導數知識點總結復習

導數知識點總結復習

經典例題剖析

考點一：求導公式。例1.f(x)是f(x)13x2x1的導函數，則f(1)的值是。3

考點二：導數的幾何意義。

例2.已知函數yf(x)的圖象在點M(1，f(1))處的切線方程是y

1x2，則f(1)f(1)。2，3)處的切線方程是。例3.曲線yx32x24x2在點(1

點評：以上兩小題均是對導數的幾何意義的考查。考點三：導數的幾何意義的應用。

例4.已知曲線C：yx33x22x，直線l:ykx，且直線l與曲線C相切于點x0,y0x00，求直線l的方程及切點坐標。

點評：本小題考查導數幾何意義的應用。解決此類問題時應注意“切點既在曲線上又在切線上”這個條件的應用。函數在某點可導是相應曲線上過該點存在切線的充分條件，而不是必要條件�？键c四：函數的單調性。

例5.已知fxax3xx1在R上是減函數，求a的取值范圍。

32

點評：本題考查導數在函數單調性中的應用。對于高次函數單調性問題，要有求導意識。

第1頁

考點五：函數的極值。

例6.設函數f(x)2x33ax23bx8c在x1及x2時取得極值。（1）求a、b的值；

（2）若對于任意的x[0，3]，都有f(x)c2成立，求c的取值范圍。

點評：本題考查利用導數求函數的極值。求可導函數fx的極值步驟：①求導數f"x；

②求f"x0的根；③將f"x0的根在數軸上標出，得出單調區(qū)間，由f"x在各區(qū)間上取值的正負可確定并求出函數fx的極值�？键c六：函數的最值。

例7.已知a為實數，fxx24xa。求導數f"x；（2）若f"10，求fx在區(qū)間2,2上的最大值和最小值。

點評：本題考查可導函數最值的求法。求可導函數fx在區(qū)間a,b上的最值，要先求出函數fx在區(qū)間a,b上的極值，然后與fa和fb進行比較，從而得出函數的最大最小值。

第2頁

考點七：導數的綜合性問題。

例8.設函數f(x)ax3bxc(a0)為奇函數，其圖象在點(1,f(1))處的切線與直線x6y70垂直，導函數（1）求a，b，c的值；f"(x)的最小值為12。

（2）求函數f(x)的單調遞增區(qū)間，并求函數f(x)在[1,3]上的最大值和最小值。

點評：本題考查函數的奇偶性、單調性、二次函數的最值、導數的應用等基礎知識，以及推理能力和運算能力。強化訓練

（一）選擇題

1x21.已知曲線y的一條切線的斜率為，則切點的橫坐標為（）

24A．1

B．2

C．3

D．4

2.曲線yx33x21在點（1，－1）處的切線方程為

A．y3x4

B．y3x2

（）

D．y4x5

C．y4x3

3.函數y(x1)2(x1)在x1處的導數等于（）

A．1

B．2

C．3

D．4

4.已知函數f(x)在x1處的導數為3,則f(x)的解析式可能為

A．f(x)(x1)3(x1)C．f(x)2(x1)

22（）

B．f(x)2(x1)

D．f(x)x1

325.函數f(x)xax3x9，已知f(x)在x3時取得極值，則a=（）

A．2

3

2B．3C．4D．5

6.函數f(x)x3x1是減函數的區(qū)間為(D)

A．(2,)

B．(,2)

C．(,0)

D．(0,2)

第3頁

7.若函數fxx2bxc的圖象的頂點在第四象限，則函數f"x的圖象是（）

ABCD

oxox

oxox

yyyy8.函數f(x)2x2x3在區(qū)間[0,6]上的最大值是（）

A．

13323B．

163C．12D．9

9.函數yx33x的極大值為m，極小值為n，則mn為（）

A．0

B．1

C．2

D．4

10.三次函數fxax3x在x,內是增函數，則（）

A．a0

B．a0C．a1

D．a1311.在函數yx38x的圖象上，其切線的傾斜角小于

的點中，坐標為整數的點的個數是（）4A．3B．2C．1D．012.函數f(x)的定義域為開區(qū)間(a,b)，導函數f(x)在(a,b)內的圖象如圖所示，則函數f(x)在開區(qū)間(a,b)內有極小值點（）

yA．1個B．2個yf(x)C．3個D．4個

b

Oax

（二）填空題

313.曲線yx在點1,1處的切線與x軸、直線x2所圍成的三角形的面積為__________。

14.已知曲線y15.已知f(n)134x，則過點P(2,4)“改為在點P(2,4)”的切線方程是______________33(x)是對函數f(x)連續(xù)進行n次求導，若f(x)x6x5，對于任意xR，都有f(n)(x)=0，則n的最少

值為。

16.某公司一年購買某種貨物400噸，每次都購買x噸，運費為4萬元／次，一年的總存儲費用為4x萬元，要使一年的總運費與總存儲費用之和最小，則x噸．

（三）解答題

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17.已知函數fxx3ax2bxc，當x1時，取得極大值7；當x3時，取得極小值．求這個極小值及a,b,c的值．

18.已知函數f(x)x33x29xa.（1）求f(x)的單調減區(qū)間；

（2）若f(x)在區(qū)間[－2，2].上的最大值為20，求它在該區(qū)間上的最小值.

19.設t0，點P（t，0）是函數f(x)x3ax與g(x)bx2c的圖象的一個公共點，兩函數的圖象在點P處有相同的切線。

（1）用t表示a,b,c；

（2）若函數yf(x)g(x)在（－1，3）上單調遞減，求t的取值范圍。

3220.設函數fxxbxcx(xR)，已知g(x)f(x)f(x)是奇函數。

第5頁

（1）求b、c的值。

（2）求g(x)的單調區(qū)間與極值。

21.用長為18cm的鋼條圍成一個長方體形狀的框架，要求長方體的長與寬之比為2：1，問該長方體的長、寬、高各為多少時，其體積最大？最大體積是多少？

22.已知函數f(x)21312xaxbx在區(qū)間[11)，，(1，3]內各有一個極值點．32（1）求a4b的最大值；

，f(1))處的切線為l，若l在點A處穿過函數yf(x)的圖象（即（1）當a4b8時，設函數yf(x)在點A(1動點在點A附近沿曲線yf(x)運動，經過點A時，從l的一側進入另一側），求函數f(x)的表達式．

2第6頁

擴展閱讀：導數復習知識點總結

高考數學復習詳細資料導數概念與運算知識清單

1．導數的概念

函數y=f(x),如果自變量x在x0處有增量x，那么函數y相應地有增量y=f（x0+x）－f（x0），比值

yyf(x0x)f(x0)xx叫做函數y=f（x）在x0到x0+x之間的平均變化率，即x=。如果當x0時，

yx有極限，我們就說函數y=f(x)在點x0處可導，并把這個極限叫做f（x）在點x0處的導數，記作f’

（x0）或y’|xx0。

lim即f（x0）=x0說明：

f(x0x)f(x0)ylimxx=x0。

yy（1）函數f（x）在點x0處可導，是指x0時，x有極限。如果x不存在極限，就說函數在點x0處

不可導，或說無導數。

（2）x是自變量x在x0處的改變量，x0時，而y是函數值的改變量，可以是零。由導數的定義可知，求函數y=f（x）在點x0處的導數的步驟（可由學生來歸納）：（1）求函數的增量y=f（x0+x）－f（x0）；

yf(x0x)f(x0)x（2）求平均變化率x=；

y（3）取極限，得導數f’(x0)=x0x。

lim2．導數的幾何意義

函數y=f（x）在點x0處的導數的幾何意義是曲線y=f（x）在點p（x0，f（x0））處的切線的斜率。也就是說，曲線y=f（x）在點p（x0，f（x0））處的切線的斜率是f’（x0）。相應地，切線方程為y－y0=f/（x0）（x－x0）。

3．幾種常見函數的導數:

xnnxn1;C0;①②③(sinx)cosx;④(cosx)sinx;

11lnxlogxlogaeaxxxx(e)e;(a)alnax;⑧x⑤⑥;⑦.

4．兩個函數的和、差、積的求導法則

法則1：兩個函數的和(或差)的導數,等于這兩個函數的導數的和(或差)，

"""uv)uv.即：(

法則2：兩個函數的積的導數,等于第一個函數的導數乘以第二個函數,加上第一個

"""(uv)uvuv.函數乘以第二個函數的導數，即：

"""""(Cu)CuCu0CuCu若C為常數,則.即常數與函數的積的導數等于常數乘以函數的導數：

(Cu)"Cu".

法則3：兩個函數的商的導數，等于分子的導數與分母的積，減去分母的導數與分子的積，再除以分母

uu"vuv"2的平方：v‘=v（v0）。

形如y=f(x)的函數稱為復合函數。復合函數求導步驟：分解求導回代。法則：y＇|X=y＇|Uu＇|X

201*高考數學復習詳細資料導數應用知識清單

單調區(qū)間：一般地，設函數yf(x)在某個區(qū)間可導，

"f如果(x)0，則f(x)為增函數；"f如果(x)0，則f(x)為減函數；

"f如果在某區(qū)間內恒有(x)0，則f(x)為常數；

2．極點與極值：

曲線在極值點處切線的斜率為0，極值點處的導數為0；曲線在極大值點左側切線的斜率為正，右側為負；曲線在極小值點左側切線的斜率為負，右側為正；3．最值：

一般地，在區(qū)間[a，b]上連續(xù)的函數f(x)在[a，b]上必有最大值與最小值。①求函數(x)在(a，b)內的極值；②求函數(x)在區(qū)間端點的值(a)、(b)；

③將函數(x)的各極值與(a)、(b)比較，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。

4．定積分

（1）概念：設函數f(x)在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，用分點a＝x0

這里，a與b分別叫做積分下限與積分上限，區(qū)間[a，b]叫做積分區(qū)間，函數f(x)叫做被積函數，x叫做積分變量，f(x)dx叫做被積式�；�本的積分公式：

0dx＝C；

1xm1xdx＝m1＋C（m∈Q，m≠－1）；

m1xdx＝lnx＋C；

exdx＝e＋C；

xaxxadx＝lna＋C；

cosxdx＝sinx＋C；

sinxdx＝－cosx＋C（表中C均為常數）。

（2）定積分的性質①abkf(x)dxkf(x)dxabab（k為常數）；

ba②abf(x)g(x)dxf(x)dxg(x)dxf(x)dxf(x)dxf(x)dxcb；

ac③a（其中a＜c＜b)。（3）定積分求曲邊梯形面積由三條直線x＝a，x＝b（a

2yxx1的切線，則其中一條切線為（）3．過點（－1，0）作拋物線

（A）2xy20（B）3xy30（C）xy10（D）xy10

4．半徑為r的圓的面積S(r)＝r2,周長C(r)=2r，若將r看作(0，＋∞)上的變量，則(r2)`＝2r○1，1式可以用語言敘述為：圓的面積函數的導數等于圓的周長函數。對于半徑為R的球，若將R看作(0，○

＋∞)上的變量，請你寫出類似于

1的式子：；○

2式可以用語言敘述為：�！�

y12x和yx在它們交點處的兩條切線與x軸所圍成的三角形面積是。

5．曲線

6．對于R上可導的任意函數f（x），若滿足（x－1）f（x）0，則必有（）A．f（0）＋f（2）2f（1）B.f（0）＋f（2）2f（1）

C．f（0）＋f（2）2f（1）D.f（0）＋f（2）2f（1）

7．函數f(x)的定義域為開區(qū)間(a,b)，導函數f(x)在(a,b)內的圖象如圖所示，則函數f(x)在開區(qū)間

(a,b)內有極小值點（）

A．1個B．2個C．3個D．4個8．已知函數

fx1xaxeyfxx0,1fx11x。（Ⅰ）設a0，討論的單調性；（Ⅱ）若對任意恒有，

求a的取值范圍。

32f(x)x3x2在區(qū)間1,1上的最大值是（）9．

(A)－2(B)0(C)2(D)4

322x3(a1)x1,其中a1.10．設函數f(x)=

（Ⅰ）求f(x)的單調區(qū)間；

（Ⅱ）討論f(x)的極值。

3f(x)x3x2分別在x1、x2處取得極小值、極大值.xoy平面上點A、B的坐標分別為11．設函數

（x1,f(x1)）（x,f(x)）2、2，該平面上動點P滿足PAPB4,點Q是點P關于直線y2(x4)的對稱點.求

(I)求點A、B的坐標；(II)求動點Q的軌跡方程.

12．請您設計一個帳篷。它下部的形狀是高為1m的正六棱柱，上部的形狀是側棱長為3m的正六棱錐（如右圖所示）。試問當帳篷的頂點O到底面中心o1的距離為多少時，帳篷的體積最大？13．計算下列定積分的值

（1）312(4xx2)dx

（2）1（3）(x1)5dx；；

20(xsinx)dxcos2xdx（4）

22；

14．（1）一物體按規(guī)律x＝bt3作直線運動，式中x為時間t內通過的距離，媒質的阻力正比于速度的平方．試求物體由x＝0運動到x＝a時，阻力所作的功。（2）拋物線y=ax2＋bx在第一象限內與直線x＋y=4相切．此拋物線與x軸所圍成的圖形的面積記為S．求使S達到最大值的a、b值，并求Smax．典型例題

一導數的概念與運算

EG：如果質點A按規(guī)律s=2t3運動，則在t=3s時的瞬時速度為（）A.6m/sB.18m/sC.54m/sD.81m/s變式：定義在D上的函數f(x)，如果滿足：xD，常數M0，都有|f(x)|≤M成立，則稱f(x)是D上的有界函數，其中M稱為函數的上界.

S(t)1att1，要使在t[0,)上的每一時刻的瞬時速度是以

【文】（1）若已知質點的運動方程為

M=1為上界的有界函數，求實數a的取值范圍.

【理】（2）若已知質點的運動方程為S(t)2t1at，要使在t[0,)上的每一時刻的瞬時速度是以M=1為上界的有界函數，求實數a的取值范圍.EG：已知

f(x)1f(2x)f(2),則limx0xx的值是（）

A.

114B.2C.4D.－2

h0變式1：A．－１變式2：

A．

設f34,則limf3hf3為2h（）

Ｂ．－2C．－3D．1

fx0xfx03xxx0設fx在x0可導,則lim等于（）

2fx0B．

fx0C．

3fx0D．

4fx0

曲線h(t)在t0,t1,t2附近得變化情況。根據所給的函數圖像比較變式：函數f(x)的圖像如圖所示，下列數值排序正確的是（）//0f(2)f(3)f(3)f(2)yA.//0f(3)f(3)f(2)f(2)B.//0f(3)f(2)f(3)f(2)C.//0f(3)f(2)f(2)f(3)O1234xD.

EG：求所給函數的導數：

x31（文科）yxlog2x;yxe;ysinx(理科）y(x1)99;y2ex;y2xsin2x53nx。

變式：設f(x)、g(x)分別是定義在R上的奇函數和偶函數,當x＜0時,f(x)g(x)f(x)g(x)＞0.且g(3)=0.則不等式f(x)g(x)＜0的解集是

A．(－3,0)∪(3,+∞)B．(－3,0)∪(0,3)C．(－∞,－3)∪(3,+∞)D．(－∞,－3)∪(0,3)

EG：已知函數yxlnx.(1)求這個函數的導數；（2）求這個函數在點x1處的切線的方程.

xye變式1：已知函數.

（1）求這個函數在點xe處的切線的方程；

（2）過原點作曲線y＝ex的切線，求切線的方程.

變式2：函數y＝ax2＋1的圖象與直線y＝x相切，則a＝()

111A.8B.4C.2D.1

EG：判斷下列函數的單調性，并求出單調區(qū)間：

(1)f(x)x33x;(2)f(x)x22x3;(3)f(x)sinxx,x(0,);(4)f(x)2x33x224x1.

xf(x)xe變式1：函數的一個單調遞增區(qū)間是

A.1,0B.2,8C.1,2D.0,2

y13xx2ax53

變式2：已知函數

(1)若函數的單調遞減區(qū)間是（-3，1），則a的是.(2)若函數在[1,)上是單調增函數，則a的取值范圍是.

32f(x)xax與g(x)bxc的圖象的一個公共點，兩函數的圖t0t變式3：設，點P（，0）是函數

象在點P處有相同的切線.

（Ⅰ）用t表示a，b，c；

（Ⅱ）若函數yf(x)g(x)在（－1，3）上單調遞減，求t的取值范圍.

1f(x)x34x43EG：求函數的極值.

1f(x)x34x40,33求函數在上的最大值與最小值..

變式1：函數f(x)的定義域為開區(qū)間(a,b)，導函數f(x)在(a,b)內的圖象如圖所示，則函數f(x)在開區(qū)間(a,b)內有極小值點（）A．1個

B．2個C．3個D．4個

變式2：已知函數f(x)axbxcx在點

32yyf(x)x0b處取得極

aOx大值5，示.求：

其導函數yf"(x)的圖象經過點(1,0)，(2,0)，如圖所（Ⅰ）

x0的值；（Ⅱ）a,b,c的值.

43f(x)axbx4，當x2時，函數f(x)極值3，變式3：若函數

（1）求函數的解析式；

（2）若函數f(x)k有3個解，求實數k的取值范圍．

變式4：已知函數值范圍。

f(x)x312x2xc2，對x〔－1，2〕，不等式f（x）c2恒成立，求c的取

xlnxxe,x0EG：利用函數的單調性，證明：

變式1：證明：

11lnx1xx1，x1

變式2：（理科）設函數f(x)=(1+x)2－ln(1+x)2.若關于x的方程f(x)=x2+x+a在[0，2]上恰好有兩個相異的

實根，求實數a的取值范圍.

32f(x)x3xxR,fmxf1mx0恒成立,求實數m的取值范圍EG：函數若

fmsinf1m003f(x)x3xxR,2恒成立，求實數m的取值范圍.變式1:設函數若

22(t,t)f(x)x(0x6)BAx變式2:如圖,曲線段OMB是函數的圖象,軸于點A,曲線段OMB上一點M

處的切線PQ交x軸于點P,交線段AB于點Q，

(1)若t已知,求切線PQ的方程(2)求QAP的面積的最大值

變式3:用長為90cm，寬為48cm的長方形鐵皮做一個無蓋的容器，先在四角分別截去一個小正方形，然

后把四邊翻折900角，再焊接而成，問該容器的高為多少時，容器的容積最大？最大的容積是多少？變式4:某廠生產某種產品x件的總成本

c(x)1201*3x75（萬元），已知產品單價的平方與產品件數x成

反比，生產100件這樣的產品單價為50萬元，產量定為多少時總利潤最大？

EG：計算下列定積分：（理科定積分、微積分）

2131(1)dx;(2)(2x2)dx;(3)sinxdx;1x10x(4)sinxdx;(5)sinxdx022

變式1：計算：；

（1）

20cos2x22dx4xdxcosxsinx；0（2）

2y變式2：求將拋物線x和直線x1圍成的圖形繞x軸旋轉一周得到的幾何體的體積.

12x0上某一點A處作一切線使之與曲線以及x軸所圍的面積為12，試求：yx變式3：在曲線（1）切點A的坐標；（2）在切點A的切線方程.

實戰(zhàn)訓練

1.設函數f(x)在定義域內可導，y=f(x)的圖象如右圖所示，則導函數y=f(x)的圖象可能為()

2.已知曲線S:y=3x－x3及點P(2,2),則過點P可向S引切線的條數為()(A)0

(B)1

(x0,y0)(C)2(D)3

.

3.C設S上的切點求導數得斜率，過點P可求得:

(x01)(x02)204.函數yxcosxsinx在下面哪個區(qū)間內是增函數（）.

335(A)(,)(C)(,)(,2)2,3)22(B)22(D)(5.y=2x3－3x2+a的極大值為6，那么a等于()(A)6(B)0(C)5(D)1

6.函數f(x)＝x3－3x+1在閉區(qū)間[-3，0]上的最大值、最小值分別是()(A)1，－1(B)3，-17(C)1，－17(D)9，－19

7.設l1為曲線y1=sinx在點(0，0)處的切線，l2為曲線y2=cosx在點(2,0)處的切線，則l1與l2的夾角為___________.

8.設函數f(x)=x3+ax2+bx－1，若當x=1時，有極值為1，則函數g(x)=x3+ax2+bx的單調遞減區(qū)間為.

9．（07湖北）已知函數yf(x)的圖象在點M(1，f(1))處的切線方程是

y1x22，則f(1)f(1)

3f(x)12xx3]上的最小值是10．（07湖南）函數在區(qū)間[3，32yx2x4x2在點(1，3)11．（07浙江）曲線處的切線方程是9．.已知函數

f(x)x3ax2b(a,bR)

（Ⅰ）若函數f(x)圖像上任意一點處的切線的斜率小于1，求證：3a3；（Ⅱ）若

x0,1k≤1，函數yf(x)圖像上任意一點處的切線的斜率為k，試討論的充要條件。

xxt12．(07安徽)設函數f（x）=-cos2x-4tsin2cos2+4t2+t2-3t+4,x∈R,其中≤1，將f(x)的最小值記為g(t).

(Ⅰ)求g(t)的表達式；(Ⅱ)詩論g(t)在區(qū)間（-1,1）內的單調性并求極值.實戰(zhàn)訓練B

g(x)g(x)，且x0時，f(x)0，g(x)0，則1．（07福建）已知對任意實數x，有f(x)f(x)，x0時（）

A．f(x)0，g(x)0C．f(x)0，g(x)0

1x2

B．f(x)0，g(x)0D．f(x)0，g(x)0

2(4，e)處的切線與坐標軸所圍三角形的面積為（）ye2．（07海南）曲線在點

92eＡ．2

Ｂ．4e

2

Ｃ．2e

2

Ｄ．e

2x2ye(2，e)處的切線與坐標軸所圍三角形的面積為（）3．（07海南）曲線在點

92eＡ．4

22eＢ．

2eＣ．

e2Ｄ．2

2f(x)axbxc的導數為f"(x)，f"(0)0，對于任意實數x都有f(x)0，4．（07江蘇）已知二次函數

f(1)則f"(0)的最小值為（）

53A．3B．2C．2D．2

0xπ2，則下列命題中正確的是（）

5．（07江西）5．若

sinxA．

3344xsinxxsinx2x2sinx2x2πB．πC．ππD．

6．（07江西）若

sinx2xπ

0xπ2，則下列命題正確的是（）

A．B．

sinx2xπ

C．

sinx3xπ

D．

sinx3xπ

7．（07遼寧）已知f(x)與g(x)是定義在R上的連續(xù)函數，如果f(x)與g(x)僅當x0時的函數值為0，且f(x)≥g(x)，那么下列情形不可能出現的是（）A．0是f(x)的極大值，也是g(x)的極大值B．0是f(x)的極小值，也是g(x)的極小值C．0是f(x)的極大值，但不是g(x)的極值D．0是f(x)的極小值，但不是g(x)的極值

41yx3x1，38．（07全國一）曲線在點3處的切線與坐標軸圍成的三角形面積為（）

1A．92B．91C．32D．3

x21y4的一條切線的斜率為2，則切點的橫坐標為（）9．（07全國二）已知曲線

A．1B．2C．3D．4

10．（07浙江）設f(x)是函數f(x)的導函數，將yf(x)和yf(x)的圖象畫在同一個直角坐標系中，不可能正確的是（）

1f(x)x32x1311．(07北京)f(x)是的導函數，則f(1)的值是

12．（07廣東）函數f(x)xlnx(x0)的單調遞增區(qū)間是

3f(x)x12x8在區(qū)間[3,3]上的最大值與最小值分別為M,m，則Mm13．（07江蘇）已知函數22f(x)tx2txt1(xR，t0)．14．（07福建）設函數

（Ⅰ）求f(x)的最小值h(t)；

2)恒成立，求實數m的取值范圍．（Ⅱ）若h(t)2tm對t(0，2f(x)2ax2x3a．a15．(07廣東)已知是實數，函數如果函數yf(x)在區(qū)間[1,1]上有零點，求a的取值范圍．

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