高考積分,導(dǎo)數(shù)知識點(diǎn)精華總結(jié)

定積分

一、知識點(diǎn)與方法：1、定積分的概念

設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，用分點(diǎn)ax0x1…xi1xi…xnb把區(qū)間[a,b]等分成n個(gè)小區(qū)間，在每個(gè)小區(qū)間[xi1,xi]上取任一點(diǎn)i(i1,2,…,n)作和式

nIni1，把n即x0時(shí)，和式In的極限叫做函f(i)x（其中x為小區(qū)間長度）

bbn數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的定積分，記作：f(x)dx，即f(x)dx＝limaani1f(i)x。

這里，a與b分別叫做積分下限與積分上限，區(qū)間[a,b]叫做積分區(qū)間，函數(shù)f(x)叫做被積函數(shù)，x叫做積分變量，f(x)dx叫做被積式。

(1)定積分的幾何意義：當(dāng)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上恒為正時(shí)，定積分f(x)dx的幾何意

ab義是以曲線yf(x)為曲邊的曲邊梯形的面積。(2)定積分的性質(zhì)①

akf(x)dxbkf(x)dxab（k；

為常數(shù)）；②

abf(x)g(x)dxbcabf(x)dxbag(x)dxb③f(x)dxaaf(x)dxcf(x)dx（其中acb)。

2、微積分基本定理

如果yf(x)是區(qū)間[a,b]上的連續(xù)函數(shù)，并且F(x)f(x)，那么:

baf(x)dxF(x)|aF(b)F(a)

b3、定積分的簡單應(yīng)用

(1)定積分在幾何中的應(yīng)用：求曲邊梯形的面積由三條直線

xa,xb(ab)，x軸及一條曲線yf(x)(f(x)0)圍成的

曲邊梯的面積Sbaf(x)dx。

如果圖形由曲線y1＝f1(x)，y2＝f2(x)（不妨設(shè)f1(x)≥f2(x)≥0），及直線x＝a，x＝b（a

二、練習(xí)題

1、計(jì)算下列定積分：(1)(x1e1x1x0)dx(2)2(sinx2cosx)dx(3)(2sinx3e2)dx203x(4)(4xx2)dx(5)|2x|dx

0122、求下列曲線所圍成圖形的面積：

（1）曲線y2xx2,y2x24x；（2）曲線yex,yex,x1。

3、2(sinxcosx)dx的值是：

2A.4B.2C.

4D.0

4、曲線y2x,yx2所圍成圖形的面積是：A.1B.

23C.

12D.

13

5、已知自由下落物體的速度為vgt，則物體從t0到t1所走過的路程是：A.

13gB.gC.

1112gD.

14g

6、已知f(x)3x22x1，且7、已知f(a)f(x)dx2f(a)，則a

10(2axax)dx，求f(a)的最大值。

1228、已知f(x)為二次函數(shù)，且f(1)2,f(0)0,f(x)dx2，求：

0(1)f(x)的解析式；(2)f(x)在[1,1]上的最大值與最小值。

導(dǎo)數(shù)

1.導(dǎo)數(shù)（導(dǎo)函數(shù)的簡稱）的定義：設(shè)x0是函數(shù)yf(x)定義域的一點(diǎn)，如果自變

f(x0x)f(x0)量x在x0處有增量x，則函數(shù)值y也引起相應(yīng)的增量yyxf(x0x)f(x0)x；比值

稱為函數(shù)yf(x)在點(diǎn)x0到x0x之間的平均變化率；如果極

限

limx0yxlimx0f(x0x)f(x0)x存在，則稱函數(shù)yf(x)在點(diǎn)x0f(x0)"處可導(dǎo)，并把這個(gè)或

y|xx"0極限叫做

f(x0)=lim"yf(x)在

x0處的導(dǎo)數(shù)，記作

.

，即

yxlimx0f(x0x)f(x0)xx0注：①x是增量，我們也稱為“改變量”，因?yàn)閤可正，可負(fù)，但不為零(趨向0).②已知函數(shù)y2.函數(shù)y⑴函數(shù)yf(x)定義域?yàn)锳，yf(x)"的定義域?yàn)锽，則A與B關(guān)系為AB.

f(x)在點(diǎn)x0f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)與點(diǎn)x0處可導(dǎo)的關(guān)系：

f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)是y處可導(dǎo)的必要不充分條件.

f(x)點(diǎn)x0可以證明，如果y事實(shí)上，令xx0于是

xx0f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，那么y.

處連續(xù).

x，則xx0相當(dāng)于x0limf(x)limf(x0x)lim[f(xx0)f(x0)f(x0)]

x0x0lim[x0f(x0x)f(x0)xxf(x0)]limf(x0x)f(x0)xlimlimx0x0x0f(x0)f(x0)0f(x0)f(x0)."⑵如果yf(x)點(diǎn)x0處連續(xù)，那么y0f(x)在點(diǎn)x00處可導(dǎo)，是不成立的.

yx|x|x例：f(x)|x|在點(diǎn)x00時(shí)，

yx1；當(dāng)x處連續(xù)，但在點(diǎn)x0yx處不可導(dǎo)，因?yàn)椴淮嬖?

，當(dāng)x＞

＜0時(shí)，1，故limx0yx注：①可導(dǎo)的奇函數(shù)函數(shù)其導(dǎo)函數(shù)為偶函數(shù).②可導(dǎo)的偶函數(shù)函數(shù)其導(dǎo)函數(shù)為奇函數(shù).3.導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)yf(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義就是曲線yf(x)在點(diǎn)

f(x)在點(diǎn)(x0,f(x))處的切線

的斜率，也就是說，曲線y方程為yy0f(x)(xx0).

"P(x0,f(x))處的切線的斜率是f"(x0)，切線

4.求導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則：

(uv)uvyf1(x)f2(x)...fn(x)yf1(x)f2(x)...fn(x)"""""""

(uv)vuvu(cv)cvcvcvuv""""""""（c為常數(shù)）

vu"vuv2"(v0)

注：①u,v必須是可導(dǎo)函數(shù).

②若兩個(gè)函數(shù)可導(dǎo)，則它們和、差、積、商必可導(dǎo)；若兩個(gè)函數(shù)均不可導(dǎo)，則它們的和、差、積、商不一定不可導(dǎo).例如：設(shè)和

f(x)2sinx2x，g(x)cosx2x，則f(x),g(x)在x0處均不可導(dǎo)，但它們

f(x)g(x)

sinxcosx在x0處均可導(dǎo).

fx((x))f(u)(x)"""5.復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則：或y"xy"uu"x

復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則可推廣到多個(gè)中間變量的情形.6.函數(shù)單調(diào)性：

⑴函數(shù)單調(diào)性的判定方法：設(shè)函數(shù)yyf(x)為增函數(shù)；如果f(x)"f(x)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，如果f(x)"＞0，則

＜0，則yf(x)為減函數(shù).

⑵常數(shù)的判定方法；如果函數(shù)y注：①

f(x)在區(qū)間I內(nèi)恒有

f(x)"=0，則yf(x)為常數(shù).

f(x)0是f（x）遞增的充分條件，但不是必要條件，如y2x3在(,)上

，有一個(gè)點(diǎn)例外即x=0時(shí)f（x）=0，同樣f(x)0是f（x）

并不是都有

f(x)0遞減的充分非必要條件.

②一般地，如果f（x）在某區(qū)間內(nèi)有限個(gè)點(diǎn)處為零，在其余各點(diǎn)均為正（或負(fù)），那么f（x）在該區(qū)間上仍舊是單調(diào)增加（或單調(diào)減少）的.

7.極值的判別方法：（極值是在x0附近所有的點(diǎn)，都有函數(shù)

f(x)的極大值，極小值同理）f(x)在點(diǎn)x0f(x)＜

f(x0)，則f(x0)是

當(dāng)函數(shù)處連續(xù)時(shí)，

f(x)""①如果在x0附近的左側(cè)②如果在x0附近的左側(cè)

＞0，右側(cè)＜0，右側(cè)

f(x)""＜0，那么＞0，那么

f(x0)是極大值；f(x0)是極小值.

①

f(x)f(x)也就是說x0是極值點(diǎn)的充分條件是x0點(diǎn)兩側(cè)導(dǎo)數(shù)異號，而不是f"(x)=0.此外，函數(shù)不可導(dǎo)的點(diǎn)也可能是函數(shù)的極值點(diǎn)②.當(dāng)然，極值是一個(gè)局部概念，極值點(diǎn)的大小關(guān)系是不確定的，即有可能極大值比極小值�。ê瘮�(shù)在某一點(diǎn)附近的點(diǎn)不同）.

注①：若點(diǎn)x0是可導(dǎo)函數(shù)

f(x)的極值點(diǎn)，則

f(x)"=0.但反過來不一定成立.對

于可導(dǎo)函數(shù)，其一點(diǎn)x0是極值點(diǎn)的必要條件是若函數(shù)在該點(diǎn)可導(dǎo)，則導(dǎo)數(shù)值為零.例如：函數(shù)yf(x)x3，x0使

f(x)"=0，但x0不是極值點(diǎn).

是函數(shù)的極小值點(diǎn).

②例如：函數(shù)yf(x)|x|，在點(diǎn)x0處不可導(dǎo)，但點(diǎn)x08.極值與最值的區(qū)別：極值是在局部對函數(shù)值進(jìn)行比較，最值是在整體區(qū)間上對函數(shù)值進(jìn)行比較.

注：函數(shù)的極值點(diǎn)一定有意義.9.幾種常見的函數(shù)導(dǎo)數(shù)：I.C"n0"n)cosx（C為常數(shù)）(six(arcsxi)n"11x2

(x)nx""n1（

11x2nR）(cosx)sinx

"(arccxo)s

1xx"2II.

(e(lnx)"1x

x(loagx)"1xlogae

(arctxa)n"1x

x)e""

1x2(a)alna

(arcotx)1

III.求導(dǎo)的常見方法：①常用結(jié)論：(ln②形如

|x|)"1x.

(xa1)(xa2)...(xan)(xb1)(xb2)...(xbn)y(xa1)(xa2)...(xan)或y兩邊同取自然對數(shù)，可

轉(zhuǎn)化求代數(shù)和形式.③無理函數(shù)或形如y對兩邊求導(dǎo)可得

xx這類函數(shù)，如yxx取自然對數(shù)之后可變形為lnyxlnx，

擴(kuò)展閱讀：高考積分,導(dǎo)數(shù)知識點(diǎn)精華總結(jié)[1]

定積分

一、知識點(diǎn)與方法：1、定積分的概念

設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，用分點(diǎn)ax0x1…xi1xi…xnb把區(qū)間[a,b]等分成n個(gè)小區(qū)間，在每個(gè)小區(qū)間[xi1,xi]上取任一點(diǎn)i(i1,2,…,n)作和式

nIni1，把n即x0時(shí)，和式In的極限叫做函f(i)x（其中x為小區(qū)間長度）

bbn數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的定積分，記作：f(x)dx，即f(x)dx＝limaani1f(i)x。

這里，a與b分別叫做積分下限與積分上限，區(qū)間[a,b]叫做積分區(qū)間，函數(shù)f(x)叫做被積函數(shù)，x叫做積分變量，f(x)dx叫做被積式。

(1)定積分的幾何意義：當(dāng)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上恒為正時(shí)，定積分f(x)dx的幾何意

ab義是以曲線yf(x)為曲邊的曲邊梯形的面積。(2)定積分的性質(zhì)①

akf(x)dxbkf(x)dxab（k；

為常數(shù)）；②

abf(x)g(x)dxbcabf(x)dxbag(x)dxb③f(x)dxaaf(x)dxcf(x)dx（其中acb)。

2、微積分基本定理

如果yf(x)是區(qū)間[a,b]上的連續(xù)函數(shù)，并且F(x)f(x)，那么:

baf(x)dxF(x)|aF(b)F(a)

b3、定積分的簡單應(yīng)用

(1)定積分在幾何中的應(yīng)用：求曲邊梯形的面積由三條直線

xa,xb(ab)，x軸及一條曲線yf(x)(f(x)0)圍成的

曲邊梯的面積Sbaf(x)dx。

如果圖形由曲線y1＝f1(x)，y2＝f2(x)（不妨設(shè)f1(x)≥f2(x)≥0），及直線x＝a，x＝b（a

二、練習(xí)題

1、計(jì)算下列定積分：(1)(x1e1x1x0)dx(2)2(sinx2cosx)dx(3)(2sinx3e2)dx203x(4)(4xx2)dx(5)|2x|dx

0122、求下列曲線所圍成圖形的面積：

（1）曲線y2xx2,y2x24x；（2）曲線yex,yex,x1。

3、2(sinxcosx)dx的值是：

2A.4B.2C.

4D.0

4、曲線y2x,yx2所圍成圖形的面積是：A.1B.

23C.

12D.

13

5、已知自由下落物體的速度為vgt，則物體從t0到t1所走過的路程是：A.

13gB.gC.

1112gD.

14g

6、已知f(x)3x22x1，且7、已知f(a)f(x)dx2f(a)，則a

10(2axax)dx，求f(a)的最大值。

1228、已知f(x)為二次函數(shù)，且f(1)2,f(0)0,f(x)dx2，求：

0(1)f(x)的解析式；(2)f(x)在[1,1]上的最大值與最小值。

導(dǎo)數(shù)

1.導(dǎo)數(shù)（導(dǎo)函數(shù)的簡稱）的定義：設(shè)x0是函數(shù)yf(x)定義域的一點(diǎn)，如果自變

量x在x0處有增量x，則函數(shù)值y也引起相應(yīng)的增量yyxf(x0x)f(x0)xyxlimx0f(x0x)f(x0)；比值

稱為函數(shù)yf(x)在點(diǎn)x0到x0x之間的平均變化率；如果極

f(x)在點(diǎn)x0f(x0)"限

limx0f(x0x)f(x0)x存在，則稱函數(shù)y處可導(dǎo)，并把這個(gè)或

y|xx"0極限叫做

f(x0)=lim"yf(x)在

x0處的導(dǎo)數(shù)，記作

.

，即

yxlimx0f(x0x)f(x0)xx0注：①x是增量，我們也稱為“改變量”，因?yàn)閤可正，可負(fù)，但不為零(趨向0).②已知函數(shù)y2.函數(shù)y⑴函數(shù)yf(x)定義域?yàn)锳，yf(x)"的定義域?yàn)锽，則A與B關(guān)系為AB.

f(x)在點(diǎn)x0f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)與點(diǎn)x0處可導(dǎo)的關(guān)系：

f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)是y處可導(dǎo)的必要不充分條件.

f(x)點(diǎn)x0可以證明，如果y事實(shí)上，令xx0于是

xx0f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，那么y.

處連續(xù).

x，則xx0相當(dāng)于x0limf(x)limf(x0x)lim[f(xx0)f(x0)f(x0)]

x0x0lim[x0f(x0x)f(x0)xxf(x0)]limf(x0x)f(x0)xlimlimx0x0x0f(x0)f(x0)0f(x0)f(x0)."⑵如果yf(x)點(diǎn)x0處連續(xù)，那么y0f(x)在點(diǎn)x00處可導(dǎo)，是不成立的.

yx|x|x例：f(x)|x|在點(diǎn)x00時(shí)，

yx1；當(dāng)x處連續(xù)，但在點(diǎn)x0yx處不可導(dǎo)，因?yàn)椴淮嬖?

，當(dāng)x＞

＜0時(shí)，1，故limx0yx注：①可導(dǎo)的奇函數(shù)函數(shù)其導(dǎo)函數(shù)為偶函數(shù).

②可導(dǎo)的偶函數(shù)函數(shù)其導(dǎo)函數(shù)為奇函數(shù).3.導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)yf(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義就是曲線yf(x)在點(diǎn)

f(x)在點(diǎn)(x0,f(x))處的切線

的斜率，也就是說，曲線y方程為yy0

f(x)(xx0).

"P(x0,f(x))處的切線的斜率是f"(x0)，切線

4.求導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則：

(uv)uvyf1(x)f2(x)...fn(x)yf1(x)f2(x)...fn(x)"""""""

(uv)vuvu(cv)cvcvcvuv""""""""（c為常數(shù)）

vu"vuv2"(v0)

注：①u,v必須是可導(dǎo)函數(shù).

②若兩個(gè)函數(shù)可導(dǎo)，則它們和、差、積、商必可導(dǎo)；若兩個(gè)函數(shù)均不可導(dǎo)，則它們的和、差、積、商不一定不可導(dǎo).例如：設(shè)和

f(x)2sinx2x，g(x)cosx2x，則f(x),g(x)在x0處均不可導(dǎo)，但它們

f(x)g(x)

sinxcosx在x0處均可導(dǎo).

fx((x))f(u)(x)"""5.復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則：或y"xy"uu"x

復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則可推廣到多個(gè)中間變量的情形.6.函數(shù)單調(diào)性：

⑴函數(shù)單調(diào)性的判定方法：設(shè)函數(shù)yyf(x)為增函數(shù)；如果f(x)"f(x)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，如果f(x)"＞0，則

＜0，則yf(x)為減函數(shù).

⑵常數(shù)的判定方法；如果函數(shù)y注：①

f(x)在區(qū)間I內(nèi)恒有

f(x)"=0，則yf(x)為常數(shù).

f(x)0是f（x）遞增的充分條件，但不是必要條件，如y2x3在(,)上

，有一個(gè)點(diǎn)例外即x=0時(shí)f（x）=0，同樣f(x)0是f（x）

并不是都有

f(x)0遞減的充分非必要條件.

②一般地，如果f（x）在某區(qū)間內(nèi)有限個(gè)點(diǎn)處為零，在其余各點(diǎn)均為正（或負(fù)），那么f（x）在該區(qū)間上仍舊是單調(diào)增加（或單調(diào)減少）的.

7.極值的判別方法：（極值是在x0附近所有的點(diǎn)，都有函數(shù)

f(x)的極大值，極小值同理）f(x)在點(diǎn)x0f(x)＜

f(x0)，則f(x0)是

當(dāng)函數(shù)處連續(xù)時(shí)，

f(x)"①如果在x0附近的左側(cè)

＞0，右側(cè)

f(x)"＜0，那么

f(x0)是極大值；

②如果在x0附近的左側(cè)

f(x)"＜0，右側(cè)

f(x)"＞0，那么

f(x0)是極小值.

也就是說x0是極值點(diǎn)的充分條件是x0點(diǎn)兩側(cè)導(dǎo)數(shù)異號，而不是f"(x)=0①.此外，函數(shù)不可導(dǎo)的點(diǎn)也可能是函數(shù)的極值點(diǎn)②.當(dāng)然，極值是一個(gè)局部概念，極值點(diǎn)的大小關(guān)系是不確定的，即有可能極大值比極小值�。ê瘮�(shù)在某一點(diǎn)附近的點(diǎn)不同）.

注①：若點(diǎn)x0是可導(dǎo)函數(shù)

f(x)的極值點(diǎn)，則

f(x)"=0.但反過來不一定成立.對

于可導(dǎo)函數(shù)，其一點(diǎn)x0是極值點(diǎn)的必要條件是若函數(shù)在該點(diǎn)可導(dǎo)，則導(dǎo)數(shù)值為零.例如：函數(shù)yf(x)x3，x0使

f(x)"=0，但x0不是極值點(diǎn).

是函數(shù)的極小值點(diǎn).

②例如：函數(shù)yf(x)|x|，在點(diǎn)x0處不可導(dǎo)，但點(diǎn)x08.極值與最值的區(qū)別：極值是在局部對函數(shù)值進(jìn)行比較，最值是在整體區(qū)間上對函數(shù)值進(jìn)行比較.

注：函數(shù)的極值點(diǎn)一定有意義.9.幾種常見的函數(shù)導(dǎo)數(shù)：I.C"n0"n)cosx（C為常數(shù)）(six(arcsxi)n"11x2

(x)nx""n1（

11x2nR）(cosx)sinx

"(arccxo)s

1xx"2II.

(e(lnx)"1x

x(loagx)"1xlogae

(arctxa)n"1x

x)e""

1x2(a)alna

(arcotx)1

III.求導(dǎo)的常見方法：①常用結(jié)論：(ln②形如

|x|)"1x.

(xa1)(xa2)...(xan)(xb1)(xb2)...(xbn)y(xa1)(xa2)...(xan)或y兩邊同取自然對數(shù)，可

轉(zhuǎn)化求代數(shù)和形式.③無理函數(shù)或形如y對兩邊求導(dǎo)可得

xx這類函數(shù)，如yxx取自然對數(shù)之后可變形為lnyxlnx，

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