x)f(x)g(x);

f(x)0logaf(x)logag(x)g(x)0

f(x)g(x)77.斜率公式

ky2y1（P1(x1,y1)、P2(x2,y2)）.

x2x178.直線的五種方程

k（1）點斜式y(tǒng)y1k(xx1)(直線l過點P1(x1,y1)，且斜率為)．（2）斜截式y(tǒng)kxb(b為直線l在y軸上的截距).

yy1xx1(y1y2)(P1(x1,y1)、P2(x2,y2)(x1x2)).

y2y1x2x1xy(4)截距式1(a、b分別為直線的橫、縱截距，a、b0)

ab（5）一般式AxByC0(其中A、B不同時為0).

（3）兩點式

79.兩條直線的平行和垂直

(1)若l1:yk1xb1，l2:yk2xb2①l1||l2k1k2,b1b2;②l1l2k1k21.

(2)若l1:A1xB1yC10,l2:A2xB2yC20,且A1、A2、B1、B2都不為零,①l1||l2A1B1C1；A2B2C②l1l2A；1A2B1B2080.夾角公式

k2k1|.

1k2k1(l1:yk1xb1，l2:yk2xb2,k1k21)

ABA2B1(2)tan|12|.

A1A2B1B2(l1:A).1xB1yC10,l2:A2xB2yC20,A1A2B1B20直線l1l2時，直線l1與l2的夾角是.

281.l1到l2的角公式

kk1(1)tan2.

1k2k1(l1:yk1xb1，l2:yk2xb2,k1k21)

ABA2B1(2)tan12.

A1A2B1B2(l1:A).1xB1yC10,l2:A2xB2yC20,A1A2B1B20直線l1l2時，直線l1到l2的角是.

2(1)tan|82．四種常用直線系方程

(1)定點直線系方程：經(jīng)過定點P0(x0,y0)的直線系方程為yy0k(xx0)(除直線

xx0),其中k是待定的系數(shù);經(jīng)過定點P0(x0,y0)的直線系方程為A(xx0)B(yy0)0,其中A,B是待定的系數(shù)．

(2)共點直線系方程：經(jīng)過兩直線l1:A1xB1yC10,l2:A2xB2yC20的交點的直線系方程為(A1xB1yC1)(A2xB2yC2)0(除l2)，其中λ是待定的系數(shù)．

(3)平行直線系方程：直線ykxb中當斜率k一定而b變動時，表示平行直線系方程．與直線AxByC0平行的直線系方程是AxBy0(0)，λ是

參變量．

(4)垂直直線系方程：與直線AxByC0(A≠0，B≠0)垂直的直線系方程是

BxAy0,λ是參變量．

83.點到直線的距離

AB84.AxByC0或0所表示的平面區(qū)域

設直線l:AxByC0，則AxByC0或0所表示的平面區(qū)域是：若B0，當B與AxByC同號時，表示直線l的上方的區(qū)域；當B與AxByC異號時，表示直線l的下方的區(qū)域.簡言之,同號在上,異號在下.

若B0，當A與AxByC同號時，表示直線l的右方的區(qū)域；當A與AxByC異號時，表示直線l的左方的區(qū)域.簡言之,同號在右,異號在左.

0所表示的平面區(qū)域85.(A1xB1yC1)(A2xB2yC2)0或

設曲線C:(A，則1xB1yC1)(A2xB2yC2)0（A1A2B1B20）

d|Ax0By0C|22(點P(x0,y0),直線l：AxByC0).

(A1xB1yC1)(A2xB2yC2)0或0所表示的平面區(qū)域是：(A1xB1yC1)(A2xB2yC2)0所表示的平面區(qū)域上下兩部分；(A1xB1yC1)(A2xB2yC2)0所表示的平面區(qū)域上下兩部分.

86.圓的四種方程

（1）圓的標準方程(xa)2(yb)2r2.

（2）圓的一般方程x2y2DxEyF0(DE4F＞0).

22xarcos.

ybrsin（4）圓的直徑式方程(xx(圓的直徑的端點是1)(xx2)(yy1)(yy2)0A(x1,y1)、B(x2,y2)).

（3）圓的參數(shù)方程87.圓系方程

(1)過點A(x1,y1),B(x2,y2)的圓系方程是

(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)[(xx1)(y1y2)(yy1)(x1x2)]0

c0是直線(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)(axbyc)0,其中axbyAB的方程,λ是待定的系數(shù)．

(2)過直線l:AxByC0與圓C:x2y2DxEyF0的交點的圓系方程是x2y2DxEyF(AxByC)0,λ是待定的系數(shù)．

22(3)過圓C1:x2y2D1xE1yF10與圓C2:xyD2xE2yF20的交

22點的圓系方程是x2y2D1xE1yF1(xyD2xE2yF2)0,λ是待定的

系數(shù)．

88.點與圓的位置關系

點P(x0,y0)與圓(xa)(yb)r的位置關系有三種若d222(ax0)2(by0)2，則

dr點P在圓外;dr點P在圓上;dr點P在圓內.

89.直線與圓的位置關系

222直線AxByC0與圓(xa)(yb)r的位置關系有三種:

dr相離0;dr相切0;dr相交0.

AaBbC其中d.

22AB90.兩圓位置關系的判定方法

設兩圓圓心分別為O1，O2，半徑分別為r1，r2，O1O2d

dr1r2外離4條公切線;dr1r2外切3條公切線;

r1r2dr1r2相交2條公切線;dr1r2內切1條公切線;0dr1r2內含無公切線.

91.圓的切線方程

(1)已知圓xyDxEyF0．

①若已知切點(x0,y0)在圓上，則切線只有一條，其方程是

D(x0x)E(y0y)F0.22D(x0x)E(y0y)F0表示過兩個切點當(x0,y0)圓外時,x0xy0y22x0xy0y的切點弦方程．

②過圓外一點的切線方程可設為yy0k(xx0)，再利用相切條件求k，這時必有兩條切線，注意不要漏掉平行于y軸的切線．

③斜率為k的切線方程可設為ykxb，再利用相切條件求b，必有兩條切線．

(2)已知圓x2y2r2．

2①過圓上的P點的切線方程為;(x,y)xxyyr00000②斜率為k的圓的切線方程為ykxr1k2.xacosx2y292.橢圓221(ab0)的參數(shù)方程是.

abybsinx2y293.橢圓221(ab0)焦半徑公式

aba2a2PF1e(x)，PF2e(x).

cc94．橢圓的的內外部

x2y2（1）點P(x0,y0)在橢圓221(ab0)的內部abx2y2（2）點P(x0,y0)在橢圓221(ab0)的外部ab95.橢圓的切線方程

22x0y01.a2b222x0y021.2abxxyyx2y2(1)橢圓221(ab0)上一點P(x0,y0)處的切線方程是02021.

ababx2y2（2）過橢圓221(ab0)外一點P(x0,y0)所引兩條切線的切點弦方程是

abx0xy0y21.2abx2y2（3）橢圓221(ab0)與直線AxByC0相切的條件是

abA2a2B2b2c2.

x2y296.雙曲線221(a0,b0)的焦半徑公式

aba2a2PF1|e(x)|，PF2|e(x)|.

cc97.雙曲線的內外部

x2y2(1)點P(x0,y0)在雙曲線221(a0,b0)的內部abx2y2(2)點P(x0,y0)在雙曲線221(a0,b0)的外部ab98.雙曲線的方程與漸近線方程的關系

22x0y021.2ab22x0y01.a2bx2y2x2y2b(1）若雙曲線方程為221漸近線方程：220yx.

abaabxyx2y2b(2)若漸近線方程為yx0雙曲線可設為22.

abaabx2y2x2y2(3)若雙曲線與221有公共漸近線，可設為22（0，焦點在x

abab軸上，0，焦點在y軸上）.

99.雙曲線的切線方程

xxyyx2y2(1)雙曲線221(a0,b0)上一點P(x0,y0)處的切線方程是02021.

ababx2y2（2）過雙曲線221(a0,b0)外一點P(x0,y0)所引兩條切線的切點弦方程是

abx0xy0y21.a2bx2y2C0相切的條件是（3）雙曲線221(a0,b0)與直線AxByabA2a2B2b2c2.

100.拋物線y22px的焦半徑公式

p拋物線y22px(p0)焦半徑CFx0.

2pp過焦點弦長CDx1x2x1x2p.

222y2101.拋物線y2px上的動點可設為P(,y)或P(2pt2,2pt)或P(x,y)，其中

2py22px.

b24acb2(a0)的圖象是拋物線：102.二次函數(shù)yaxbxca(x)（1）頂

2a4ab4acb2b4acb21,)；,)；點坐標為(（2）焦點的坐標為(（3）準線方程是2a4a2a4a4acb21y.

4a2103.拋物線的內外部

(1)點P(x0,y0)在拋物線y22px(p0)的內部y22px(p0).點P(x0,y0)在拋物線y2px(p0)的外部y2px(p0).(2)點P(x0,y0)在拋物線y2px(p0)的內部y2px(p0).點P(x0,y0)在拋物線y2px(p0)的外部y2px(p0).(3)點P(x0,y0)在拋物線x2py(p0)的內部x2py(p0).點P(x0,y0)在拋物線x2py(p0)的外部x2py(p0).(4)點P(x0,y0)在拋物線x2py(p0)的內部x2py(p0).點P(x0,y0)在拋物線x2py(p0)的外部x2py(p0).104.拋物線的切線方程

222222222222(1)拋物線y22px上一點P(x0,y0)處的切線方程是y0yp(xx0).

（2）過拋物線y22px外一點P(x0,y0)所引兩條切線的切點弦方程是y0yp(xx0).（3）拋物線y22px(p0)與直線AxByC0相切的條件是pB22AC.

105.兩個常見的曲線系方程

(1)過曲線f1(x,y)0,f2(x,y)0的交點的曲線系方程是

f1(x,y)f2(x,y)0(為參數(shù)).

x2y221,其中kmax{a2,b2}.當(2)共焦點的有心圓錐曲線系方程2akbkkmin{a2,b2}時,表示橢圓;當min{a2,b2}kmax{a2,b2}時,表示雙曲線.

106.直線與圓錐曲線相交的弦長公式AB(x1x2)2(y1y2)2或

AB(1k2)(x2x1)2|x1x2|1tan2|y1y2|1cot2（弦端點

A(x1,y1),B(x2,y2)，由方程ykxb2消去y得到axbxc0，0,為直線

F(x,y)0AB的傾斜角，k為直線的斜率）.

107.圓錐曲線的兩類對稱問題

（1）曲線F(x,y)0關于點P(x0,y0)成中心對稱的曲線是F(2x0-x,2y0y)0.（2）曲線F(x,y)0關于直線AxByC0成軸對稱的曲線是

F(x2A(AxByC)2B(AxByC),y)0.2222ABAB2108.“四線”一方程

對于一般的二次曲線Ax2BxyCy2DxEyF0，用x0x代x，用y0y代y2，用

x0yxy0xxyy代xy，用0代x，用0代y即得方程

222xyxy0xxyyAx0xB0Cy0yD0E0F0，曲線的切線，切點弦，中點

222弦，弦中點方程均是此方程得到.

109．證明直線與直線的平行的思考途徑（1）轉化為判定共面二直線無交點；（2）轉化為二直線同與第三條直線平行；（3）轉化為線面平行；（4）轉化為線面垂直；（5）轉化為面面平行.

110．證明直線與平面的平行的思考途徑（1）轉化為直線與平面無公共點；（2）轉化為線線平行；（3）轉化為面面平行.

111．證明平面與平面平行的思考途徑（1）轉化為判定二平面無公共點；（2）轉化為線面平行；（3）轉化為線面垂直.

112．證明直線與直線的垂直的思考途徑（1）轉化為相交垂直；（2）轉化為線面垂直；

（3）轉化為線與另一線的射影垂直；（4）轉化為線與形成射影的斜線垂直.113．證明直線與平面垂直的思考途徑

（1）轉化為該直線與平面內任一直線垂直；（2）轉化為該直線與平面內相交二直線垂直；（3）轉化為該直線與平面的一條垂線平行；（4）轉化為該直線垂直于另一個平行平面；（5）轉化為該直線與兩個垂直平面的交線垂直.114．證明平面與平面的垂直的思考途徑（1）轉化為判斷二面角是直二面角；（2）轉化為線面垂直.

115.空間向量的加法與數(shù)乘向量運算的運算律(1)加法交換律：a＋b=b＋a．

(2)加法結合律：(a＋b)＋c=a＋(b＋c)．(3)數(shù)乘分配律：λ(a＋b)=λa＋λb．

116.平面向量加法的平行四邊形法則向空間的推廣始點相同且不在同一個平面內的三個向量之和，等于以這三個向量為棱的平行六面體的以公共始點為始點的對角線所表示的向量.

117.共線向量定理

對空間任意兩個向量a、b(b≠0)，a∥b存在實數(shù)λ使a=λb．

P、A、B三點共線AP||ABAPtABOP(1t)OAtOB.

AB||CDAB、CD共線且AB、CD不共線ABtCD且AB、CD不共線.

推論空間一點P位于平面MAB內的存在有序實數(shù)對x,y,使MPxMAyMB，

或對空間任一定點O，有序實數(shù)對x,y，使OPOMxMAyMB.

119.對空間任一點O和不共線的三點A、B、C，滿足OPxOAyOBzOC（xyzk），則當k1時，對于空間任一點O，總有P、A、B、C四點共面；當k1時，若O平面ABC，則P、A、B、C四點共面；若O平面ABC，則P、A、B、C四點不共

面．

118.共面向量定理

向量p與兩個不共線的向量a、b共面的存在實數(shù)對x,y,使paxby．

A、B、C、D四點共面AD與AB、AC共面ADxAByACOD(1xy)OAxOByOC（O平面ABC）.

120.空間向量基本定理

如果三個向量a、b、c不共面，那么對空間任一向量p，存在一個唯一的有序實數(shù)組x，y，z，使p＝xa＋yb＋zc．

推論設O、A、B、C是不共面的四點，則對空間任一點P，都存在唯一的三個有序實

數(shù)x，y，z，使OPxOAyOBzOC.

121.射影公式

"已知向量AB=a和軸l，e是l上與l同方向的單位向量.作A點在l上的射影A，作B

"點在l上的射影B，則

""AB|AB|cos〈a，e〉=ae

122.向量的直角坐標運算

設a＝(a1,a2,a3)，b＝(b1,b2,b3)則(1)a＋b＝(a1b1,a2b2,a3b3)；(2)a－b＝(a1b1,a2b2,a3b3)；(3)λa＝(a1,a2,a3)(λ∈R)；(4)ab＝a1b1a2b2a3b3；123.設A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，則124．空間的線線平行或垂直

ABOBOA=(x2x1,y2y1,z2z1).

rr設a(x1,y1,z1)，b(x2,y2,z2)，則

x1x2rrrrrraPbab(b0)y1y2；

zz21rrrrabab0x1x2y1y2z1z20.

125.夾角公式

設a＝(a1,a2,a3)，b＝(b1,b2,b3)，則cos〈a，b〉=a1b1a2b2a3b3aaa212223bbb22推論(a1b1a2b2a3b3)2(aaa)(b12b2b3)，此即三維柯西不等式.

212122222323.

126.四面體的對棱所成的角

四面體ABCD中,AC與BD所成的角為,則

|(AB2CD2)(BC2DA2)|cos.

2ACBDrrcos|cosa,b|

rr|x1x2y1y2z1z2||ab|r=r222222|a||b|x1y1z1x2y2z2rroob所成角，a,b分別表示異面直線a,b的方向向量）（其中（090）為異面直線a,

128.直線AB與平面所成角

ABm(m為平面的法向量).arcsin|AB||m|129.若ABC所在平面若與過若AB的平面成的角,另兩邊AC,BC與平面成的角分別是1、2,A、B為ABC的兩個內角，則

127．異面直線所成角

sin21sin22(sin2Asin2B)sin2.

特別地,當ACB90時,有

sin21sin22sin2.

130.若ABC所在平面若與過若AB的平面成的角,另兩邊AC,BC與平面""成的角分別是1、2,A、B為ABO的兩個內角，則

tan21tan22(sin2A"sin2B")tan2.

特別地,當AOB90時,有

sin21sin22sin2.131.二面角l的平面角mnmnarccos或arccos（m，n為平面，的法向量）.

|m||n||m||n|132.三余弦定理

設AC是α內的任一條直線，且BC⊥AC，垂足為C，又設AO與AB所成的角為1，AB與AC所成的角為2，AO與AC所成的角為．則coscos1cos2.

133.三射線定理

若夾在平面角為的二面角間的線段與二面角的兩個半平面所成的角是1,2,與二面角的棱所成的角是θ，則有sin2sin2sin21sin222sin1sin2cos;

|12|180(12)(當且僅當90時等號成立).

134.空間兩點間的距離公式

若A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，則135.點Q到直線l距離

222dA,B=|AB|ABAB(x2x1)(y2y1)(z2z1).

122h(|a||b|)(ab)(點P在直線l上，直線l的方向向量a=PA，向量

|a|b=PQ).

136.異面直線間的距離

|CDn|(l1,l2是兩異面直線，其公垂向量為n，C、D分別是l1,l2上任一點，d為d|n||ABn|（n為平面的法向量，AB是經(jīng)過面的一條斜線，A）.d|n|l1,l2間的距離).

137.點B到平面的距離

138.異面直線上兩點距離公式

dh2m2n22mncos.

222"dhmn2mncosEA,AF.dh2m2n22mncos（EAA"F）.

(兩條異面直線a、b所成的角為θ，其公垂線段AA的長度為h.在直線a、b上分別取兩

"點E、F，AEm,AFn,EFd).139.三個向量和的平方公式

"2222(abc)abc2ab2bc2ca

222abc2|a||b|cosa,b2|b||c|cosb,c2|c||a|cosc,a

140.長度為l的線段在三條兩兩互相垂直的直線上的射影長分別為l1、l2、l3，夾角分

別為1、2、3,則有

2l2l12l2l32cos21cos22cos231sin21sin22sin232.

（立體幾何中長方體對角線長的公式是其特例）.141.面積射影定理

S"S.

cos(平面多邊形及其射影的面積分別是S、S，它們所在平面所成銳二面角的為).142.斜棱柱的直截面

已知斜棱柱的側棱長是l,側面積和體積分別是S斜棱柱側和V斜棱柱,它的直截面的周長和面積分別是c1和S1,則

①S斜棱柱側c1l.②V斜棱柱S1l.

143．作截面的依據(jù)

三個平面兩兩相交，有三條交線，則這三條交線交于一點或互相平行.144．棱錐的平行截面的性質

如果棱錐被平行于底面的平面所截，那么所得的截面與底面相似，截面面積與底面面積的比等于頂點到截面距離與棱錐高的平方比（對應角相等，對應邊對應成比例的多邊形是相似多邊形，相似多邊形面積的比等于對應邊的比的平方）；相應小棱錐與小棱錐的側面積的比等于頂點到截面距離與棱錐高的平方比．

145.歐拉定理(歐拉公式)

VFE2(簡單多面體的頂點數(shù)V、棱數(shù)E和面數(shù)F).

（1）E=各面多邊形邊數(shù)和的一半.特別地,若每個面的邊數(shù)為n的多邊形，則面數(shù)F與棱數(shù)E的關系：E"1nF；21mV.2（2）若每個頂點引出的棱數(shù)為m，則頂點數(shù)V與棱數(shù)E的關系：E146.球的半徑是R，則

4R3,32其表面積S4R．

其體積V147.球的組合體

(1)球與長方體的組合體:

長方體的外接球的直徑是長方體的體對角線長.(2)球與正方體的組合體:

正方體的內切球的直徑是正方體的棱長,正方體的棱切球的直徑是正方體的面對角線長,正方體的外接球的直徑是正方體的體對角線長.(3)球與正四面體的組合體:

棱長為a的正四面體的內切球的半徑為148．柱體、錐體的體積

66a,外接球的半徑為a.1241V柱體Sh（S是柱體的底面積、h是柱體的高）.

31V錐體Sh（S是錐體的底面積、h是錐體的高）.

3149.分類計數(shù)原理（加法原理）Nm1m2mn.150.分步計數(shù)原理（乘法原理）Nm1m2mn.151.排列數(shù)公式

m=n(n1)(nm1)=Ann！*

.(n，m∈N，且mn)．

(nm)！注:規(guī)定0!1.152.排列恒等式

mm1(1）An;(nm1)AnnmAn1;nmmm1（3）AnnAn1;

（2）Anmnn1n（4）nAnAnA1n;mmm1（5）An.1AnmAn(6)1!22!33!nn!(n1)!1.153.組合數(shù)公式

Cmn=

Anmn(n1)(nm1)n！*

==(n∈N，mN，且mn).m12mm！(nm)！Am154.組合數(shù)的兩個性質

mnm(1)Cn=Cn;mm1m(2)Cn+Cn=Cn1.0注:規(guī)定Cn1.

155.組合恒等式

nm1m1Cn;mnmmCn（2）Cn1;nmnm1m（3）CnCn1;

m（1）Cnm（4）

Cr0rrnrn=2;

nrr1（5）CCrr1Crr2CnCn1.012rn(6)CnCnCnCnCn2n.135024(7)CnCnCnCnCnCn2n1.123n(8)Cn2Cn3CnnCnn2n1.r0r110rrr(9)CmCnCmCnCmCnCmn.021222n2n(10)(Cn)(Cn)(Cn)(Cn)C2n.

156.排列數(shù)與組合數(shù)的關系

mm.Anm！Cn157．單條件排列

以下各條的大前提是從n個元素中取m個元素的排列.（1）“在位”與“不在位”

①某（特）元必在某位有An1種；②某（特）元不在某位有AnAn1（補集思想）

1m1m1m1An1An1（著眼位置）An1Am1An1（著眼元素）種.

m1mm1（2）緊貼與插空（即相鄰與不相鄰）kmk①定位緊貼：k(kmn)個元在固定位的排列有AkAnk種.

nk1k②浮動緊貼：n個元素的全排列把k個元排在一起的排法有Ank1Ak種.注：此類問題

常用捆綁法；

③插空：兩組元素分別有k、h個（kh1），把它們合在一起來作全排列，k個的一

hk組互不能挨近的所有排列數(shù)有AhAh1種.

（3）兩組元素各相同的插空

m個大球n個小球排成一列，小球必分開，問有多少種排法？

nAmn1當nm1時，無解；當nm1時，有nCm1種排法.

Ann（4）兩組相同元素的排列：兩組元素有m個和n個，各組元素分別相同的排列數(shù)為Cmn.

158．分配問題

（1）(平均分組有歸屬問題)將相異的m、n個物件等分給m個人，各得n件，其分配方法數(shù)共有NCmnCmnnCmn2nC2nCnnnnnn(mn)!.m(n!)（2）(平均分組無歸屬問題)將相異的mn個物體等分為無記號或無順序的m堆，其分配方法數(shù)共有

nnnnnCmnCmn(mn)!nCmn2n...C2nCn.Nmm!m!(n!)（3）(非平均分組有歸屬問題)將相異的P(P=n1+n2++nm)個物體分給m個人，物件必須被分完，分別得到n1，n2，，nm件，且n1，n2，，nm這m個數(shù)彼此不相等，則

nmn1n2其分配方法數(shù)共有NCpCpCnm!n1...mp!m!.

n1!n2!...nm!（4）(非完全平均分組有歸屬問題)將相異的P(P=n1+n2++nm)個物體分給m個人，物件必須被分完，分別得到n1，n2，，nm件，且n1，n2，，nm這m個數(shù)中分別有a、b、c、個相等，則其分配方法數(shù)有Np!m!.

a!b!c!...n1!n2!...nm!(a!b!c!...)（5）(非平均分組無歸屬問題)將相異的P(P=n1+n2++nm)個物體分為任意的n1，

nmn1n2CpCpCnm!n1...mn2，，nm件無記號的m堆，且n1，n2，，nm這m個數(shù)彼此不相等，則其分配方法數(shù)

p!有N.

n1!n2!...nm!（6）(非完全平均分組無歸屬問題)將相異的P(P=n1+n2++nm)個物體分為任意的n1，n2，，nm件無記號的m堆，且n1，n2，，nm這m個數(shù)中分別有a、b、c、個相等，

p!則其分配方法數(shù)有N.

n1!n2!...nm!(a!b!c!...)（7）(限定分組有歸屬問題)將相異的p（pn1+n2++nm）個物體分給甲、乙、丙，等m個人，物體必須被分完，如果指定甲得n1件，乙得n2件，丙得n3件，時，則無論n1，n2，，nm等m個數(shù)是否全相異或不全相異其分配方法數(shù)恒有

nmn1n2NCpCpCnn1...mp!.

n1!n2!...nm!159．“錯位問題”及其推廣貝努利裝錯箋問題:信n封信與n個信封全部錯位的組合數(shù)為

1111(1)n].2!3!4!n!推廣:n個元素與n個位置,其中至少有m個元素錯位的不同組合總數(shù)為f(n)n![1234f(n,m)n!Cm(n1)!Cm(n2)!Cm(n3)!Cm(n4)!(1)C(np)!(1)C(nm)!ppmmmm

1234pmCmCmCmCmpCmmCmn![11224(1)p(1)m].

AnAnAnAnAnAn160．不定方程x1+x2++xnm的解的個數(shù)

(1)方程x1+x2++xnm（n,mN）的正整數(shù)解有Cn1個.

m1(2)方程x1+x2++xnm（n,mN）的非負整數(shù)解有Cnm1個.

(3)方程x1+x2++xnm（n,mN）滿足條件xik(kN,2in1)的非負整數(shù)解有Cm1(n2)(k1)個.

(4)方程x1+x2++xnm（n,mN）滿足條件xik(kN,2in1)

n11n12n1n2n2n1的正整數(shù)解有Cnm1Cn2Cmnk2Cn2Cmn2k3(1)Cn2Cm1(n2)k個.

n1n1161.二項式定理

0n1n12n22rnrrnn(ab)nCnaCnabCnabCnabCnb;

二項展開式的通項公式

rnrr1，2，n).Tr1Cnab(r0，162.等可能性事件的概率

P(A)m.n163.互斥事件A，B分別發(fā)生的概率的和P(A＋B)=P(A)＋P(B)．

164.n個互斥事件分別發(fā)生的概率的和

P(A1＋A2＋＋An)=P(A1)＋P(A2)＋＋P(An)．165.獨立事件A，B同時發(fā)生的概率P(AB)=P(A)P(B).

166.n個獨立事件同時發(fā)生的概率

P(A1A2An)=P(A1)P(A2)P(An)．167.n次獨立重復試驗中某事件恰好發(fā)生k次的概率

kkPn(k)CnP(1P)nk.

168.離散型隨機變量的分布列的兩個性質（1）P,2,);i0(i1（2）P1P21.169.數(shù)學期望

Ex1P1x2P2xnPn

170.數(shù)學期望的性質

（1）E(ab)aE()b.（2）若～B(n,p),則Enp.(3)若服從幾何分布,且P(k)g(k,p)qk1p，則E171.方差

1.pDx1Ep1x2Ep2xnEpn

172.標準差

222=D.

173.方差的性質

(1)Daba2D；

(2）若～B(n,p)，則Dnp(1p).

(3)若服從幾何分布,且P(k)g(k,p)qk1p，則Dq.p2174.方差與期望的關系

DE2E.

175.正態(tài)分布密度函數(shù)

2fx1e26x2262,x,，式中的實數(shù)μ，（>0）是參數(shù)，分別表

示個體的平均數(shù)與標準差.

176.標準正態(tài)分布密度函數(shù)

x1fxe2,x,.

262177.對于N(,)，取值小于x的概率

xFx.

Px1x0x2Pxx2Pxx1

2Fx2Fx1

xx12.

178.回歸直線方程

nnxixyiyxiyinxybi1ni1n2yabx，其中22.

xxxnxiii1i1aybx179.相關系數(shù)

rxxyyiii122(xx)(yy)iii1i1nnnxxyyiii1n(xi2nx2)(yi2ny2)i1i1nn.|r|≤1，且|r|越接近于1，相關程度越大；|r|越接近于0，相關程度越小.

180.特殊數(shù)列的極限0n（1）limq1n不存在|q|1q1|q|1或q1.

0(kt)aknkak1nk1a0at（2）lim(kt).

nbntbnt1bbtt10k不存在(kt)（3）Slima11qn1qxx0na11q（S無窮等比數(shù)列

aq(|q|1)的和）.

n11181.函數(shù)的極限定理

xx0limf(x)alimf(x)limf(x)a.

xx0182.函數(shù)的夾逼性定理

如果函數(shù)f(x)，g(x)，h(x)在點x0的附近滿足：（1）g(x)f(x)h(x);

（2）limg(x)a,limh(x)a（常數(shù)）,

xx0xx0則limf(x)a.

xx0本定理對于單側極限和x的情況仍然成立.183.幾個常用極限

10，liman0（|a|1）；

nnn11（2）limxx0，lim.

xx0xx0xx0（1）lim184.兩個重要的極限（1）limsinx1；

x0xx1（2）lim1e(e=2.718281845).

xx185.函數(shù)極限的四則運算法則

若limf(x)a，limg(x)b，則

xx0xx0(1)limfxgxab；

xx0xx0(2)limfxgxab;(3)limxx0fxab0.gxbn186.數(shù)列極限的四則運算法則若limana,limbnb，則

n(1)limanbnab；

nn(2)limanbnab；(3)limanab0

nbbnnnn(4)limcanlimclimanca(c是常數(shù)).187.f(x)在x0處的導數(shù)（或變化率或微商）

f(x0)yxx0limf(x0x)f(x0)ylim.

x0xx0x188.瞬時速度

s(t)limss(tt)s(t)lim.

t0tt0t189.瞬時加速度

av(t)limvv(tt)v(t)lim.

t0tt0t190.f(x)在(a,b)的導數(shù)

dydfyf(xx)f(x)f(x)ylimlim.

dxdxx0xx0x191.函數(shù)yf(x)在點x0處的導數(shù)的幾何意義

函數(shù)yf(x)在點x0處的導數(shù)是曲線yf(x)在P(x0,f(x0))處的切線的斜率

f(x0)，相應的切線方程是yy0f(x0)(xx0).

192.幾種常見函數(shù)的導數(shù)(1)C0（C為常數(shù)）.(2)(xn)"nxn1(nQ).(3)(sinx)cosx.(4)(cosx)sinx.(5)(lnx)11ex；(loga)loga.xxxxxx(6)(e)e;(a)alna.

（1）(uv)uv.（2）(uv)uvuv.

""""""193.導數(shù)的運算法則

u"u"vuv"(v0).（3）()vv2194.復合函數(shù)的求導法則

設函數(shù)u(x)在點x處有導數(shù)ux""(x)，函數(shù)yf(u)在點x處的對應點U處有

"""""導數(shù)yuf(u)，則復合函數(shù)yf((x))在點x處有導數(shù)，且yxyuux，或寫作

fx"((x))f"(u)"(x).

195.常用的近似計算公式（當x充小時）

1n1x;1x1x；2n11x；(2)(1x)1x(R)；

1xx(3)e1x；

(1)1x(4)ln(1x)x；

(5)sinxx（x為弧度）；(6)tanxx（x為弧度）；(7)arctanxx（x為弧度）

196.判別f(x0)是極大（�。┲档姆椒ó敽瘮�(shù)f(x)在點x0處連續(xù)時，

（1）如果在x0附近的左側f(x)0，右側f(x)0，則f(x0)是極大值；（2）如果在x0附近的左側f(x)0，右側f(x)0，則f(x0)是極小值.197.復數(shù)的相等

abicdiac,bd.（a,b,c,dR）198.復數(shù)zabi的模（或絕對值）|z|=|abi|=a2b2.199.復數(shù)的四則運算法則

(1)(abi)(cdi)(ac)(bd)i;(2)(abi)(cdi)(ac)(bd)i;(3)(abi)(cdi)(acbd)(bcad)i;(4)(abi)(cdi)acbdbcad2i(cdi0).222cdcd200.復數(shù)的乘法的運算律

對于任何z1,z2,z3C，有交換律:z1z2z2z1.

結合律:(z1z2)z3z1(z2z3).分配律:z1(z2z3)z1z2z1z3.201.復平面上的兩點間的距離公式

d|z1z2|(x2x1)2(y2y1)2（z1x1y1i，z2x2y2i）.

202.向量的垂直

非零復數(shù)z1abi，z2cdi對應的向量分別是OZ1，OZ2，則zOZ1OZ2z1z2的實部為零2為純虛數(shù)|z1z2|2|z1|2|z2|2

z1|z1z2|2|z1|2|z2|2|z1z2||z1z2|acbd0z1iz2(λ為非

零實數(shù)).

203.實系數(shù)一元二次方程的解

實系數(shù)一元二次方程axbxc0，

2bb24ac①若b4ac0,則x1,2;2ab2②若b4ac0,則x1x2;

2a2③若b4ac0，它在實數(shù)集R內沒有實數(shù)根；在復數(shù)集C內有且僅有兩個共軛

2b(b24ac)i2復數(shù)根x(b4ac0).

2a

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