高中數學平面向量知識點總結

高中數學必修4之平面向量

知識點歸納

一.向量的基本概念與基本運算1、向量的概念：

①向量：既有大小又有方向的量向量不能比較大小，但向量的模可以比較大�。�

②零向量：長度為0的向量，記為0，其方向是任意的，0與任意向量平行

③單位向量：模為1個單位長度的向量④平行向量（共線向量）：方向相同或相反的非零向量⑤相等向量：長度相等且方向相同的向量

2、向量加法：設ABa,BCb，則a+b=ABBC=AC（1）0aa0a；（2）向量加法滿足交換律與結合律；

．ABBCCDPQQRAR，但這時必須“首尾相連”

3、向量的減法：①相反向量：與a長度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量②向量減法：向量a加上b的相反向量叫做a與b的差，③作圖法：ab可以表示為從b的終點指向a的終點

的向量（a、b有共同起點）4、實數與向量的積：實數λ與向量a的積是一個向量，記作λa，它的長度與方向規(guī)定如下：

（Ⅰ）aa；（Ⅱ）當0時，λa的方向與a的方向相同；當0時，λa的方向與a的方向

相反；當0時，a0，方向是任意的

5、兩個向量共線定理：向量b與非零向量a共線有且只有一個實數，使得b=a6、平面向量的基本定理：如果e1,e2是一個平面內的兩個不共線向量，那么對這一平面內的任一向量a，有且只有一對實數1,2使：a1e12e2，其中不共線的向量e1,e2叫做表示這一平面內所有向量的一組基底二.平面向量的坐標表示

1平面向量的坐標表示：平面內的任一向量a可表示成axiyj，記作a=(x,y)。

2平面向量的坐標運算：

(1)若ax1,y1,bx2,y2，則abx1x2,y1y2(2)若Ax1,y1,Bx2,y2，則ABx2x1,y2y1

(3)若a=(x,y)，則a=(x,y)

(4)若ax1,y1,bx2,y2，則a//bx1y2x2y10(5)若ax1,y1,bx2,y2，則abx1x2y1y2

若ab，則x1x2y1y三．平面向量的數量積

1兩個向量的數量積：

已知兩個非零向量a與b，它們的夾角為，則ab=abcos叫做a與b的數量積（或內積）規(guī)定0a0ab2向量的投影：bcos=∈R，稱為向量b在a方向上的投影投影的絕對值稱為射影|a|3數量積的幾何意義：ab等于a的長度與b在a方向上的投影的乘積4向量的模與平方的關系：aaa2|a|25乘法公式成立：

aba2abb222222abababab；

222a2abb

6平面向量數量積的運算律：

①交換律成立：abba

②對實數的結合律成立：abababR

③分配律成立：abcacbccab

特別注意：（1）結合律不成立：abcabc；

（2）消去律不成立abac不能（3）ab=0不能

bc

a=0或b=07兩個向量的數量積的坐標運算：

已知兩個向量a(x1,y1),b(x2,y2)，則ab=x1x2y1y201*向量的夾角：已知兩個非零向量a與b，作OA=a,OB=b,則∠AOB=（0180）叫做向量a與b的

夾角x1x2y1y2abcos=cosa,b=2222abx1y1x2y200

當且僅當兩個非零向量a與b同方向時，θ=0，當且僅當a與b反方向時θ=180，同時0與其它任何非零向量

之間不談夾角這一問題

0

9垂直：如果a與b的夾角為90則稱a與b垂直，記作a⊥b10兩個非零向量垂直的充要條件：a⊥bab＝Ox1x2y1y20平面向量數量積的性質

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平面向量知識點總結

第一部分：向量的概念與加減運算，向量與實數的積的運算。一．向量的概念：

1．向量：向量是既有大小又有方向的量叫向量。2．向量的表示方法：（1）幾何表示法：點射線有向線段具有一定方向的線段有向線段的三要素：起點、方向、長度記作（注意起訖）（2）字母表示法：AB可表示為a

3.模的概念：向量AB的大小長度稱為向量的模。

記作：|AB|模是可以比較大小的

4.兩個特殊的向量：

1零向量長度（模）為0的向量，記作0。0的方向是任意的。注意0與0的區(qū)別

2單位向量長度（模）為1個單位長度的向量叫做單位向量。二．向量間的關系：

1．平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。

記作：a∥b∥c規(guī)定：0與任一向量平行

2．相等向量：長度相等且方向相同的向量叫做相等向量。

abc記作：a=b規(guī)定：0=0

任兩相等的非零向量都可用一有向線段表示，與起點無關。3．共線向量：任一組平行向量都可移到同一條直線上，所以平行向量也叫共線向量。

三．向量的加法：

1．定義：求兩個向量的和的運算，叫做向量的加法。注意：；兩個向量的和仍舊是向量（簡稱和向量）2．三角形法則：

aaCb

a+baba+b

A

ACB強調：B

ab

a+bCA

B1“向量平移”（自由向量）：使前一個向量的終點為后一個向量的起點

2可以推廣到n個向量連加3a00aa

4不共線向量都可以采用這種法則三角形法則3.加法的交換律和平行四邊形法則

1向量加法的平行四邊形法則（三角形法則）：2向量加法的交換律：a+b=b+a

3向量加法的結合律：(a+b)+c=a+(b+c)

4.向量加法作圖：兩個向量相加的和向量，箭頭是由始向量始端指向終向量末端。

四．向量的減法：

1.用“相反向量”定義向量的減法

1“相反向量”的定義：與a長度相同、方向相反的向量。記作a2規(guī)定：零向量的相反向量仍是零向量。(a)=a

任一向量與它的相反向量的和是零向量。a+(a)=0如果a、b互為相反向量，則a=b,b=a,a+b=0

3向量減法的定義：向量a加上的b相反向量，叫做a與b的差。即：ab=a+(b)求兩個向量差的運算叫做向量的減法。2.用加法的逆運算定義向量的減法：向量的減法是向量加法的逆運算：

若b+x=a，則x叫做a與b的差，記作ab

3.向量減法做圖：AB表示ab。強調：差向量“箭頭”指向被減數

總結：1向量的概念：定義、表示法、模、零向量、單位向量、平行向量、

相等向量、共線向量

2向量的加法與減法：定義、三角形法則、平行四邊形法則、運算定律五：實數與向量的積（強調：“�！迸c“方向”兩點)

1.實數與向量的積

實數λ與向量a的積，記作：λa

定義：實數λ與向量a的積是一個向量，記作：λa

1|λa|=|λ||a|

2λ>0時λa與a方向相同；λ向量b與非零向量a共線的充要條件是：有且只有一個非零實數λ

使b=λa

六．平面向量定理：用兩個不共線向量表示一個向量；或一個向量分解為兩個向量。

（其實質在于：同一平面內任一向量都可以表示為兩個不共線向量的線性組合）

平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面內的兩個不共線向量，那么于一平

面內的任一向量a，有且只有一對實數λ1，λ2使a=λ1e1+λ2e2

注意幾個問題：1e1、e2必須不共線，且它是這一平面內所有向量的一組基底

2這個定理也叫共面向量定理

3λ1，λ2是被a，e1，e2唯一確定的數量

第二部分：向量的坐標運算七．向量的坐標表示與坐標運算

1.平面向量的坐標表示：在坐標系下，平面上任何一點都可用一對實數(坐標)來表示

取x軸、y軸上兩個單位向量i,j作基底，則平面內作一向量a=xi+yj，

記作：a=(x,y)稱作向量a的坐標

2．注意：1每一平面向量的坐標表示是唯一的；

2設A(x1,y1)B(x2,y2)則AB=(x2x1,y2y1)3兩個向量相等的充要條件是兩個向量坐標相等。

3．結論：兩個向量和與差的坐標分別等于這兩個向量相應坐標的和與差。同理可得：一個向量的坐標等于表示此向量的有向線段終點的坐標減去始點的坐標。

4．實數與向量積的坐標運算：已知a=(x,y)實數λ

則λa=λ(xi+yj)=λxi+λyj

∴λa=(λx,λy)

結論：實數與向量的積的坐標，等于用這個實數乘原來的向量相應的坐標。八．向量平行的坐標表示

結論：a∥b(b0)的充要條件是x1y2-x2y1=0

注意：1消去λ時不能兩式相除，∵y1,y2有可能為0，∵b0

∴x2,y2中至少有一個不為2充要條件不能寫成

y1y2∵x1,x2有可能為0x1x2abx1y2x2y103從而向量共線的充要條件有兩種形式：a∥b(b0)九．線段的定比分點：

1．線段的定比分點及λ

P1,P2是直線l上的兩點，P是l上不同于P1,P2的任一點，存在實數λ，

使P1P=λPP2λ叫做點P分P1P2所成的比，有三種情況：

P1PP2P1P2PPP1P2λ>0(內分)(外分)λC

3．注意的幾個問題；兩個向量的數量積與向量同實數積有很大區(qū)別1兩個向量的數量積是一個實數，不是向量，符號由cos的符號所決定。

2兩個向量的數量積稱為內積，寫成ab；今后要學到兩個向量的外積

a×b，而ab是兩個數量的積，書寫時要嚴格區(qū)分。

3在實數中，若a0，且ab=0，則b=0；但是在數量積中，若a0，

且ab=0，不能推出b=0。因為其中cos有可能為0。這就得性質2。

4已知實數a、b、c(b0)，則ab=bca=c。但是ab=bca=c如右圖：ab=|a||b|cos=|b||OA|abc=|b||c|cos=|b||OA|cab=bc但acb5在實數中，有(ab)c=a(bc)，但是(ab)ca(bc)OA顯然，這是因為左端是與c共線的向量，而右端是與a共線的向量，

而一般a與c不共線。

（二）投影的概念及兩個向量的數量積的性質：

1．“投影”的概念：作圖BBBOOObbbO(B)aAAAaO1aBO1B1OO

OOO叫做向量b在aO定義：|b|cos方向上的投影。注意：1投影也是一個數量，不是向量。2當為銳角時投影為正值；當為鈍角時投影為負值；當為直角時投影為0；當=0時投影為|b|；當=180時投影為|b|。2．向量的數量積的幾何意義：

數量積ab等于a的長度與b在a方向上投影|b|cos的乘積。3．兩個向量的數量積的性質：

設a、b為兩個非零向量，e是與b同向的單位向量。1ea=ae=|a|cos2abab=0

3當a與b同向時，ab=|a||b|；當a與b反向時，ab=|a||b|。

特別的aa=|a|2或|a|aa4cos=

ab|a||b|5|ab|≤|a||b|

十一.平面向量的數量積的運算律

1.交換律：ab=ba

2.結合律：(a)b=(ab)=a(b)3.分配律：(a+b)c=ac+bc十二.平面向量的數量積的坐標表示

1.設a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，x軸上單位向量i，y軸上單位向量j，則：ii=1，jj=1，ij=ji=02.ab=x1x2+y1y2

3.長度、角度、垂直的坐標表示

1a=(x,y)|a|2=x2+y2|a|=x2y2

2若A=(x1,y1)，B=(x2,y2)，則AB=(x1x2)2(y1y2)23cos=

ab|a||b|x1x2y1y2x1y122x2y222

4∵abab=0即x1x2+y1y2=0（注意與向量共線的坐標表示原則）

十三.平移

一、平移的概念：點的位置、圖形的位置改變，而形狀、大小沒有改變，從而

導致函數的解析式也隨著改變。這個過程稱做圖形的平移。（作圖、講解）一個平移實質上是一個向量二、平移公式：設PP"=(h,k)，即：OP"OPPP"

x"xh∴(x’,y’)=(x,y)+(h,k)∴平移公式

y"yk三、注意：1它反映了平移后的新坐標與原坐標間的關系

2知二求一

3這個公式是坐標系不動，點P(x,y)按向量a=(h,k)平移到點P’(x’,

y’)。另一種平移是：點不動，把坐標系平移向量a，即：

x"xh。這兩種變換使點在坐標系中的相對位置是一樣y"yk的，

這兩個公式作用是一致的。十四.正弦定理

1正弦定理的敘述：在一個三角形中。各邊和它所對角的正弦比相等公式即：

abc==它適合于任何三角形。sinAsinBsinCabc===2R（R為△ABC外接圓半徑）sinAsinBsinC2可以證明3每個等式可視為一個方程：知三求一從理論上正弦定理可解決兩類問題：

1．兩角和任意一邊，求其它兩邊和一角；

2．兩邊和其中一邊對角，求另一邊的對角，進而可求其它的邊和角。十五.余弦定理

1．余弦定理語言描述：三角形任何一邊的平方等于其它兩邊平方的和減去

這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍。2.余弦定理公式：

a2b2c22bccosAb2a2c22accosBc2a2b22abcosC

4.強調幾個問題：

1熟悉定理的結構，注意“平方”“夾角”“余弦”等

2知三求一

3當夾角為90時，即三角形為直角三角形時即為勾股定理（特例）

b2c2a24變形：cosA2bca2b2c2cosC

2ac

a2c2b2cosB2ac三、余弦定理的應用

能解決的問題：1．已知三邊求角

2．已知三邊和它們的夾角求第三邊

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