導數知識點總結及經典習題解答

導數知識點及習題講解

1.導數（導函數的簡稱）的定義：設x0是函數yf(x)定義域的一點，如果自變量x在x0處有增量x，則函數值y也引起相應的增量yf(x0x)f(x0)；比值

yf(x0x)f(x0)稱為函數yf(x)在點x0到x0x之間的平均變化率；如果極xx限limf(x0x)f(x0)y存在，則稱函數yf(x)在點x0處可導，并把這個limx0xx0x極限叫做yf(x)在x0處的導數，記作f"(x0)或y"|xx0，即

f"(x0)=limf(x0x)f(x0)y.limx0xx0x②已知函數yf(x)定義域為A，yf"(x)的定義域為B，則A與B關系為AB.

2.函數yf(x)在點x0處連續(xù)與點x0處可導的關系：

⑴函數yf(x)在點x0處連續(xù)是yf(x)在點x0處可導的必要不充分條件.可以證明，如果yf(x)在點x0處可導，那么yf(x)點x0處連續(xù).事實上，令xx0x，則xx0相當于x0.于是limf(x)limf(x0x)lim[f(xx0)f(x0)f(x0)]

xx0x0x0lim[x0f(x0x)f(x0)f(x0x)f(x0)xf(x0)]limlimlimf(x0)f"(x0)0f(x0)f(x0).x0x0x0xx⑵如果yf(x)點x0處連續(xù)，那么yf(x)在點x0處可導，是不一定成立的.例：f(x)|x|在點x00處連續(xù)，但在點x00處不可導

注：①可導的奇函數函數其導函數為偶函數.

②可導的偶函數函數其導函數為奇函數.3.導數的幾何意義：

函數yf(x)在點x0處的導數的幾何意義就是曲線yf(x)在點(x0,f(x))處的切線的斜率，也就是說，曲線yf(x)在點P(x0,f(x))處的切線的斜率是f"(x0)，切線方程為yy0f"(x)(xx0).

4.求導數的四則運算法則：

(uv)"u"v"yf1(x)f2(x)...fn(x)y"f1"(x)f2"(x)...fn"(x)

(uv)"vu"v"u(cv)"c"vcv"cv"（c為常數）

vu"v"uu(v0)2vv"②若兩個函數可導，則它們和、差、積、商必可導；若兩個函數均不可導，則它

們的和、差、積、商不一定不可導.

)"coxs(arcsx)i"nI.C"0（C為常數）(sixnx)o"s(xn)"nxn1（nR）(cosx)"sinx(arcc11x2

11x2

1"11"(arctx)anII.(lnx)(loagx)loage

xxx21"(ex)"ex(ax)"axlna(arccoxt)"5.復合函數的求導法則：fx"((x))f"(u)"(x)或y"xy"uu"x6.函數單調性：

1x21

⑴函數單調性的判定方法：設函數yf(x)在某個區(qū)間內可導，如果f"(x)＞0，則

yf(x)為增函數；如果f"(x)＜0，則yf(x)為減函數

注：①f(x)0是f（x）遞增的充分條件，但不是必要條件，如y2x3在(,)上并不是都有f(x)0，有一個點例外即x=0時f（x）=0，同樣f(x)0是f（x）遞減的充分非必要條件.

7.極值的判別方法：（極值是在x0附近所有的點，都有f(x)＜f(x0)，則f(x0)是函數f(x)的極大值，極小值同理）當函數f(x)在點x0處連續(xù)時，

①如果在x0附近的左側f"(x)＞0，右側f"(x)＜0，那么f(x0)是極大值；②如果在x0附近的左側f"(x)＜0，右側f"(x)＞0，那么f(x0)是極小值

yf(x)x2例1．x11處可導，則ab

axbx1在x

例2．已知f(x)在x=a處可導，且f′(a)=b，求下列極限：

（1）limf(a3h)f(ah)f(ah2)2h；（2）limf(a)0h

h0h

1．（全國卷10）函數y=xcosx-sinx在下面哪個區(qū)間內是增函數（）

A(32,2)B(π,2π)C(

32,52)D(2π,3)

2.已知函數f(x)=ax2

＋c,且f(1)=2,則a的值為（）

A.1B.2C.－1D.0

3f(x)與g(x)是定義在R上的兩個可導函數，若f(x),g(x)滿足f"(x)g"(x),則f(x)與g(x)滿足（）

Af(x)2g(x)Bf(x)g(x)為常數函數

Cf(x)g(x)0Df(x)g(x)為常數函數

4.函數y=x3+x的遞增區(qū)間是（）

A(,1)B(1,1)C(,)D(1,)

7．曲線f(x)=x3+x-2在p0處的切線平行于直線y=4x-1，則p0點的坐標為（A(1,0)B(2,8)

C(1,0)和(1,4)D(2,8)和(1,4)

8．函數y13xx3有（）

A.極小值-1，極大值1B.極小值-2，極大值3

C.極小值-1，極大值3D.極小值-2，極大值2

9對于R上可導的任意函數f(x)，若滿足(x1)f"(x)0，則必有（）

Af(0)f(2)2f(1)Bf(0)f(2)2f(1)Cf(0)f(2)2f(1)Df(0)f(2)2f(1)

11．函數yx3x2x的單調區(qū)間為___________________________________.

3

）

13.曲線yx4x在點(1,3)處的切線傾斜角為__________.

17．已知f(x)axbxc的圖象經過點(0,1)，且在x1處的切線方程是yx2，請解答下列問題：

（1）求yf(x)的解析式；（2）求yf(x)的單調遞增區(qū)間。

18．已知函數f(x)ax34233(a2)x26x32（1）當a2時，求函數f(x)極小值；（2）試討論曲線yf(x)與x軸公共點的個數。

3219.已知函數f(x)xaxbxc在x2與x1時都取得極值3（1）求a,b的值與函數f(x)的單調區(qū)間

（2）若對x[1,2]，不等式f(x)c恒成立，求c的取值范圍

2

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導數知識點及習題講解

1.導數（導函數的簡稱）的定義：設x0是函數yf(x)定義域的一點，如果自變

f(x0x)f(x0)量x在x0處有增量x，則函數值y也引起相應的增量yyxf(x0x)f(x0)xlimx0；比值

稱為函數yf(x)在點x0到x0x之間的平均變化率；如果

f(x)極限

yxlimx0f(x0x)f(x0)x存在，則稱函數y"在點x0處可導，并把這

y|xx"0個極限叫做

limx0yf(x)在

x0處的導數，記作.，yf(x)"f(x0)或，即

f(x0)"=

yxlimx0f(x0x)f(x0)x②以知函數y

2.函數y⑴函數yf(x)定義域為A的定義域為B，則

A與B關系為AB.

f(x)在點x0處連續(xù)與點x0處可導的關系：

f(x)在點x0f(x)在點x0處連續(xù)是yf(x)在點x0處可導的必要不充分條件.

f(x)可以證明，如果y事實上，令xx0于是

xx0處可導，那么y相當于x0.

點x0處連續(xù).

x，則xx0limf(x)limf(x0x)lim[f(xx0)f(x0)f(x0)]x0x0

f(x0)f(x0)0f(x0)f(x0)."lim[x0f(x0x)f(x0)xxf(x0)]limf(x0x)f(x0)xlimlimx0x0x0⑵如果yf(x)點x0處連續(xù)，那么y0f(x)在點x0處可導，是不成立的.

0例：f(x)|x|在點x0處連續(xù)，但在點x0處不可導

注：①可導的奇函數函數其導函數為偶函數.

②可導的偶函數函數其導函數為奇函數.3.導數的幾何意義：函數yf(x)在點x0處的導數的幾何意義就是曲線yf(x)f(x)在點(x0,f(x))"處的切線，切線

的斜率，也就是說，曲線y方程為

yy0f(x)(xx0)."在點P(x0,f(x))處的切線的斜率是

f(x0)4.求導數的四則運算法則：

(uv)uv"""""yf1(x)f2(x)...fn(x)yf1(x)f2(x)...fn(x)""""""""

(uv)vuvu(cv)cvcvcvuv""（c為常數）

vu"vuv2"(v0)

②若兩個函數可導，則它們和、差、積、商必可導；若兩個函數均不可導，則它們的和、差、積、商不一定不可導.I.C"0（C"為常數）(sinx)cosx

(arcsinx)"11x2

(x)nxn"n1"（nR）(cosx)sinx

(arccosx)"11x2

II.

(lnx)"1x

x(logax)"1xlogae

(arctanx)x"1211

(ex)e"x"x(a)alna

(arccotx)x"21

5.復合函數的求導法則：fx"((x))6.函數單調性：

f(u)(x)""或

y"xy"uu"x

⑴函數單調性的判定方法：設函數yyf(x)為增函數；如果f(x)"f(x)在某個區(qū)間內可導，如果

f(x)f(x)"＞0，則

＜0，則y為減函數

y2x3注：①f(x)0是f（x）遞增的充分條件，但不是必要條件，如在(,)上

并不是都有f(x)0，有一個點例外即x=0時f（x）=0，同樣f(x)0是f（x）遞減的充分非必要條件.

7.極值的判別方法：（極值是在x0附近所有的點，都有f(x)＜f(x0)，則f(x0)是函數f(x)的極大值，極小值同理）當函數f(x)在點x0處連續(xù)時，①如果在x0附近的左側②如果在x0附近的左側

f(x)""＞0，右側＜0，右側

f(x)""＜0，那么f(x0)是極大值；＞0，那么f(x0)是極小值

f(x)f(x)例1．yf(x)x2x1處可導，則abaxbx1在x1

例2．已知f(x)在x=a處可導，且f′(a)=b，求下列極限：（1）limf(a3h)f(ah)22；（2）h0hlimf(ah)f(a)

h0h

1．（全國卷10）函數y=xcosx-sinx在下面哪個區(qū)間內是增函數（）

A(3)B(π,2π)C(

3,52,222)D(2π,3)

2.已知函數f(x)=ax2＋c,且f(1)=2,則a的值為（）A.1B.2C.－1D.0

3f(x)與g(x)是定義在R上的兩個可導函數，若f(x),g(x)滿足f"(x)g"(x),則f(x)與g(x)滿足（）

Af(x)2g(x)Bf(x)g(x)為常數函數

Cf(x)g(x)0Df(x)g(x)為常數函數

4.函數y=x3+x的遞增區(qū)間是（）

A(,1)B(1,1)C(,)D(1,)

7．曲線f(x)=x3+x-2在p0處的切線平行于直線y=4x-1，則p0點的坐標為（A(1,0)B(2,8)

C(1,0)和(1,4)D(2,8)和(1,4)

8．函數y13xx3有（）

A.極小值-1，極大值1B.極小值-2，極大值3C.極小值-1，極大值3D.極小值-2，極大值2

9對于R上可導的任意函數f(x)，若滿足(x1)f"(x)0，則必有（）

Af(0)f(2)2f(1)Bf(0)f(2)2f(1)Cf(0)f(2)2f(1)Df(0)f(2)2f(1)

11．函數yx3x2x的單調區(qū)間為___________________________________.

）

13.曲線yx34x在點(1,3)處的切線傾斜角為__________.

17．已知f(x)ax4bx2c的圖象經過點(0,1)，且在x1處的切線方程是yx2，請解答下列問題：

（1）求yf(x)的解析式；（2）求yf(x)的單調遞增區(qū)間。

318．已知函數f(x)ax32(a2)x6x3

2（1）當a2時，求函數f(x)極小值；（2）試討論曲線yf(x)與x軸公共點的個數。

19.已知函數f(x)x3ax2bxc在x（1）求a,b的值與函數f(x)的單調區(qū)間

（2）若對x[1,2]，不等式f(x)c2恒成立，求c的取值范圍

23與x1時都取得極值

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