高中數(shù)學必修1-4知識點歸納

高中數(shù)學學業(yè)水平測試必修1-4知識點總結高二數(shù)學組全體老師預祝同學們本次學業(yè)水平測試馬到成功！201*.1.10必修1數(shù)學知識點第一章、集合與函數(shù)概念 1.1.1、集合1、把研究的對象統(tǒng)稱為元素，把一些元素組成的總體叫做集合。集合三要素：確定性、互異性、無序性。2、只要構成兩個集合的元素是一樣的，就稱這兩個集合相等。3、常見集合：正整數(shù)集合：N*或N，整數(shù)集合：Z，有理數(shù)集合：Q，實數(shù)集合：R.4、集合的表示方法：列舉法、描述法. 1.1.2、集合間的基本關系1、一般地，對于兩個集合A、B，如果集合A中任意一個元素都是集合B中的元素，則稱集合A是集合B的子集。記作AB.2、如果集合AB，但存在元素xB，且xA，則稱集合A是集合B的真子集.記作：AB.3、把不含任何元素的集合叫做空集.記作：.并規(guī)定：空集合是任何集合的子集.4、如果集合A中含有n個元素，則集合A有2n個子集. 1.1.3、集合間的基本運算1、一般地，由所有屬于集合A或集合B的元素組成的集合，稱為集合A與B的并集.記作：AB.2、一般地，由屬于集合A且屬于集合B的所有元素組成的集合，稱為A與B的交集.記作：AB.3、全集、補集？CUA{x|xU,且xU} 1.2.1、函數(shù)的概念1、設A、B是非空的數(shù)集，如果按照某種確定的對應關系f，使對于集合A中的任意一個數(shù)x，在集合B中都有惟一確定的數(shù)fx和它對應，那么就稱f:AB為集合A到集合B的一個函數(shù)，記作：yfx,xA.2、一個函數(shù)的構成要素為：定義域、對應關系、值域.如果兩個函數(shù)的定義域相同，并且對應關系完全一致，則稱這兩個函數(shù)相等. 1.2.2、函數(shù)的表示法1、函數(shù)的三種表示方法：解析法、圖象法、列表⑵arsarsa0,r,sQ；法. 1.3.1、單調(diào)性與最大（�。┲耽莂brarbra0,b0,rQ.1、注意函數(shù)單調(diào)性證明的一般格式： 2.1.2、指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)解：設x1,x2a,b且x1x2，則：1、記住圖象：yaxa0,a1fx1fx2=… 1.3.2、奇偶性1、一般地，如果對于函數(shù)fx的定義域內(nèi)任意一個x，都有fxfx，那么就稱函數(shù) 2.2.1、對數(shù)與對數(shù)運算1、axNlogaNx；fx為偶函數(shù).偶函數(shù)圖象關于y軸對稱.2、alogaNa.2、一般地，如果對于函數(shù)fx的定義域內(nèi)任意3、loga10，logaa1.一個x，都有fxfx，那么就稱函數(shù)4、當a0,a1,M0,N0時：fx為奇函數(shù).奇函數(shù)圖象關于原點對稱.第二章、基本初等函數(shù)（Ⅰ）⑴logaMNlogaMlogaN； 2.1.1、指數(shù)與指數(shù)冪的運算M1、一般地，如果xn⑵a，那么x叫做a的n次logaNlogaMlogaN；方根。其中n1,nN.⑶logaMnnlogaM.2、當n為奇數(shù)時，nana；5、換底公式：loglogcbablogac當n為偶數(shù)時，nana.a0,a1,c0,c1,b0.3、我們規(guī)定：n6、logab1⑴ammanlogbaa0,m,nN*,m1；a0,a1,b0,b1. 2..2.2、對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)⑵an1ann0；1、記住圖象：ylogaxa0,a14、運算性質(zhì)：⑴arasarsa0,r,sQ；-1- 2.3、冪函數(shù)1、幾種冪函數(shù)的圖象：

第三章、函數(shù)的應用 3.1.1、方程的根與函數(shù)的零點1、方程fx0有實根函數(shù)yfx的圖象與x軸有交點函數(shù)yfx有零點.2、性質(zhì)：如果函數(shù)yfx在區(qū)間a,b上的

圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有

fafb0，那么，函數(shù)yfx在區(qū)間a,b內(nèi)有零點，即存在ca,b，使得

fc0，這個c也就是方程fx0的根.

3.1.2、用二分法求方程的近似解1、掌握二分法. 3.2.1、幾類不同增長的函數(shù)模型 3.2.2、函數(shù)模型的應用舉例1、解決問題的常規(guī)方法：先畫散點圖，再用適當?shù)暮瘮?shù)擬合，最后檢驗.必修2數(shù)學知識點1、空間幾何體的結構高中數(shù)學學業(yè)水平測試必修1-4知識點總結高二數(shù)學組全體老師預祝同學們本次學業(yè)水平測試馬到成功！201*.1.10⑴常見的多面體有：棱柱、棱錐、棱臺；常見的旋那么它們有且只有一條過該點的公共直線。⑷一般式：AxByC02、兩圓位置關系：dO1O2轉體有：圓柱、圓錐、圓臺、球。4、公理4：平行于同一條直線的兩條直線平行.⑵棱柱：有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱。⑶棱臺：用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，5、定理：空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補。6、線線位置關系：平行、相交、異面。7、線面位置關系：直線在平面內(nèi)、直線和平面平3、對于直線：l1:yk1xb1,l2:yk2xb2有：⑴外離：dRr；⑵外切：dRr；⑶相交：RrdRr；⑷內(nèi)切：dRr；⑸內(nèi)含：dRr.3、空間中兩點間距離公式：底面與截面之間的部分，這樣的多面體叫做棱臺。2、空間幾何體的三視圖和直觀圖把光由一點向外散射形成的投影叫中心投影，中心投影的投影線交于一點；把在一束平行光線照射下的投影叫平行投影，平行投影的投影線是平行的。3、空間幾何體的表面積與體積⑴圓柱側面積；S側面2rl⑵圓錐側面積：S側面rl⑶圓臺側面積：S側面rlRl⑷體積公式：VSh；V1柱體錐體3Sh；V1臺體3S上S上S下S下h⑸球的表面積和體積：S4R2球，V43球3R.第二章：點、直線、平面之間的位置關系1、公理1：如果一條直線上兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)。2、公理2：過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面。3、公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，

行、直線和平面相交。⑴l//lk1k212；8、面面位置關系：平行、相交。b1b29、線面平行：⑴判定：平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平⑵l1和l2相交k1k2；行，則該直線與此平面平行。⑵性質(zhì)：一條直線與一個平面平行，則過這條直線⑶lk1k21和l2重合；的任一平面與此平面的交線與該直線平行。b1b210、面面平行：⑴判定：一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面⑷l1l2k1k21.平行，則這兩個平面平行。4、對于直線：⑵性質(zhì)：如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行。l1:A1xB1yC10,11、線面垂直：l2:A2xB有：2yC20⑴定義：如果一條直線垂直于一個平面內(nèi)的任意一條直線，那么就說這條直線和這個平面垂直。⑴lA1B2A2B11//l2⑵判定：一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都B1C2B；2C1垂直，則該直線與此平面垂直。⑶性質(zhì)：垂直于同一個平面的兩條直線平行。⑵l1和l2相交A1B2A2B1；12、面面垂直：⑴定義：兩個平面相交，如果它們所成的二面角是⑶lA1B2A2B11和l2重合直二面角，就說這兩個平面互相垂直。B1C2B；2C1⑵判定：一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，則這兩個平面垂直。⑷l1l2A1A2B1B20.⑶性質(zhì)：兩個平面互相垂直，則一個平面內(nèi)垂直于5、兩點間距離公式：交線的直線垂直于另一個平面。22第三章：直線與方程P1P2x2x1y2y11、傾斜角與斜率：ktany2y1x6、點到直線距離公式：dAx0By0C2x1A2B22、直線方程：⑴點斜式：yy第四章：圓與方程0kxx01、圓的方程：⑵斜截式：ykxb⑴標準方程：xa2yb2r2yy2⑶兩點式：1xx1y⑵一般方程：xy2DxEyF0.2y1x2x1-2-

P221P2x2x1y2y1z22z1必修3數(shù)學知識點第一章：算法1、算法三種語言：自然語言、流程圖、程序語言；2、算法的三種基本結構：順序結構、選擇結構、循環(huán)結構3、流程圖中的圖框：起止框、輸入輸出框、處理框、判斷框、流程線等規(guī)范表示方法；4、循環(huán)結構中常見的兩種結構：當型循環(huán)結構、直到型循環(huán)結構第二章：統(tǒng)計1、抽樣方法：①簡單隨機抽樣（總體個數(shù)較少）②系統(tǒng)抽樣（總體個數(shù)較多）③分層抽樣（總體中差異明顯）注意：在N個個體的總體中抽取出n個個體組成樣本，每個個體被抽到的機會（概率）均為n。

N2、總體分布的估計：⑴一表二圖：①頻率分布表數(shù)據(jù)詳實②頻率分布直方圖分布直觀③頻率分布折線圖便于觀察總體分布趨勢注：總體分布的密度曲線與橫軸圍成的面積為1。⑵莖葉圖：①莖葉圖適用于數(shù)據(jù)較少的情況，從中便于看出數(shù)據(jù)的分布，以及中位數(shù)、眾位數(shù)等。②個位數(shù)為葉，十位數(shù)為莖，右側數(shù)據(jù)按照從小到大書寫，相同的藥重復寫。3、總體特征數(shù)的估計：⑴平均數(shù)：xx1x2x3xnn；取值為x1,x2,,xn的頻率分別為p1,p2,,pn，則其平均數(shù)為x1p1x2p2xnpn；

高中數(shù)學學業(yè)水平測試必修1-4知識點總結高二數(shù)學組全體老師預祝同學們本次學業(yè)水平測試馬到成功！201*.1.10注意：頻率分布表計算平均數(shù)要取組中值。⑴幾何概型的特點：4、誘導公式五：Px,y，那么：⑵方差與標準差：一組樣本數(shù)據(jù)x1,x2,,xn①所有的基本事件是無限個；sincos,②每個基本事件都是等可能發(fā)生。y2n2.siny,cosx,tan1方差：s2(xix)；xd的測度⑵幾何概型概率計算公式：P(A)；ni1D的測度cossin.2、設點Ax0,y0為角終邊上任意一點，那么：n2標準差：s1n(xix)i1注：方差與標準差越小，說明樣本數(shù)據(jù)越穩(wěn)定。平均數(shù)反映數(shù)據(jù)總體水平；方差與標準差反映數(shù)據(jù)的穩(wěn)定水平。⑶線性回歸方程①變量之間的兩類關系：函數(shù)關系與相關關系；②制作散點圖，判斷線性相關關系③線性回歸方程：ybxa（最小二乘法）nxiyinxybi1n2x2inxi1aybx注意：線性回歸直線經(jīng)過定點(x,y)。第三章：概率1、隨機事件及其概率：⑴事件：試驗的每一種可能的結果，用大寫英文字母表示；⑵必然事件、不可能事件、隨機事件的特點；⑶隨機事件A的概率：P(A)mn,0P(A)1；2、古典概型：⑴基本事件：一次試驗中可能出現(xiàn)的每一個基本結果；⑵古典概型的特點：①所有的基本事件只有有限個；②每個基本事件都是等可能發(fā)生。⑶古典概型概率計算公式：一次試驗的等可能基本事件共有n個，事件A包含了其中的m個基本事件，則事件A發(fā)生的概率P(A)mn。3、幾何概型：

其中測度根據(jù)題目確定，一般為線段、角度、面積、體積等。（設rx220y0）4、互斥事件：⑴不能同時發(fā)生的兩個事件稱為互斥事件；siny0x0y0r，cosr，tanx.0⑵如果事件A1,A2,,An任意兩個都是互斥事件，則稱事件AA3、sin，cos，tan在四個象限的符號和三1,2,,An彼此互斥。⑶如果事件A，B互斥，那么事件A+B發(fā)生的概角函數(shù)線的畫法.率，等于事件A，B發(fā)生的概率的和，4、誘導公式一：即：P(AB)P(A)P(B)sin2ksin,⑷如果事件A1,A2,,An彼此互斥，則有：cos2kcos,（其中：kZ）P(A1A2An)P(A1)P(A2)P(An)tan2ktan.⑸對立事件：兩個互斥事件中必有一個要發(fā)生，則稱這兩個事件為對立事件。5、特殊角0°，30°，45°，60°，①事件90°，180°，270°的三角函數(shù)值.A的對立事件記作AP(A)P(A)1,P(A)1P(A)643②對立事件一定是互斥事件，互斥事件未必是對立sin事件。cos必修4數(shù)學知識點tan第一章、三角函數(shù) 1.2.2、同角三角函數(shù)的基本關系式 1.1.1、任意角1、平方關系：sin2cos21.1、正角、負角、零角、象限角的概念.2、與角終邊相同的角的集合：2、商數(shù)關系：tansincos.2k,kZ. 1.3、三角函數(shù)的誘導公式 1.1.2、弧度制sinsin,1、把長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧1、誘導公式二：coscos,度的角.tantan.2、lr.sinsin,3、弧長公式：lnR2、誘導公式三：coscos,180R.tantan.4、扇形面積公式：SnR2sin,36012lR.sin3、誘導公式四：coscos, 1.2.1、任意角的三角函數(shù)tantan.1、設是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點-3-

2sincos,5、誘導公式六：2cossin.2 1.4.1、正弦、余弦函數(shù)的圖象1、記住正弦、余弦函數(shù)圖象：2、能夠?qū)φ請D象講出正弦、余弦函數(shù)的相關性質(zhì)：定義域、值域、最大最小值、對稱軸、對稱中心、奇偶性、單調(diào)性、周期性.3、會用五點法作圖. 1.4.2、正弦、余弦函數(shù)的性質(zhì)1、周期函數(shù)定義：對于函數(shù)fx，如果存在一個非零常數(shù)T，使得當x取定義域內(nèi)的每一個值時，都有fxTfx，那么函數(shù)fx就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫做這個函數(shù)的周期. 1.4.3、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)1、記住正切函數(shù)的圖象：2、能夠?qū)φ請D象講出正切函數(shù)的相關性質(zhì)：定義域、值域、對稱中心、奇偶性、單調(diào)性、周期性. 1.5、函數(shù)yAsinx的圖象1、能夠講出函數(shù)ysinx的圖象和函數(shù)yAsinxb的圖象之間的平移伸縮變換關系.2、對于函數(shù)：高中數(shù)學學業(yè)水平測試必修1-4知識點總結高二數(shù)學組全體老師預祝同學們本次學業(yè)水平測試馬到成功！201*.1.10振幅yAsinxbA0,0有：A，周期T率f1T2、平面向量共線定理：向量aa0與b共線，當且僅當有唯一一個實數(shù)，使ba. 2.3.1、平面向量基本定理1、平面向量基本定理：如果e1,e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)任一向量a，有且只有一對實數(shù)1,2，使3、aa.4、a5、abab0.22a2.212sin，2，初相，相位x，頻變形1：cos21cos2，22. 2.4.2、平面向量數(shù)量積的坐標表示、模、夾角1、設ax1,y1,bx2,y2，則：變形2：sin21cos2.2第二章、平面向量 2.1.1、向量的物理背景與概念1、了解四種常見向量：力、位移、速度、加速度.3、tan2⑴abx1x2y1y22tan.21tan2、既有大小又有方向的量叫做向量. 2.1.2、向量的幾何表示1、帶有方向的線段叫做有向線段，有向線段包含三個要素：起點、方向、長度.2、向量AB的大小，也就是向量AB的長度（或稱模），記作AB；長度為零的向量叫做零向量；長度等于1個單位的向量叫做單位向量.3、方向相同或相反的非零向量叫做平行向量（或共線向量）.規(guī)定：零向量與任意向量平行. 2.1.3、相等向量與共線向量1、長度相等且方向相同的向量叫做相等向量. 2.2.1、向量加法運算及其幾何意義1、三角形法則和平行四邊形法則.2、ab≤ab. 2.2.2、向量減法運算及其幾何意義1、與a長度相等方向相反的向量叫做a的相反向量. 2.2.3、向量數(shù)乘運算及其幾何意義1、規(guī)定：實數(shù)與向量a的積是一個向量，這種運算叫做向量的數(shù)乘.記作：a，它的長度和方向規(guī)定如下：⑴aa,⑵當0時,a的方向與a的方向相同；當0時,a的方向與a的方向相反.a1e12e2. 2.3.2、平面向量的正交分解及坐標表示1、axiyjx,y. 2.3.3、平面向量的坐標運算1、設ax1,y1,bx2,y2，則：⑴abx1x2,y1y2，⑵abx1x2,y1y2，⑶ax1,y1，⑷a//bx1y2x2y1.2、設Ax1,y1,Bx2,y2，則：ABx2x1,y2y1. 2.3.4、平面向量共線的坐標表示1、設Ax1,y1,Bx2,y2,Cx3,y3，則⑴線段AB中點坐標為x1x2y1y22,2，⑵△ABC的重心坐標為x1x2x3y1y2y33,3. 2.4.1、平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義1、ababcos.2、a在b方向上的投影為：acos.⑵ax221y1⑶abx1x2y1y202、設Ax1,y1,Bx2,y2，則：ABx22x1y22y1.第三章、三角恒等變換 3.1.1、兩角差的余弦公式1、coscoscossinsin2、記住15°的三角函數(shù)值：sincostan2621264423 3.1.2、兩角和與差的正弦、余弦、正切公式1、coscoscossinsin2、sinsincoscossin3、sinsincoscossin4、tantantan1tantan.5、tantantan1tantan. 3.1.3、二倍角的正弦、余弦、正切公式1、sin22sincos，變形：sincos12sin2.2、cos2cos2sin22cos21

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高一數(shù)學知識點匯總

總目錄：1．集合2．函數(shù)

3．基本初等函數(shù)4．立體幾何初步5．平面解析幾何初步6．基本初等函數(shù)7．平面向量8．三角恒等變換9．解三角形10.數(shù)列11.不等式

1集合

一定范圍的，確定的，可以區(qū)別的事物，當作一個整體來看待，就叫做集合，簡稱集，其中各事物叫做集合的元素或簡稱元。如（1）阿Q正傳中出現(xiàn)的不同漢字（2）全體英文大寫字母集合的分類:

并集：以屬于A或?qū)儆贐的元素為元素的集合稱為A與B的并（集），記作A∪B（或B∪A），讀作—A并B‖（或—B并A‖），即A∪B={x|x∈A,或x∈B}交集：以屬于A且屬于B的元素為元素的集合稱為A與B的交（集），記作A∩B（或B∩A），讀作—A交B‖（或—B交A‖），即A∩B={x|x∈A,且x∈B}

差：以屬于A而不屬于B的元素為元素的集合稱為A與B的差（集）注:空集包含于任何集合，但不能說—空集屬于任何集合注:空集屬于任何集合,但它不屬于任何元素.

某些指定的對象集在一起就成為一個集合，含有有限個元素叫有限集，含有無限個元素叫無限集，空集是不含任何元素的集，記做Φ。集合的性質(zhì)：確定性：每一個對象都能確定是不是某一集合的元素，沒有確定性就不能成為集合，例如—個子高的同學‖—很小的數(shù)‖都不能構成集合。

互異性：集合中任意兩個元素都是不同的對象。不能寫成{1，1，2}，應寫成{1，2}。無序性：{a,b,c}{c,b,a}是同一個集合

集合有以下性質(zhì)：若A包含于B，則A∩B=A，A∪B=B

常用數(shù)集的符號：

（1）全體非負整數(shù)的集合通常簡稱非負整數(shù)集（或自然數(shù)集），記作N（2）非負整數(shù)集內(nèi)排除0的集，也稱正整數(shù)集，記作N+（或N*）（3）全體整數(shù)的集合通常稱作整數(shù)集，記作Z

（4）全體有理數(shù)的集合通常簡稱有理數(shù)集，記作Q（5）全體實數(shù)的集合通常簡稱實數(shù)集，級做R

集合的運算：1.交換律A∩B=B∩AA∪B=B∪A2.結合律

(A∩B)∩C=A∩(B∩C)(A∪B)∪C=A∪(B∪C)3.分配律

A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)

例題

已知集合A＝｛a2，a＋1，－3｝，B＝｛a－3，2a－1，a2＋1｝，且A∩B＝｛－3｝，求實數(shù)a的值．

∵A∩B＝｛－3｝∴－3∈B．

①若a－3＝－3，則a＝0，則A＝｛0，1，－3｝，B＝｛－3，－1，1｝∴A∩B＝｛－3，1｝與∩B＝｛－3｝矛盾，所以a－3≠－3．②若2a－1＝－3，則a＝－1，則A＝｛1，0，－3｝，B＝｛－4，－3，2｝此時A∩B＝｛－3｝符合題意，所以a＝－1．

2函數(shù)

函數(shù)的單調(diào)性：設函數(shù)f(x)的定義域為I.

如果對于屬于定義域I內(nèi)某個區(qū)間上的任意兩個自變量的值x1,x2,當x1y=kx+b

則此時稱y是x的一次函數(shù)。當b=0時，y是x的正比例函數(shù)。即：y=kx（k為常數(shù)，k≠0）

例證明函數(shù)在上是增函數(shù)．

1．分析解決問題針對學生可能出現(xiàn)的問題，組織學生討論、交流．

證明：任取

,設元

求差

變形

,

斷號

∴∴

即

∴函數(shù)在上是增函數(shù)．定論

3基本初等函數(shù)

指數(shù)函數(shù)的一般形式為y=a^x(a>0且不=1)，從上面我們對于冪函數(shù)的討論就可以知道，要想使得x能夠取整個實數(shù)集合為定義域，則只有使得如圖所示為a的不同大小影響函數(shù)圖形的情況。在函數(shù)y=a^x中可以看到：

（1）指數(shù)函數(shù)的定義域為所有實數(shù)的集合，這里的前提是a大于0且不等于1，對于a不大于0的情況，則必然使得函數(shù)的定義域不存在連續(xù)的區(qū)間，因此我們不予考慮，同時a等于０一般也不考慮。

（2）指數(shù)函數(shù)的值域為大于0的實數(shù)集合。（3）函數(shù)圖形都是下凹的。

（4）a大于1，則指數(shù)函數(shù)單調(diào)遞增；a小于1大于0，則為單調(diào)遞減的。

（5）可以看到一個顯然的規(guī)律，就是當a從0趨向于無窮大的過程中（當然不能等于0），函數(shù)的曲線從分別接近于Y軸與X軸的正半軸的單調(diào)遞減函數(shù)的位置，趨向分別接近于Y軸的正半軸與X軸的負半軸的單調(diào)遞增函數(shù)的位置。其中水平直線y=1是從遞減到遞增的一個過渡位置。

（6）函數(shù)總是在某一個方向上無限趨向于X軸,永不相交。（7）函數(shù)總是通過（0，1）這點（8）顯然指數(shù)函數(shù)無界。

（9）指數(shù)函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)。

例1：下列函數(shù)在R上是增函數(shù)還是減函數(shù)？⑴y=4^x

因為4>1，所以y=4^x在R上是增函數(shù)；⑵y=(1/4)^x

因為0并且下凹。

（5）顯然對數(shù)函數(shù)無界。對數(shù)函數(shù)的運算性質(zhì)：

如果a〉0，且a不等于1,M>0,N>0，那么：（1）log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N);（2）log(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N);

（3）log(a)(M^n)=nlog(a)(M)（n屬于R）

4立體幾何初步

1.1.1構成空間幾何體的基本元素柱1.1.2棱、棱錐和棱臺的結構特征1.1.3圓柱、圓錐和圓臺的結構特征1.1.4投影與直觀圖1.1.5三視圖

1.1.6棱柱、棱錐和棱臺的表面積1.1.7柱、錐和臺的體積

棱柱表面積A=L*H+2*S,體積V=S*H(L--底面周長,H--柱高,S--底面面積)

圓柱表面積A=L*H+2*S=2π*R*H+2π*R^2,體積V=S*H=π*R^2*H(L--底面周長,H--柱高,S--底面面積,R--底面圓半徑)球體表面積A=4π*R^2,體積V=4/3π*R^3(R-球體半徑)

圓錐表面積A=1/2*s*L+π*R^2,體積V=1/3*S*H=1/3π*R^2*H(s--圓錐母線長,L--底面周長,R--底面圓半徑,H--圓錐高)棱錐表面積A=1/2*s*L+S,體積V=1/3*S*H

(s--側面三角形的高,L--底面周長,S--底面面積,H--棱錐高)

長方形的周長=（長+寬）×2正方形a邊長C＝4aS＝a2長方形a和b－邊長C＝2(a+b)

S＝ab三角形a,b,c－三邊長h－a邊上的高

s－周長的一半A,B,C－內(nèi)角其中s＝(a+b+c)/2S＝ah/2＝ab/2sinC＝[s(s-a)(s-b)(s-c)]1/2a2sinBsinC/(2sinA)四邊形d,D－對角線長α－對角線夾角S＝dD/2sinα平行四邊形a,b－邊長h－a邊的高α－兩邊夾角S＝ah＝absinα菱形a－邊長α－夾角D－長對角線長d－短對角線長S＝Dd/2＝a2sinα梯形a和b－上、下底長h－高

m－中位線長S＝(a+b)h/2＝mhd－直徑C＝πd＝2πrS＝πr2＝πd2/4扇形r扇形半徑正方形的周長=邊長×4長方形的面積=長×寬正方形的面積=邊長×邊長三角形的面積=底×高÷2平行四邊形的面積=底×高梯形的面積=（上底+下底）×高÷2直徑=半徑×2半徑=直徑÷2圓的周長=圓周率×直徑=圓周率×半徑×2圓的面積=圓周率×半徑×半徑長方體的表面積=（長×寬+長×高＋寬×高）×2長方體的體積=長×寬×高正方體的表面積=棱長×棱長×6正方體的體積=棱長×棱長×棱長圓柱的側面積=底面圓的周長×高圓柱的表面積=上下底面面積+側面積圓柱的體積=底面積×高圓錐的體積=底面積×高÷3長方體（正方體、圓柱體）的體積=底面積×高平面圖形名稱符號周長C和面積Sa圓心角度數(shù)C＝2r＋2πr×(a/360)S＝πr2×(a/360)

弓形l－弧長b－弦長h－矢高r－半徑α－圓心角的度數(shù)S＝r2/2(πα/180-sinα)＝r2arccos[(r-h)/r]-(r-h)(2rh-h2)1/2＝παr2/360-b/2[r2-(b/2)2]1/2＝r(l-b)/2+bh/2

≈2bh/3圓環(huán)R－外圓半徑r－內(nèi)圓半徑D－外圓直徑d－內(nèi)圓直徑S＝π(R2-r2)＝π(D2-d2)/4橢圓D－長軸d－短軸S＝πDd/4

立方圖形名稱符號面積S和體積V正方體a－邊長S＝6a2V＝a3長方體a－長b－寬c－高S＝2(ab+ac+bc)

V＝abc棱柱S－底面積h－高V＝Sh棱錐S－底面積

h－高V＝Sh/3棱臺S1和S2－上、下底面積h－高V＝h[S1+S2+(S1S1)1/2]/3

擬柱體S1－上底面積S2－下底面積S0－中截面積h－高V＝h(S1+S2+4S0)/6圓柱r－底半徑h－高C底面周長

S底底面積S側側面積S表表面積C＝2πrS底＝πr2S側＝ChS表＝Ch+2S底V＝S底h＝πr2h空心圓柱R－外圓半徑r－內(nèi)圓半徑

h－高V＝πh(R2-r2)直圓錐r－底半徑h－高V＝πr2h/3圓臺r－上底半徑R－下底半徑

h－高V＝πh(R2＋Rr＋r2)/3球r－半徑

d－直徑V＝4/3πr3＝πd2/6球缺h－球缺高r－球半徑

a－球缺底半徑V＝πh(3a2+h2)/6＝πh2(3r-h)/3a2＝h(2r-h)球臺r1和r2－球臺上、下底半徑

h－高V＝πh[3(r12＋r22)+h2]/6圓環(huán)體R－環(huán)體半徑

D－環(huán)體直徑r－環(huán)體截面半徑d－環(huán)體截面直徑V＝2π2Rr2＝π2Dd2/4

桶狀體D－桶腹直徑d－桶底直徑h－桶高V＝πh(2D2＋d2)/12(母線是圓弧形,圓心是桶的中心)

V＝πh(2D2＋Dd＋3d2/4)/15(母線是拋物線形)三視圖的投影規(guī)則是：

主視、俯視長對正主視、左視高平齊左視、俯視寬相等

點線面位置關系

公理一：如果一條線上的兩個點在平面上則該線在平面上公理二：如果兩個平面有一個公共點則它們有一條公共直線且所有的公共點都在這條直線上公理三：三個不共線的點確定一個平面推論一：直線及直線外一點確定一個平面推論二：兩相交直線確定一個平面推論三：兩平行直線確定一個平面公理四：和同一條直線平行的直線平行異面直線定義：不平行也不相交的兩條直線

判定定理：經(jīng)過平面外一點與平面內(nèi)一點的直線與平面內(nèi)不過該店的直線是異面直線。等角定理：如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行，且方向相同，那么這兩個角相等

線線平行→線面平行如果平面外一條直線和這個平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行。

線面平行→線線平行如果一條直線和一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線就和交線平行。

線面平行→面面平行如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行。

面面平行→線線平行如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行。線線垂直→線面垂直如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么這條直線垂直于這個平面。

線面垂直→線線平行如果連條直線同時垂直于一個平面，那么這兩條直線平行。線面垂直→面面垂直如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直。線面垂直→線線垂直線面垂直定義：如果一條直線a與一個平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線a垂直于平面α。

面面垂直→線面垂直如果兩個平面互相垂直，那么在一個平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面。

三垂線定理如果平面內(nèi)的一條直線垂直于平面的血現(xiàn)在平面內(nèi)的射影，則這條直線垂直于斜線。例題

對于四面體ABCD,(1)若AB=AC,BD=CD如何證明BC垂直于AD?(2)若AB垂直于CD,BD垂直于AC,如何證明BC垂直于AD?

證明：

(1).取BC的中點F,連結AF,DF,則∵AB=AC,BD=CD，

∴△ABC與△DBC是等腰三角形，AF⊥BC,DF⊥BC.而AF∩DF=F,

∴BC⊥面AFD.又AD在平面AFD內(nèi)，∴BC

(2).設A在面BCD上的射影為O.連結BO,CO,DO.則∵CD⊥AB,CD⊥AO,AB∩AO=A,∴CD⊥面ABO.而BO在平面ABO內(nèi)，∴BO⊥CD.

同理，DO⊥BC.因此，O是△BCD的垂心，因此有CO⊥BD.

∵BD⊥CO,BD⊥AO,CO∩AO=O,∴BD⊥面AOC.而AC在平面AOC內(nèi)，∴BD⊥AC.

5平面解析幾何初步

兩點距離公式：根號[(x1-x2)^2+(y1-y2)^2]中點公式：X=(X1+X2)/2Y=(Y1+Y2)/2直線的斜率傾斜角不是90°的直線`，它的傾斜角的正切，叫做這條直線的斜率.通常用k來表示，記作：k=tga(0°≤a＜180°且a≠90°)傾斜角是90°的直線斜率不存在，傾斜角不是90°的直線都有斜率并且是確定的．

點斜式:y-y1=k(x-x1)；斜截式：y=kx+b；截距式：x/a+y/b=1

直線的標準方程：Ax+Bx+C=0圓的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0

圓的標準方程(x-a)2+(y-b)2=r2《2表示平方》圓與圓的位置關系：

1點在圓上(點到半徑的距離等于半徑)點在圓外(點到半徑的距離大于半徑)點在圓內(nèi)(點到半徑的距離小于半徑)2(1)相切:圓心到直線的距離等于半徑(2)相交:圓心到直線的距離小于半徑(3)相離:圓心到直線的距離大于半徑

3圓的切線是指垂直于半徑,直線到圓心距離等于半徑的直線,垂足叫切點4圓心距為Q大圓半徑為R小圓半徑為r兩圓外切Q=R+r

兩圓內(nèi)切Q=R-r(用大減小)兩圓相交QR+r兩圓內(nèi)含Qr,反之d>r則相離,相切則d=r,反之d=r則相切,相交則d空間中兩點P1(x1，y1，z1)、P2(x2，y2，z2)，中點P坐標[（x1+x2）/2,(y1+y2)/2,(z1+z2)/2]

例題：

1直線L與直線3x+4y-7=0平行，且和兩坐標軸圍成的三角形面積為24，求直線L的方程。

解：

直線L與3x+4y-7平行，所以斜率相等，同為-3/4設直線的方程是y=(-3/4)x+b

它與兩坐標軸的交點坐標分別是(0,b),(4b/3,0)和兩坐標軸圍成的三角形面積為24(1/2)*|b|*|4b/3|=24|b|=36b=±6

直線L有兩條，方程分別是y=(-3/4)x+6或y=(-3/4)x-6

2求兩點(-5,-1),(-3,4)連成線段的垂直平分線的方程.解

設y=k1x+b1過兩點(-5,-1)(-3,4)得{-1=-5k1+b1{4=-3k1+b1解之得{k1=5/2；b1=23/2y=5x/2+23/2因為k1*k2=-1

所以k2=-2/5(x1+x2)/2=(-5-3)/2=-4

(y1+y2)/2=(-1+4)/2=3/2(-4,3/2)過所求方程y=k2x+b3/2=-2/5*(-4)+bb=-1/10

所以y=-2x/5-1/10化簡4x+10y+1=0

6基本初等函數(shù)

從其中一個頂點向一個邊引一條線，交另一邊上某一點，則這個圖形變成有一條公共邊且另一組邊在同一直線上的兩個三角形。有六個內(nèi)角，其中公共邊與另一組在同一直線上的邊相交形成的兩個角中，每一個角都是一個三角形的一個內(nèi)角，且是另一個三角形的一個外角……

另外還有大于平角小于周角的角。正弦函數(shù)sinθ=y/r余弦函數(shù)cosθ=x/r正切函數(shù)tanθ=y/x余切函數(shù)cotθ=x/y正割函數(shù)secθ=r/x余割函數(shù)cscθ=r/y

同角三角函數(shù)間的基本關系式：平方關系：

sin^2(α)+cos^2(α)=1tan^2(α)+1=sec^2(α)cot^2(α)+1=csc^2(α)積的關系：sinα=tanα*cosαcosα=cotα*sinαtanα=sinα*secαcotα=cosα*cscαsecα=tanα*cscαcscα=secα*cotα倒數(shù)關系：tanαcotα=1sinαcscα=1cosαsecα=1

一個園,弧長和半徑相等時所對應的角度是1弧度.弧度和角度的換算關系:弧度*180/(2*π)=角度

誘導公式★

常用的誘導公式有以下幾組：公式一：

設α為任意角，終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等：sin（2kπ＋α）＝sinαcos（2kπ＋α）＝cosαtan（2kπ＋α）＝tanαcot（2kπ＋α）＝cotα

公式二：

設α為任意角，π+α的三角函數(shù)值與α的三角函數(shù)值之間的關系：sin（π＋α）＝－sinαcos（π＋α）＝－cosαtan（π＋α）＝tanαcot（π＋α）＝cotα

公式三：

任意角α與-α的三角函數(shù)值之間的關系：sin（－α）＝－sinαcos（－α）＝cosαtan（－α）＝－tanαcot（－α）＝－cotα

公式四：

利用公式二和公式三可以得到π-α與α的三角函數(shù)值之間的關系：sin（π－α）＝sinαcos（π－α）＝－cosαtan（π－α）＝－tanαcot（π－α）＝－cotα

公式五：

利用公式一和公式三可以得到2π-α與α的三角函數(shù)值之間的關系：sin（2π－α）＝－sinαcos（2π－α）＝cosαtan（2π－α）＝－tanαcot（2π－α）＝－cotα

公式六：

π/2±α及3π/2±α與α的三角函數(shù)值之間的關系：sin（π/2＋α）＝cosαcos（π/2＋α）＝－sinαtan（π/2＋α）＝－cotαcot（π/2＋α）＝－tanα

sin（π/2－α）＝cosαcos（π/2－α）＝sinαtan（π/2－α）＝cotαcot（π/2－α）＝tanα

sin（3π/2＋α）＝－cosαcos（3π/2＋α）＝sinαtan（3π/2＋α）＝－cotαcot（3π/2＋α）＝－tanα

sin（3π/2－α）＝－cosαcos（3π/2－α）＝－sinαtan（3π/2－α）＝cotαcot（3π/2－α）＝tanα(以上k∈Z)

函數(shù)類型第一象限第二象限第三象限第四象限正弦++余弦++正切++余切++

正弦函數(shù)的性質(zhì)：解析式：y=sinx圖像

波形圖像（由單位圓投影到坐標系得出）定義域R(實數(shù))值域：

[-1，1]最值：①最大值：當x=(π/2)+2kπ時，y(max)=1②最小值：當x=-(π/2)+2kπ時，y(min)=-1

值點：(kπ,0)對稱性：

1)對稱軸：關于直線x=(π/2)+kπ對稱2)中心對稱：關于點(kπ,0)對稱周期：2π奇偶性：奇函數(shù)單調(diào)性：

在[-(π/2)+2kπ,(π/2)+2kπ]上是增函數(shù)，在[(π/2)+2kπ,(3π/2)+2kπ]上是減函數(shù)

余弦函數(shù)的性質(zhì)：余弦函數(shù)

圖像：波形圖像定義域：R值域：[-1，1]最值：

1）當x=2kπ時,y(max)=12）當x=2kπ+π時,y(min)=-1零值點：(π/2+kπ,0)

對稱性：

1）對稱軸：關于直線x=kπ對稱2）中心對稱：關于點(π/2+kπ,0)對稱

周期：2π

奇偶性：偶函數(shù)單調(diào)性：

在[2kπ-π,2kπ]上是增函數(shù)在[2kπ,2kπ+π]上是減函數(shù)

定義域：{x|x≠(π/2)+kπ,k∈Z}值域：R

最值：無最大值與最小值零值點：(kπ,0)對稱性：軸對稱：無對稱軸

中心對稱：關于點(kπ,0)對稱周期：π

奇偶性：奇函數(shù)

單調(diào)性：在(-π/2+kπ,π/2+kπ)上都是增函數(shù)

7平面向量

坐標表示法

平面向量的坐標表示：在直角坐標系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量作為基底。由平面向量的基本定理知，該平面內(nèi)的任一向量可表示成，由于與數(shù)對(x,y)是一一對應的，因此把(x,y)叫做向量的坐標，記作=(x,y)，其中x叫作在x軸上的坐標，y叫做在y軸上的坐標。

在數(shù)學中，我們通常用點表示位置，用射線表示方向．在平面內(nèi)，從任一點出發(fā)的所有射線，可以分別用來表示平面內(nèi)的各個方向

向量的表示向量常用一條有向線段來表示，有向線段的長

度表示向量的大小，箭頭所指的方向表示向量的方向．向量也可用字母a①、b、c等表示，或用表示向量的有向線段的起點和終點字母表示．

向量的大小，也就是向量的長度(或稱模)，記作|a|長度為0的向量叫做零向量，記作0．長度等于1個單位長度的向量，叫做單位向量．

方向相同或相反的非零向量叫做平行向量．向量a、b、c平行，記作a∥b∥c．0向量長度為零，是起點與終點重合的向量，其方向不確定，我們規(guī)定0與任一向量平行．

長度相等且方向相同的向量叫做相等向量．向量a與b相等，記作a=b．零向量與零向量相等．任意兩個相等的非零向量，都可用同一條有向線段來表示，并且與有向線段的起點無關．

向量的運算

1、向量的加法：AB+BC=AC

設a=（x,y）b=(x",y")則a+b=(x+x",y+y")

向量的加法滿足平行四邊形法則和三角形法則。向量加法的性質(zhì)：交換律：a+b=b+a結合律：

(a+b)+c=a+(b+c)a+0=0+a=a2、向量的減法AB-AC=CBa-b=(x-x",y-y")若a//b則a=eb

則xy`-x`y=0若a垂直b則ab=0

則xx`+yy`=03、向量的乘法

設a=（x,y）b=(x",y")ab(點積）=xx"+yy"=|a||b|*cos夾角

1、向量有關概念：

（1）向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和數(shù)量的區(qū)別。向量常用有向線段來表示，注意不能說向量就是有向線段，為什么？（向量可以平移）。如已知A（1,2），B（4,2），則把向量按向量＝（－1,3）平移后得到的向量是_____（答：（3,0））

（2）零向量：長度為0的向量叫零向量，記作：，注意零向量的方向是任意的；（3）單位向量：長度為一個單位長度的向量叫做單位向量(與共線的單位向量是)；（4）相等向量：長度相等且方向相同的兩個向量叫相等向量，相等向量有傳遞性；（5）平行向量（也叫共線向量）：方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量，記作：‖，規(guī)定零向量和任何向量平行。提醒：①相等向量一定是共線向量，但共線向量不一定相等；②兩個向量平行與與兩條直線平行是不同的兩個概念：兩個向量平行包含兩個向量共線,但兩條直線平行不包含兩條直線重合；③平行向量無傳遞性！（因為有)；④三點共線共線；（6）相反向量：長度相等方向相反的向量叫做相反向量。的相反向量是

例題：

1.已知點A(1,1),B(-1,5)及AC向量=1/2AB向量，AD向量=2AB向量，AE向量=-1/2AB向量，求點C，D，E的坐標。

設C點(x，y)，則AB＝(－2，4)，AC＝(x－1，y－1).由AC＝1/2AB得：x－1＝1/2×(－2)＝－1，y－1＝1/2×4＝2

所以，x＝0，y＝3，所以點C的坐標是(0,3)

設D點(x，y)，則AD＝(x－1，y－1).由AD＝2AB得：x－1＝2×(－2)＝－4，y－1＝2×4＝8

所以，x＝－3，y＝9，所以點C的坐標是(－3,9)

設E點(x，y)，則AE＝(x－1，y－1).由AE＝－1/2AB得：x－1＝－1/2×(－2)＝1，y－1＝－1/2×4＝－2

所以，x＝2，y＝－1，所以點C的坐標是(2,－1)

8三角恒等變換

兩角和差公式

⒉兩角和與差的三角函數(shù)公式sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβsin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβcos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβcos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβtanα＋tanβ

（α＋β）＝1－tanαtanβtanα－tanβtan（α－β）＝1＋tanαtanβ

倍角公式

二倍角的正弦、余弦和正切公式（升冪縮角公式）sin2α＝2sinαcosα

cos2α＝cos^2(α)－sin^2(α)＝2cos^2(α)－1＝1－2sin^2(α)2tanαtan2α＝1－tan^2(α)

半角公式

⒋半角的正弦、余弦和正切公式（降冪擴角公式）1－cosαsin^2(α/2)＝21＋cosαcos^2(α/2)＝21－cosαtan^2(α/2)＝1＋cosα

萬能公式⒌萬能公式

2tan(α/2)sinα＝1＋tan^2(α/2)1－tan^2(α/2)cosα＝1＋tan^2(α/2)2tan(α/2)tanα＝1－tan^2(α/2)

和差化積公式

⒎三角函數(shù)的和差化積公式α＋βα－βsinα＋sinβ＝2sin----cos---

22α＋βα－βsinα－sinβ＝2cos----sin----22

α＋βα－βcosα＋cosβ＝2cos-----cos-----22α＋βα－βcosα－cosβ＝－2sin-----sin-----

22

積化和差公式

⒏三角函數(shù)的積化和差公式

sinαcosβ＝0.5[sin（α＋β）＋sin（α－β）]cosαsinβ＝0.5[sin（α＋β）－sin（α－β）]cosαcosβ＝0.5[cos（α＋β）＋cos（α－β）]sinαsinβ＝－0.5[cos（α＋β）－cos（α－β）]

9解三角形

步驟1.

在銳角△ABC中，設三邊為a，b，c。作CH⊥AB垂足為點DCH=asinBCH=bsinA∴asinB=bsinA得到

a/sinA=b/sinB

同理，在△ABC中，b/sinB=c/sinC步驟2.

證明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：

如圖，任意三角形ABC,作ABC的外接圓O.作直徑BD交⊙O于D.連接DA.

因為直徑所對的圓周角是直角,所以∠DAB=90度因為同弧所對的圓周角相等,所以∠D等于∠C.所以c/sinC＝c/sinD=BD=2Ra/SinA=BC/SinD=CD=2R類似可證其余兩個等式。

二.正弦定理的變形公式

(1)a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC;(2)sinA:sinB:sinC=a:b:c;

a^2=b^2+c^2-2*b*c*CosAb^2=a^2+c^2-2*a*c*CosBc^2=a^2+b^2-2*a*b*CosCCosC=(a^2+b^2-c^2)/2abCosB=(a^2+c^2-b^2)/2acCosA=(c^2+b^2-a^2)/2bc

證明：

∵如圖，有a+b=c∴cc=(a+b)(a+b)∴c^2=aa+2ab+bb∴c^2=a^2+b^2+2|a||b|Cos(π-θ)

整理得到c^2=a^2+b^2-2|a||b|Cosθ（注意：這里用到了三角函數(shù)公式）再拆開，得c^2=a^2+b^2-2*a*b*CosC

同理可證其他，而下面的CosC=(c^2-b^2-a^2)/2ab就是將CosC移到左邊表示一下。

例題：

1已知（B+C）：（C+A）：（A+B）=4：5：6，求此三角形的最大內(nèi)角解：設b+c=4x，可得a=7x/2,b=5x/2,c=3x/2,再用余弦定理

cosA=-1/2,即A=120

21.在三角形ABC中,已知(b+c);(c+a);(a+b)=4;5;6,則sinA;sinB;sinC=_________解：、a/sinA=b/sinB=c/sinC(b+c);(c+a);(a+b)=4;5;6

(sinB+sinC):(sinC+sinA):(sinA+sinB)=4k:5k:6k解得sinA=7k/2sinB=5k/2sinC=3k/2所以sinA:sinB:sinC=7:5:10數(shù)列

一、等差數(shù)列

如果一個數(shù)列從第二項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差常用字母d表示。等差數(shù)列的通項公式為：an=a1+(n-1)d(1)前n項和公式為：

Sn=na1+n(n-1)d/2或Sn=n(a1+an)/2(2)

從(1)式可以看出，an是n的一次數(shù)函(d≠0)或常數(shù)函數(shù)(d=0)，(n，an)排在一條直線上，由(2)式知，Sn是n的二次函數(shù)(d≠0)或一次函數(shù)(d=0，a1≠0)，且常數(shù)項為0。

在等差數(shù)列中，等差中項：一般設為Ar，Am+An=2Ar,所以Ar為Am，An的等差中項。且任意兩項am，an的關系為：an=am+(n-m)d

它可以看作等差數(shù)列廣義的通項公式。

從等差數(shù)列的定義、通項公式，前n項和公式還可推出：a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=ak+an-k+1，k∈{1,2,…,n}若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，則有am+an=ap+aq

Sm-1=(2n-1)an，S2n+1=(2n+1)an+1

Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，…，Snk-S(n-1)k…或等差數(shù)列，等等。和＝（首項＋末項）×項數(shù)÷2項數(shù)＝（末項-首項）÷公差＋1首項=2和÷項數(shù)-末項末項=2和÷項數(shù)-首項等差數(shù)列的應用：

日常生活中，人們常常用到等差數(shù)列如：在給各種產(chǎn)品的尺寸劃分級別時，當其中的最大尺寸與最小尺寸相差不大時，常按等差數(shù)列進行分級。若為等差數(shù)列，且有an=m,am=n.則a(m+n)＝0。

等比數(shù)列

如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數(shù)，這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列。這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母q表示。（1）等比數(shù)列的通項公式是：An=A1*q^（n－1）若通項公式變形為an=a1/q*q^n(n∈N*),當q＞0時，則可把an看作自變量n的函數(shù)，點(n,an)是曲線y=a1/q*q^x上的一群孤立的點。（2）求和公式：Sn=nA1(q=1)Sn=A1(1-q^n)/(1-q)=(a1-a1q^n)/(1-q)

=a1/(1-q)-a1/(1-q)*q^n(即A-Aq^n)(前提：q不等于1)

任意兩項am，an的關系為an=amq^(n-m)

（3）從等比數(shù)列的定義、通項公式、前n項和公式可以推出：a1an=a2an-1=a3an-2=…=akan-k+1，k∈{1,2,…,n}（4）等比中項：aqap=ar*2，ar則為ap，aq等比中項。記πn=a1a2…an，則有π2n-1=(an)2n-1，π2n+1=(an+1)2n+1

另外，一個各項均為正數(shù)的等比數(shù)列各項取同底數(shù)數(shù)后構成一個等差數(shù)列；反之，以任一個正數(shù)C為底，用一個等差數(shù)列的各項做指數(shù)構造冪Can，則是等比數(shù)列。在這個意義下，我們說：一個正項等比數(shù)列與等差數(shù)列是—同構‖的。性質(zhì)：

①若m、n、p、q∈N*，且m＋n=p＋q，則aman=apaq；②在等比數(shù)列中，依次每k項之和仍成等比數(shù)列.—G是a、b的等比中項‖—G^2=ab（G≠0）‖.(5)等比數(shù)列前n項之和Sn=A1(1-q^n)/(1-q)在等比數(shù)列中，首項A1與公比q都不為零.注意：上述公式中A^n表示A的n次方。等比數(shù)列在生活中也是常常運用的。如：銀行有一種支付利息的方式---復利。即把前一期的利息赫本金價在一起算作本金，

在計算下一期的利息，也就是人們通常說的利滾利。

按照復利計算本利和的公式：本利和=本金*(1+利率)^存期

例題

1已知數(shù)列：（An),Sn=3an+2,求證，An是等比數(shù)列。解：當n=1時a1=3a1+2得a1=-1當n>=2時有Sn=3an+2………………1式

S(n-1)=3a(n-1)+2（括號代表下標下同）…………2式1式-2式得an=3an-3a(n-1)【an=Sn-S(n-1)】所以3a(n-1)=2anan=3/2a(n-1)

所以{an}是以-1為首項以3/2為公比的等比數(shù)列

2已知等差數(shù)列{AN}的前N項和為SN，且A3=5，S15=225.數(shù)列{BN}是等比數(shù)列，B3=A2+A3，B2B5=128.

（1）求數(shù)列{AN}的通項AN及數(shù)列{BN}的前9項的和T9

解1.設等差數(shù)列an的首項為a1,公差為d；等比數(shù)列首項b1,公比為qa3=a1+2d=5

s15=(a1+a15)*15/2=(a1+a1+14d)*15/2=225解出a1=1d=2

所以數(shù)列an通項公式an=a1+(n-1)d=2n-1可以求出a2=3,a3=5,所以b3=8b3=b1q^2=8

b2b5=(b1q)*(b1q^4)=b1^2*q^5=128解出b1=1q=2

所以bn=b1*q^(n-1)=2^(n-1)tn=a1(1-q^n)/(1-q)=2^n-1所以t9=2^9-1=511

11不等式

不等式(inequality)

用不等號將兩個解析式連結起來所成的式子。例如2x＋2y≥2xy，sinx≤1，ex＞0，2x＜3等。根據(jù)解析式的分類也可對不等式分類，不等號兩邊的解析式都是代數(shù)式的不等式，稱為代數(shù)不等式；只要有一邊是超越式，就稱為超越不等式。例如lg(1＋x)＞x是超越不等式。

通常不等式中的數(shù)是實數(shù)，字母也代表實數(shù)，不等式的一般形式為F(x，y，……，z)≤G(x，y，……，z)（其中不等號也可以為＜，≥，＞中某一個），兩邊的解析式的公共定義域稱為不等式的定義域，不等式既可以表達一個命題，也可以表示一個問題。

不等式的最基本性質(zhì)有：①如果x＞y，那么y＜x；如果y＜x，那么x＞y；②如果x＞y，y＞z；那么x＞z；③如果x＞y，而z為任意實數(shù)，那么x＋z＞y＋z；④如果x＞y，z＞0，那么xz＞yz；⑤如果x＞y，z＜0，那么xz＜yz。由不等式的基本性質(zhì)出發(fā)，通過邏輯推理，可以論證大量的初等不等式，其中比較有名的有：柯西不等式：對于2n個任意實數(shù)x1，x2，…，xn和y1，y2，…，yn，恒有（x1y1＋x2y2＋…＋xnyn）2≤（x12＋x22＋…＋xn2）（y12＋y22＋…＋yn2）。

排序不等式：對于兩組有序的實數(shù)x1≤x2≤…≤xn，y1≤y2≤…≤yn，設yi1，yi2，…，yin是后一組的任意一個排列，記S＝x1yn＋x2yn-1＋…＋xny1，M＝x1yi1＋x2yi2＋…＋xnyin，L＝x1y1＋x2y2＋…＋xnyn，那么恒有S≤M≤L。

根據(jù)不等式的基本性質(zhì)，也可以推出解不等式可遵循的一些同解原理。主要的有：①不等式F（x）＜G（x）與不等式G（x）＞F（x）同解。②如果不等式F（x）＜G（x）的定義域被解析式H（x）的定義域所包含，那么不等式F（x）＜G（x）與不等式F（x）＋H（x）＜G（x）＋H（x）同解。③如果不等式F（x）＜G（x）的定義域被解析式H（x）的定義域所包含，并且H（x）＞0，那么不等式F(x)＜G（x）與不等式H（x）F（x）＜H（x）G（x）同解；如果H（x）＜0，那么不等式F（x）＜G（x）與不等式H(x)F（x）＞H（x）G（x）同解。④不等式F（x）G（x）＞0與不等式同解；不等式F（x）G（x）＜0與不等式同解。

不等式分為嚴格不等式與非嚴格不等式。一般地，用純粹的大于號、小于號—＞‖—＜‖連接的不等式稱為嚴格不等式，用不小于號（大于或等于號）、不大于號（小于或等于號）—≥‖—≤‖連接的不等式稱為非嚴格不等式，或稱廣義不等式。

在一個式子中的數(shù)的關系,不全是等號,含不等符號的式子，那它就是一個不等式.

如:甲大于乙(甲>乙),就是一個不等式.不等式不一定只有「>」,「0,即A>B.又同理可證:A>C,A>D.所以,A最大.

不等式是不包括等號在內(nèi)的式子比如：（不等號大于等于號，小于等于號）只要用這些號放在式子里就是不等式咯．．

1.符號：不等式兩邊都乘以或除以一個負數(shù)，要改變不等號的方向。2.確定解集：

比兩個值都大，就比大的還大；比兩個值都小，就比小的還��；比大的大，比小的小，無解；

比小的大，比大的小，有解在中間。

三個或三個以上不等式組成的不等式組，可以類推。3.另外，也可以在數(shù)軸上確定解集：把每個不等式的解集在數(shù)軸上表示出來，數(shù)軸上的點把數(shù)軸分成若干段，如果數(shù)軸的某一段上面表示解集的線的條數(shù)與不等式的個數(shù)一樣，那么這段就是不等式組的解集。有幾個就要幾個。

1.不等式的基本性質(zhì):

性質(zhì)1:如果a>b,b>c,那么a>c(不等式的傳遞性).性質(zhì)2:如果a>b,那么a+c>b+c(不等式的可加性).

性質(zhì)3:如果a>b,c>0,那么ac>bc;如果a>b,cd,那么a+c>b+d.性質(zhì)5:如果a>b>0,c>d>0,那么ac>bd.

性質(zhì)6:如果a>b>0,n∈N,n>1,那么an>bn,且.性質(zhì)7:如果a>等于bc>b那么c大于等于a

均值不等式

A+B/2>=根號下aba+b>=2倍根號下ab(a>0,b>0)當且僅當a=b時，式中等號成立一元二次不等式

含有一個未知數(shù)且未知數(shù)的最高次數(shù)為2次的的不等式叫做一元二次不等式，它的一般形式是ax^2+bx+c>0或ax^2+bx+c=0時，二次三項式，ax^2+bx+c有兩個實根，那么ax^2+bx+c總可分解為a(x-x1)(x-x2)的形式。這樣，解一元二次不等式就可歸結為解兩個一元一次不等式組。一元二次不等式的解集就是這兩個一元一次不等式組的解集的并集。還是舉個例子吧。2x^2-7x+6=2(x^2-3.5x)+6

=2(x^2-3.5x+3.0625-3.0625)+6=2(x^2-3.5x+3.0625)-6.125+6=2(x-1.75)^2-0.125

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