大一高數(shù)(下)2,大一下學期高數(shù)總結歸納

1．（3分）若a1,3,2,b5,1,4,則ab

2.（3分）曲面

x2y2z214在點(1,2,3)處的法線方程為

yy2y0的通解為

為周期的周期函數(shù)，則其傅里葉級數(shù)的系數(shù)表達式為

3.（3分）微分方程

4.（3分）設

f(x)是以2an(n0,1,2,),bn

(n1,2,).

1.（4分）級數(shù)

(1)n1n1n2為().

(A)發(fā)散(B)條件收斂(C)絕對收斂(D)收斂性不確定2.（4分）設曲面

x2y2R2與x2z2R2(R0)所圍成的空間立體的體積為V,若該立體在第一卦限部分的體

積是

V1,則（）.

:V14:1(B)V:V16:1(C)V:V18:1(D)V:V116:1

(A)V3.（4分）二重積分

f(x,y)d在極坐標系下的面積元素為（）.

D(A)ddxdy(B)drdrd(C)ddrd(D)dr2sindrd

4.（4分）若可微函數(shù)

zf(x,y)在點(x0,y0)處取得極小值，,則下列結論中正確的是().

(A)

數(shù)大于零(B)f(x0,y)在yy0處的導數(shù)等于零f(x0,y)在yy0處的導

導數(shù)小于零(D)f(x0,y)在yy0處的導數(shù)不存在f(x0,y)在yy0處的

(C)

1.（6分）設

f(x,y)exy(y21)arctanxy,求fx(x,1).

f(x,y)由方程ezxyz0所確定，求dz.

2.

（6分）設z1.（6分）計算二重積分

(xD2y2x)d,其中D是由直線y2,yx及y2x所圍成的閉區(qū)域.

2.（6分）將函數(shù)

f(x)ln(2x)展開為麥克勞林級數(shù).

3.（6分）在斜邊邊長為定數(shù)l的直角三角形中,求有最大周長的直角三角形.1.（6分）計算曲線積分

Lx2y2ds,其中L為x2y2a2(a0),yx及x軸在第一象限內(nèi)所圍成的扇形

的整個邊界.

2.（6分）求曲面積分

Ixdydzydzdx(z22z)dxdy,其中為錐面zx2y2(z1)的下側.

1.（6分）計算曲線積分

132(xy2y)dxxx3dy,其中c是由直線x1,yx,y2x所圍成的三角形c的正向邊界.

2.（6分）判別級數(shù)

11的斂散性.tannnn13.（6分）求冪級數(shù)

(1)n1n1(x1)nn的收斂半徑和收斂區(qū)間.

1.（6分）求微分方程

yy4xex在初始條件yx00,yx01下的特解.

2.（6分）設曲線積分

[f(x)eLx]sinydxf(x)cosydy與路徑無關,其中f(x)有一階連續(xù)的導數(shù),且

f(0)0,求f(x).

評分標準

一、1.

10;2.

x1y2z3;1233.

yC1exC2e2x.

4.an1f(x)cosnxdx,bnf(x)sinnxdx;;

1二、1C;2C;3B;4B.三、1解xf(x,1)e,

fx(x,1)ex.

z2

解方程兩邊求微分得edzyzdxxzdyxydz0,分3

dzyzdxxzdy3分ezxy四、1解畫圖1分

2y原式

dyy(x2y2x)dx2分02

2193y3y2dy2分024813.1分62

n1x2x3x4xnx)x(1)(1x解ln(1234n11),2分xxln(2x)ln21ln2ln11分22xxxx22xx2n2ln2(1)(11),

2234n122

分

234n1xx2x3x4xn1nln2(1)(2x2).234n12223242(n1)21分

3解設周長和兩個直角邊分別為z,則

x,y,

zxyl,l2x2y2.1分y)xyl(l2x2y2),1分作輔助函數(shù)為F(x,由拉格朗日乘數(shù)法，

Fx12x0,Fy12y0,2分222lxy.22解之得唯一可能的極值點2l,2l.由問題本身的性質(zhì)可知最大值一定存在，并在該點處取得，既當兩個直角邊分別為

22l,l，斜邊為l時，周長最大.22

2分

五、1解畫圖1分原式=

OAx2y2dsABx2y2dsBOx2y2ds3分a2

422a0xdx0adt02x2dx1分

a2a2a2242

14a2.1分2解畫圖1分補充平面

21:z1(x2y1)取上側.1分由高斯公式可得

I(z22z)dxdyydzdx(z22z)dxdy

xdydzydzdxxdydz11(112z2)dxdydz2分1dxdyx2y21211

0d0rdrr2zdz1分32.1分六、1解畫圖1分由格林公式得

[(x21)(x22)]dxdy3分D121112.2分2解由比較判別法的極限形式1分1tan1limnnn11,2分n24

而級數(shù)

12收斂,所以原級數(shù)收斂.3分n1n3解

lian1nma1,2分nR1,1分又當

x11時原級數(shù)收斂,當x11時原級數(shù)發(fā)散,

2分

所以原級數(shù)的收斂區(qū)間為(2,0].1分七、1解特征方程為r210,

特征值是r11,r21,1分所以齊此方程的通解為

yCx1eC2ex.1分因為

1是特征方程的單根，故可設特解為y*x(axb)ex,

1分利用待定系數(shù)法可得a1,b1,1分于是原方程的通解為

yC1exC2ex(x2x)ex.1分將初始條件代入上式得所求特解為

yexex(x2x)ex.

1分

2解由所給條件可知

[f(x)ex]cosyf(x)cosy,1分

即

f(x)f(x)ex.1分用常數(shù)變易法可得通解為

f(x)Cex1ex2,2分將初始條件代入上式得C12,1分所求函

f(x)1x12e2ex.數(shù)為5

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河北科技大學

《高等數(shù)學》（下）期末考試2

一、填空題（共12分）

1．（3分）若a1,3,2,b5,1,4,則ab.2.（3分）曲面x2y2z214在點(1,2,3)處的法線方程為

.3.（3分）微分方程yy2y0的通解為.4.（3分）設f(x)是以2為周期的周期函數(shù)，則其傅里葉級數(shù)的系數(shù)表達式為an(n0,1,2,),bn(n1,2,).二、選擇題（共16分）1.（4分）級數(shù)(1)nn11為().n2(A)發(fā)散(B)條件收斂(C)絕對收斂(D)收斂性不確定

2.（4分）設曲面x2y2R2與x2z2R2(R0)所圍成的空間立體的體積為V,若該立體在第一卦限部分的體積是V1,則（）.

(A)V:V14:1(B)V:V16:1(C)V:V18:1(D)V:V116:13.（4分）二重積分f(x,y)d在極坐標系下的面積元素為（）.

D(A)ddxdy(B)drdrd(C)ddrd(D)dr2sindrd4.（4分）若可微函數(shù)zf(x,y)在點(x0,y0)處取得極小值，,則下列結論中正確的是().(A)f(x0,y)在yy0處的導數(shù)大于零(B)f(x0,y)在yy0處的導數(shù)等于零(C)f(x0,y)在yy0處的導數(shù)小于零(D)f(x0,y)在yy0處的導數(shù)不存在三、計算題（共12分）

1.（6分）設f(x,y)exy(y21)arctanxy,求fx(x,1).2.（6分）設zf(x,y)由方程ezxyz0所確定，求dz.四、計算題（共18分）

1.（6分）計算二重積分(x2y2x)d,其中D是由直線y2,yx及

Dy2x所圍成的閉區(qū)域.

2.（6分）將函數(shù)f(x)ln(2x)展開為麥克勞林級數(shù).

3.（6分）在斜邊邊長為定數(shù)l的直角三角形中,求有最大周長的直角三角形.

五、計算題（共12分）1.（6分）計算曲線積分Lx2y2ds,其中L為x2y2a2(a0),yx及x軸在第一象限內(nèi)所圍成的扇形的整個邊界.

2.（6分）求曲面積分Ixdydzydzdx(z22z)dxdy,其中為錐面

zx2y2(z1)的下側.

六、計算題（共18分）

1321.（6分）計算曲線積分(xy2y)dxxx3dy,其中c是由直線cx1,yx,y2x所圍成的三角形的正向邊界.

112.（6分）判別級數(shù)tan的斂散性.

nn1n3.（6分）求冪級數(shù)(1)n1n1(x1)n的收斂半徑和收斂區(qū)間.n七、計算題（共12分）

1.（6分）求微分方程yy4xex在初始條件yx00,yx01下的

特解.

2.（6分）設曲線積分[f(x)ex]sinydxf(x)cosydy與路徑無關,

L其中f(x)有一階連續(xù)的導數(shù),且f(0)0,求f(x).評分標準

一、1.10;2.

x1y2z3;1233.yC1exC2e2x.4.an1f(x)cosnxdx,bn1f(x)sinnxdx;;

二、1C;2C;3B;4B.

x三、1解f(x,1)e,2分

fx(x,1)ex.4分2解方程兩邊求微分得ezdzyzdxxzdyxydz0,3分dzyzdxxzdy3分zexy四、1解畫圖1分

原式20dyy(x2y2x)dx2分

2y

2193y3y2dy2分024813.1分62

x2x3x41x)x解ln(234x1(1)n1nn(1x1),2分

xxln(2x)ln21ln2ln11分

xxxx22xx2n2ln2(1)(11),

2234n122分

234n1xx2x3x4xn1nln2(1)(2x2).234n12223242(n1)21分

3解設周長和兩個直角邊分別為z,x,y,

則zxyl,l2x2y2.1分

作輔助函數(shù)為F(x,y)xyl(l2x2y2),1分由拉格朗日乘數(shù)法，

Fx12x0,Fy12y0,2分222lxy.22解之得唯一可能的極值點2l,2l.由問題本身的性質(zhì)可知最大值一定存在，

并在該點處取得，既當兩個直角邊分別為

22l,l，斜邊為l時，周長最大.222分

五、1解畫圖1分原式=

OAx2y2ds402ABx2y2ds2a2BOx2y2ds3分

a0xdxadt02x2dx1分

a2a2a221a2.1分42解畫圖1分

補充平面1:z1(x2y21)取上側.1分由高斯公式可得

I1xdydzydzdx(z22z)dxdyxdydzydzdx(z22z)dxdy

1(112z2)dxdydzx2y211dxdy2分

20drdr2zdz1分

0r113.1分2六、1解畫圖1分由格林公式得

[(x21)(x22)]dxdy3分

D1111.2分222解由比較判別法的極限形式1分

11tann1,2分limnn1n2而級數(shù)

1收斂,所以原級數(shù)收斂.3分2n1n3解limnan1,2分1anR1,1分又當x11時原級數(shù)收斂,當x11時原級數(shù)發(fā)散,

2分所以原級數(shù)的收斂區(qū)間為(2,0].1分七、1解特征方程為r210,

特征值是r11,r21,1分所以齊此方程的通解為yC1exC2ex.1分因為1是特征方程的單根，故可設特解為y*x(axb)ex,1分

利用待定系數(shù)法可得a1,b1,1分

于是原方程的通解為yC1exC2ex(x2x)ex.1分將初始條件代入上式得所求特解為yexex(x2x)ex.

1分

2解由所給條件可知

[f(x)ex]cosyf(x)cosy,1分

即f(x)f(x)ex.1分

1用常數(shù)變易法可得通解為f(x)Cexex,2分

21將初始條件代入上式得C,1分

2所求函數(shù)為f(x)1x1xee.1分22

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