二次函數(shù)圖象知識點總結(jié)

專題講解二次函數(shù)的圖象

知識點回顧：

1.二次函數(shù)解析式的幾種形式：①一般式：

yax2bxc（a、b、c

為常數(shù)，a≠0）

2ya(xh)k（a、②頂點式：h、k

為常數(shù)，a≠0），其中（h，

k）為頂點坐標。

③交點式：ya(xx1)(xx2)，其中x1，x2是拋物線與x軸交點的橫坐標，即一元二次方程ax2bxc0的兩個根，且a≠0，（也叫兩根式）。

2.二次函數(shù)

yax2bxc的圖象

yax2bxc的圖象是對稱軸平行于（包括重合）

①二次函數(shù)

y軸的拋物線，幾個不同的二次函數(shù)，如果a相同，那么拋物線的開口方向，開口大�。�即形狀）完全相同，只是位置不同。②任意拋物線

ya(xh)2k可以由拋物線yax2經(jīng)過適當

的平移得到，移動規(guī)律可簡記為：[左加右減，上加下減]，具體平移方法如下表所示。

③在畫

yax2bxc的圖象時，可以先配方成ya(xh)2k的形式，然后將

yax2的圖象上（下）左（右）平移得到所求圖

2象，即平移法；也可用描點法：也是將yaxbxc配成

ya(xh)2k的形式，這樣可以確定開口方向，對稱軸及頂點坐

標。然后取圖象與y軸的交點（0，c），及此點關(guān)于對稱軸對稱的點（2h，c）；如果圖象與x軸有兩個交點，就直接取這兩個點（x1，0），（x2，0）就行了；如果圖象與x軸只有一個交點或無交點，那應(yīng)該在對稱軸兩側(cè)取對稱點，（這兩點不是與y軸交點及其對稱點），一般畫圖象找5個點。3.二次函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)圖象2二次函數(shù)yaxbxcya(xh)2k（a、h、ka、b、c為常數(shù)，a≠0a＞0a＜0為常數(shù)，a≠0）a＞0a＜(1)拋物線開口向(1)拋物線開口向(1)拋物線(1)拋物線上，并向上無限延下，并向下無限延開口向上，開口向下，伸伸并向上無限并向下無限延伸延伸性(2)對稱軸是x＝(2)對稱軸是x＝(2)對稱軸(2)對稱軸b2a，頂點是b4acb，2a4ax2b2a是x＝h，頂是x＝h，頂，頂點是b4acb，2a4a2點是（h，k）點是（h，k））(3)當x＜h（質(zhì)）（(3)當bb(3)當xhx2a時，2a時，y(3)當y時，y隨x時，y隨x隨x的增大而減隨x的增大而增��；當xbbx2a時，2a時，大；當��；當?shù)脑龃蠖鴾p的增大而增x＞h大；當x＞hy隨x的增大而增y隨x的增大而減時，y隨x時，y隨x大小的增大而增的增大而減大。小(4)拋物線有最低(4)拋物線有最高(4)拋物線(4)拋物線點，當xb2a時，點，當xb2a有最低點，有最高點，時，當x＝h時，當x＝h時，y有最小值y有最大值y有最小值，y最小值4acb24ay有最大值，y最大值4acb24ay最小值ky最大值k

4.求拋物線的頂點、對稱軸和最值的方法①配方法：將解析式

yax2bxc化為ya(xh)2k的形式，

頂點坐標為（h，k），對稱軸為直線xh，若a＞0，y有最小值，

y最小值ky最大值k當x＝h時，；若a＜0，y有最大值，當x＝h時，。

b4acb2，4a②公式法：直接利用頂點坐標公式（2axb2a），求其頂

點；對稱軸是直線，若

有最大值，

b4acb2a0，y有最小值，當x時，y最小值；2a4a若a0，yb4acb2x時，y最大值2a4a當

5.拋物線與x軸交點情況：對于拋物線

yax2bxc(a≠0)

①當b24ac0時，拋物線與x軸有兩個交點，反之也成立。

②當b24ac0時，拋物線與x軸有一個交點，反之也成立，此交點即為頂點。

③當b24ac0時，拋物線與x軸無交點，反之也成立。

擴展閱讀：初中數(shù)學(xué)二次函數(shù)知識點總結(jié)

二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)

二次函數(shù)開口方向?qū)ΨQ軸頂點增減性最大（小）值y=ax2a>0時，開口向上；a0時，在對稱軸左側(cè)，y隨x的增大而減小，在對稱軸右側(cè)，y隨x的增大而增大；

當a0時，當x=0時，=0；當a0時，當x=0時，=c；當a0時，當x=h時，y最小=0；當a0時，當x=h時，y最小=k；當a0時，當x=h時，y最小=k；當a0時，開口方向向上；a1.二次函數(shù)圖像是軸對稱圖形。對稱軸為直線x=h或者x=-b/2a對稱軸與二次函數(shù)圖像唯一的交點為二次函數(shù)圖像的頂點P。特別地，當h=0時，

二次函數(shù)圖像的對稱軸是y軸（即直線x=0）a,b同號，對稱軸在y軸左側(cè)b=0,對稱軸是y軸a,b異號，對稱軸在y軸右側(cè)頂點

2.二次函數(shù)圖像有一個頂點P，坐標為P(h,k)當h=0時，P在y軸上；當k=0時，P在x軸上。h=-b/2ak=(4ac-b2)/4a開口

3.二次項系數(shù)a決定二次函數(shù)圖像的開口方向和大小。當a>0時，二次函數(shù)圖像向上開口；當a0），對稱軸在y軸左；因為對稱軸在左邊則對稱軸小于0，也就是-b/2a0），對稱軸在y軸左；當a與b異號時（即ab<0），對稱軸在y軸右。事實上，b有其自身的幾何意義：二次函數(shù)圖像與y軸的交點處的該二次函數(shù)圖像切線的函數(shù)解析式（一次函數(shù)）的斜率k的值�？赏ㄟ^對二次函數(shù)求導(dǎo)得到。

決定二次函數(shù)圖像與y軸交點的因素

5.常數(shù)項c決定二次函數(shù)圖像與y軸交點。二次函數(shù)圖像與y軸交于（0,C）注意：頂點坐標為（h,k)與y軸交于（0,C)二次函數(shù)圖像與x軸交點個數(shù)

6.二次函數(shù)圖像與x軸交點個數(shù)a0或a>0;k0時，函數(shù)在x=h處取得最小值ymix=k，在xh范圍內(nèi)是增函數(shù)（即y隨x的變大而變�。�，二次函數(shù)圖像的開口向上，函數(shù)的值域是y>k當ah范圍內(nèi)事增函數(shù)，在x且X（X1+X2）/2時Y隨X的增大而減小此時，x1、x2即為函數(shù)與X軸的兩個交點，將X、Y代入即可求出解析式（一般與一元二次方程連用）。交點式是Y=A(X-X1)(X-X2)知道兩個x軸交點和另一個點坐標設(shè)交點式。兩交點X值就是相應(yīng)X1X2值。兩圖像對稱

①y=ax2+bx+c與y=ax2-bx+c兩圖像關(guān)于y軸對稱；②y=ax2+bx+c與y=-ax2-bx-c兩圖像關(guān)于x軸對稱；③y=ax2+bx+c與y=-a(x-h2+k關(guān)于頂點對稱；④y=ax2+bx+c與y=-a(x+h2-k關(guān)于原點對稱。

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