高中數(shù)學(xué)數(shù)列知識(shí)點(diǎn)總結(jié)(經(jīng)典)

導(dǎo)航教育獨(dú)家經(jīng)典講義

數(shù)列基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)和方法歸納

1.等差數(shù)列的定義與性質(zhì)

定義：an1and（d為常數(shù)），ana1n1d等差中項(xiàng)：x，A，y成等差數(shù)列2Axy前n項(xiàng)和Sna1annna21nn1d2性質(zhì)：an是等差數(shù)列

（1）若mnpq，則amanapaq；

（2）數(shù)列a2n1,a2n,a2n1仍為等差數(shù)列，Sn，S2nSn，S3nS2n……仍為等差數(shù)列，公差為n2d；

（3）若三個(gè)成等差數(shù)列，可設(shè)為ad，a，ad（4）若an，bn是等差數(shù)列，且前n項(xiàng)和分別為Sn，Tn，則

amS2m1bmT2m1（5）an為等差數(shù)列Snan2bn（a，b為常數(shù)，是關(guān)于n的常數(shù)項(xiàng)為0的二次函數(shù)）

Sn的最值可求二次函數(shù)Snan2bn的最值；或者求出an中的正、負(fù)分界

項(xiàng)，

an0即：當(dāng)a10，d0，解不等式組可得Sn達(dá)到最大值時(shí)的n值.

a0n1a0當(dāng)a10，d0，由n可得Sn達(dá)到最小值時(shí)的n值.

an10(6)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)2n的等差數(shù)列an，有

S2nn(a1a2n)n(a2a2n1)n(anan1)(an,an1為中間兩項(xiàng))

S偶S奇nd，

S奇S偶an.an1，有

（7）項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)2n1的等差數(shù)列an

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S2n1(2n1)an(an為中間項(xiàng))，S奇S奇偶an，

SSn偶n1.2.等比數(shù)列的定義與性質(zhì)

定義：

an1aq（q為常數(shù)，q0），ana1qn1n.等比中項(xiàng)：x、G、y成等比數(shù)列G2xy，或Gxy.

na1(q前n項(xiàng)和：S1)na11qn1q(q1)（要注意�。�

性質(zhì)：an是等比數(shù)列

（1）若mnpq，則amanapaq

（2）Snn，S2nSn，S3nS2n……仍為等比數(shù)列,公比為q.注意：由Sn求an時(shí)應(yīng)注意什么？

n1時(shí)，a1S1；

n2時(shí)，anSnSn1.

3．求數(shù)列通項(xiàng)公式的常用方法（1）求差（商）法

如：數(shù)列a1211n，a122a2……2nan2n5，求an

解n1時(shí)，12a1215，∴a114n2時(shí)，12a11122a2……2n1an12n15①②得：1n114(n1)2nan2，∴an2，∴an2n1(n2)［練習(xí)］數(shù)列a5n滿(mǎn)足SnSn13an1，a14，求an

注意到aSn1n1Sn1Sn，代入得

S4又S14，∴Sn是等比數(shù)列，n；

2①②

Sn4n導(dǎo)航教育獨(dú)家經(jīng)典講義

n2時(shí)，anSnSn1……34n1

（2）疊乘法

an如：數(shù)列an中，a13，n1，求an

ann1解

3aa1a2a312n1，∴n又a13，∴an……n……n.a1na1a2an123n（3）等差型遞推公式

由anan1f(n)，a1a0，求an，用迭加法

a3a2f(3)n2時(shí)，兩邊相加得ana1f(2)f(3)……f(n)

…………anan1f(n)a2a1f(2)∴ana0f(2)f(3)……f(n)［練習(xí)］數(shù)列an中，a11，an3（4）等比型遞推公式

n1an1n2，求an（

an1n312）

ancan1d（c、d為常數(shù)，c0，c1，d0）

可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列，設(shè)anxcan1xancan1c1x令(c1)xd，∴xddd，c為公比的等比數(shù)列，∴an是首項(xiàng)為a1c1c1c1∴anddn1dn1d，∴a1caacn1c1c1c1c1（5）倒數(shù)法如：a11，an12an，求anan2由已知得：

a2111111n，∴an12an2anan1an2111111n1，∴為等差數(shù)列，1，公差為，∴1n12a1an22an

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∴an(附：

2n1

公式法、利用

anS1(n1)SnSn1(n2)、累加法、累乘法.構(gòu)造等差或等比

an1panq或an1panf(n)、待定系數(shù)法、對(duì)數(shù)變換法、迭代法、數(shù)學(xué)歸納法、換元法

)

4.求數(shù)列前n項(xiàng)和的常用方法

(1)裂項(xiàng)法

把數(shù)列各項(xiàng)拆成兩項(xiàng)或多項(xiàng)之和，使之出現(xiàn)成對(duì)互為相反數(shù)的項(xiàng).如：an是公差為d的等差數(shù)列，求1

k1akak1n解：由

n11111d0

akak1akakddakak1n11111111111……∴ak1da1a2a2a3k1aka","p":{"h":19.195,"w":9.074,"x":207.621,導(dǎo)航教育獨(dú)家經(jīng)典講義

x1時(shí)，Sn1xnxnn1x21x，x1時(shí)，Sn123……nnn12（3）倒序相加法

把數(shù)列的各項(xiàng)順序倒寫(xiě)，再與原來(lái)順序的數(shù)列相加.

Sna1a2……an1an相加2Sna1ana2an1…a1an…

Snanan1……a2a1x2［練習(xí)］已知f(x)，則21x1f(1)f(2)ff(3)21ff(4)321f41x2x21x1由f(x)f12222x1x1x1x11x

∴原式f(1)f(2)(附：

1ff(3)21ff(4)3111f1113

242a.用倒序相加法求數(shù)列的前n項(xiàng)和

如果一個(gè)數(shù)列{an}，與首末項(xiàng)等距的兩項(xiàng)之和等于首末兩項(xiàng)之和，可采用把正著寫(xiě)

與倒著寫(xiě)的兩個(gè)和式相加，就得到一個(gè)常數(shù)列的和，這一求和方法稱(chēng)為倒序相加法。我們?cè)趯W(xué)知識(shí)時(shí)，不但要知其果，更要索其因，知識(shí)的得出過(guò)程是知識(shí)的源頭，也是研究同一類(lèi)知識(shí)的工具，例如：等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)，用的就是“倒序相加法”。b.用公式法求數(shù)列的前n項(xiàng)和

對(duì)等差數(shù)列、等比數(shù)列，求前n項(xiàng)和Sn可直接用等差、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式進(jìn)行求解。運(yùn)用公式求解的注意事項(xiàng)：首先要注意公式的應(yīng)用范圍，確定公式適用于這個(gè)數(shù)列之后，再計(jì)算。c.用裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的前n項(xiàng)和

裂項(xiàng)相消法是將數(shù)列的一項(xiàng)拆成兩項(xiàng)或多項(xiàng)，使得前后項(xiàng)相抵消，留下有限項(xiàng)，從而求出數(shù)列的前n項(xiàng)和。d.用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前n項(xiàng)和

錯(cuò)位相減法是一種常用的數(shù)列求和方法，應(yīng)用于等比數(shù)列與等差數(shù)列相乘的形式。即若在數(shù)列{anbn}中，{an}成等差數(shù)列，{bn}成等比數(shù)列，在和式的兩邊同乘以公比，再與原式錯(cuò)位相減整理后即可以求出前n項(xiàng)和。e.用迭加法求數(shù)列的前n項(xiàng)和

迭加法主要應(yīng)用于數(shù)列{an}滿(mǎn)足an+1=an+f(n)，其中f(n)是等差數(shù)列或等比數(shù)列的條

導(dǎo)航教育獨(dú)家經(jīng)典講義

件下，可把這個(gè)式子變成an+1-an=f(n)，代入各項(xiàng)，得到一系列式子，把所有的式子加到一起，經(jīng)過(guò)整理，可求出an，從而求出Sn。f.用分組求和法求數(shù)列的前n項(xiàng)和所謂分組求和法就是對(duì)一類(lèi)既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列的數(shù)列，若將這類(lèi)數(shù)列適當(dāng)拆開(kāi)，可分為幾個(gè)等差、等比或常見(jiàn)的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并。g.用構(gòu)造法求數(shù)列的前n項(xiàng)和所謂構(gòu)造法就是先根據(jù)數(shù)列的結(jié)構(gòu)及特征進(jìn)行分析，找出數(shù)列的通項(xiàng)的特征，構(gòu)造出我們熟知的基本數(shù)列的通項(xiàng)的特征形式，從而求出數(shù)列的前n項(xiàng)和。)

6

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數(shù)列知識(shí)點(diǎn)復(fù)習(xí)龐順清

高中數(shù)列知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

1.等差數(shù)列的定義與性質(zhì)

定義：an1and（d為常數(shù)），ana1n1d等差中項(xiàng)：x，A，y成等差數(shù)列2Axy前n項(xiàng)和Sna1annna21nn1d2性質(zhì)：an是等差數(shù)列

（1）若mnpq，則amanapaq；

（2）數(shù)列a2n1,a2n,a2n1仍為等差數(shù)列，Sn，S2nSn，S3nS2n……仍為等差數(shù)列，公差為n2d；

（3）若三個(gè)成等差數(shù)列，可設(shè)為ad，a，ad（4）若an，bn是等差數(shù)列，且前n項(xiàng)和分別為Sn，Tn，則

amS2m1bmT2m1（5）an為等差數(shù)列Snan2bn（a，b為常數(shù)，是關(guān)于n的常數(shù)項(xiàng)為0的二次函數(shù)）

Sn的最值可求二次函數(shù)Snan2bn的最值；或者求出an中的正、負(fù)分界

項(xiàng)，

a0即：當(dāng)a10，d0，解不等式組n可得Sn達(dá)到最大值時(shí)的n值.

an10an0當(dāng)a10，d0，由可得Sn達(dá)到最小值時(shí)的n值.

a0n1(6)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)2n的等差數(shù)列an，有

S2nn(a1a2n)n(a2a2n1)n(anan1)(an,an1為中間兩項(xiàng))

S偶S奇nd，

S奇S偶an.an1數(shù)列知識(shí)點(diǎn)復(fù)習(xí)龐順清

（7）項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)2n1的等差數(shù)列an，有

S2n1(2n1)an(an為中間項(xiàng))，S奇S偶aS奇n，

Sn偶n1.2.等比數(shù)列的定義與性質(zhì)

定義：

an1q（q為常數(shù)，q0），ana1qn1an.等比中項(xiàng)：x、G、y成等比數(shù)列G2xy，或Gxy.

na1(q1)前n項(xiàng)和：Snan11q1q(q1)（要注意�。�

性質(zhì)：an是等比數(shù)列

（1）若mnpq，則amanapaq

（2）Sn，S2nSn，S3nS2n……仍為等比數(shù)列,公比為qn.注意：由Sn求an時(shí)應(yīng)注意什么？

n1時(shí)，a1S1；n2時(shí)，anSnSn1.

3．求數(shù)列通項(xiàng)公式的常用方法（1）求差（商）法

如：數(shù)列a111n，2a122a2……2nan2n5，求an

解n1時(shí)，12a1215，∴a114n2時(shí)，12a11122a2……2n1an12n15①②得：1n114(n1)2nan2，∴an2，∴ann1(n2)

2［練習(xí)］數(shù)列a5n滿(mǎn)足SnSn13an1，a14，求an

2

①②

數(shù)列知識(shí)點(diǎn)復(fù)習(xí)龐順清

注意到an1Sn1Sn，代入得

Sn14又S14，∴Sn是等比數(shù)列，Sn4nSn；

n2時(shí)，anSnSn1……34n1

（2）疊乘法

an如：數(shù)列an中，a13，n1，求an

ann1解

3aa1a2a312n1，∴n又a13，∴an……n……n.a1na1a2an123n（3）等差型遞推公式

由anan1f(n)，a1a0，求an，用迭加法

a3a2f(3)n2時(shí)，兩邊相加得ana1f(2)f(3)……f(n)

…………anan1f(n)a2a1f(2)∴ana0f(2)f(3)……f(n)［練習(xí)］數(shù)列an中，a11，an3（4）等比型遞推公式

n1an1n2，求an（

an1n312）

ancan1d（c、d為常數(shù)，c0，c1，d0）

可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列，設(shè)anxcan1xancan1c1x令(c1)xd，∴xddda，c為公比的等比數(shù)列，∴an是首項(xiàng)為1c1c1c1∴anddn1dn1d，∴a1caacn1c1c1c1c1（5）倒數(shù)法如：a11，an12an，求anan2數(shù)列知識(shí)點(diǎn)復(fù)習(xí)龐順清

由已知得：

a2111111n，∴an12an2anan1an2111111∴為等差數(shù)列，1，公差為，∴1n1n1，

2a1an22an∴an(附：

2n1

公式法、利用

anS1(n1)SnSn1(n2)、累加法、累乘法.構(gòu)造等差或等比

an1panq或an1panf(n)、待定系數(shù)法、對(duì)數(shù)變換法、迭代法、數(shù)學(xué)歸納法、換元法

)

4.求數(shù)列前n項(xiàng)和的常用方法

(1)裂項(xiàng)法

把數(shù)列各項(xiàng)拆成兩項(xiàng)或多項(xiàng)之和，使之出現(xiàn)成對(duì)互為相反數(shù)的項(xiàng).如：an是公差為d的等差數(shù)列，求1

k1akak1n解：由

n11111d0

akak1akakddakak1n11111111111……∴ak1da1a2a2a3k1akak1k1dakanan1111da1an1［練習(xí)］求和：1111……12123123……n1an…………，Sn2

n1（2）錯(cuò)位相減法

若an為等差數(shù)列，bn為等比數(shù)列，求數(shù)列anbn（差比數(shù)列）前n項(xiàng)和，可由

數(shù)列知識(shí)點(diǎn)復(fù)習(xí)龐順清

SnqSn，求Sn，其中q為bn的公比.

如：Sn12x3x24x3……nxn1

①

xSnx2x23x34x4……n1xn1nxn①②1xSn1xx2……xn1nxn

x1時(shí)，Sn②

1xnxnn1x21x，x1時(shí)，Sn123……nnn12（3）倒序相加法

把數(shù)列的各項(xiàng)順序倒寫(xiě)，再與原來(lái)順序的數(shù)列相加.

Sna1a2……an1an相加2Sna1ana2an1…a1an…

Snanan1……a2a1x2［練習(xí)］已知f(x)，則

1x21f(1)f(2)ff(3)21ff(4)321f41x2x21x1由f(x)f12222x1x11x1x1x

∴原式f(1)f(2)(附：

1ff(3)21ff(4)3111f1113

242a.用倒序相加法求數(shù)列的前n項(xiàng)和

如果一個(gè)數(shù)列{an}，與首末項(xiàng)等距的兩項(xiàng)之和等于首末兩項(xiàng)之和，可采用把正著寫(xiě)

與倒著寫(xiě)的兩個(gè)和式相加，就得到一個(gè)常數(shù)列的和，這一求和方法稱(chēng)為倒序相加法。我們?cè)趯W(xué)知識(shí)時(shí)，不但要知其果，更要索其因，知識(shí)的得出過(guò)程是知識(shí)的源頭，也是研究同一類(lèi)知識(shí)的工具，例如：等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)，用的就是“倒序相加法”。b.用公式法求數(shù)列的前n項(xiàng)和

對(duì)等差數(shù)列、等比數(shù)列，求前n項(xiàng)和Sn可直接用等差、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式進(jìn)行求解。運(yùn)用公式求解的注意事項(xiàng)：首先要注意公式的應(yīng)用范圍，確定公式適用于這個(gè)數(shù)列之后，再計(jì)算。c.用裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的前n項(xiàng)和

數(shù)列知識(shí)點(diǎn)復(fù)習(xí)龐順清

裂項(xiàng)相消法是將數(shù)列的一項(xiàng)拆成兩項(xiàng)或多項(xiàng)，使得前后項(xiàng)相抵消，留下有限項(xiàng)，從而求出數(shù)列的前n項(xiàng)和。d.用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前n項(xiàng)和

錯(cuò)位相減法是一種常用的數(shù)列求和方法，應(yīng)用于等比數(shù)列與等差數(shù)列相乘的形式。即若在數(shù)列{anbn}中，{an}成等差數(shù)列，{bn}成等比數(shù)列，在和式的兩邊同乘以公比，再與原式錯(cuò)位相減整理后即可以求出前n項(xiàng)和。e.用迭加法求數(shù)列的前n項(xiàng)和

迭加法主要應(yīng)用于數(shù)列{an}滿(mǎn)足an+1=an+f(n)，其中f(n)是等差數(shù)列或等比數(shù)列的條件下，可把這個(gè)式子變成an+1-an=f(n)，代入各項(xiàng)，得到一系列式子，把所有的式子加到一起，經(jīng)過(guò)整理，可求出an，從而求出Sn。f.用分組求和法求數(shù)列的前n項(xiàng)和

所謂分組求和法就是對(duì)一類(lèi)既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列的數(shù)列，若將這類(lèi)數(shù)列適當(dāng)拆開(kāi)，可分為幾個(gè)等差、等比或常見(jiàn)的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并。g.用構(gòu)造法求數(shù)列的前n項(xiàng)和

所謂構(gòu)造法就是先根據(jù)數(shù)列的結(jié)構(gòu)及特征進(jìn)行分析，找出數(shù)列的通項(xiàng)的特征，構(gòu)造出我們熟知的基本數(shù)列的通項(xiàng)的特征形式，從而求出數(shù)列的前n項(xiàng)和。)

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