高一數學理科知識點總結

高一數學知識總結一、集合集合有關概念集合的含義

集合的中元素的三個特性：

元素的確定性如：世界上最高的山

元素的互異性如：由HAPPY的字母組成的集合{H,A,P,Y}元素的無序性:如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一個集合

集合的表示：{}如：{我校的籃球隊員}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}用拉丁字母表示集合：A={我校的籃球隊員},B={1,2,3,4,5}集合的表示方法：列舉法與描述法。注意：常用數集及其記法：

非負整數集（即自然數集）記作：N

正整數集N*或N+整數集Z有理數集Q實數集R列舉法：{a,b,c}

描述法：將集合中的元素的公共屬性描述出來，寫在大括號內表示集合的方法。{xR|x-3>2},{x|x-3>2}語言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}4、集合的分類：

有限集含有有限個元素的集合無限集含有無限個元素的集合

2

空集不含任何元素的集合例：{x|x=－5｝二、集合間的基本關系1.“包含”關系子集

注意：AB有兩種可能（1）A是B的一部分，；（2）A與B是同一集合。

B或BA反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,記作A2．“相等”關系：A=B(5≥5，且5≤5，則5=5)

2

實例：設A={x|x-1=0}B={-1,1}“元素相同則兩集合相等”即：①任何一個集合是它本身的子集。AA

②真子集:如果AB,且AB那就說集合A是集合B的真子集，記作A③如果AB,BC,那么AC④如果AB同時BA那么A=B

3.不含任何元素的集合叫做空集，記為Φ

規(guī)定:空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。

nn-1

有n個元素的集合，含有2個子集，2個真子集二、函數

1、函數定義域、值域求法綜合

2.、函數奇偶性與單調性問題的解題策略3、恒成立問題的求解策略4、反函數的幾種題型及方法

5、二次函數根的問題一題多解&指數函數y=a^x

a^a*a^b=a^（a+b）(a>0,a、b屬于Q)(a^a)^b=a^ab(a>0,a、b屬于Q)(ab)^a=a^a*b^a(a>0,a、b屬于Q)指數函數對稱規(guī)律：

1、函數y=a^x與y=a^-x關于y軸對稱

B(或B

A)

2、函數y=a^x與y=-a^x關于x軸對稱

3、函數y=a^x與y=-a^-x關于坐標原點對稱冪函數y=x^a(a屬于R)

1、冪函數定義：一般地，形如yx(aR)的函數稱為冪函數，其中為常數．2、冪函數性質歸納．

（1）所有的冪函數在（0，+∞）都有定義并且圖象都過點（1，1）；

（2）0時，冪函數的圖象通過原點，并且在區(qū)間[0,)上是增函數．特別地，當1時，冪函數的圖象下凸；當01時，冪函數的圖象上凸；

（3）0時，冪函數的圖象在區(qū)間(0,)上是減函數．在第一象限內，當x從右邊趨向原點時，圖象在y軸右方無限地逼近y軸正半軸，當x趨于時，圖象在x軸上方無限地逼近x軸正半軸．

方程的根與函數的零點

1、函數零點的概念：對于函數yf(x)(xD)，把使f(x)0成立的實數x叫做函數yf(x)(xD)的零點。

2、函數零點的意義：函數yf(x)的零點就是方程f(x)0實數根，亦即函數yf(x)的圖象與x軸交點的橫坐標。

即：方程f(x)0有實數根函數yf(x)的圖象與x軸有交點函數yf(x)有零點．

3、函數零點的求法：（代數法）求方程f(x)0的實數根；（幾何法）對于不能用求根公式的方程，可以將它與函數yf(x)的圖象聯系起來，并利用函數的性質找出零點．4、二次函數的零點：

二次函數yaxbxc(a0)．

（1）△＞０，方程axbxc0有兩不等實根，二次函數的圖象與x軸有兩個交點，二次函數有兩個零點．

（2）△＝０，方程axbxc0有兩相等實根，二次函數的圖象與x軸有一個交點，二次函數有一個二重零點或二階零點．

（3）△＜０，方程axbxc0無實根，二次函數的圖象與x軸無交點，二次函數無零點．三、平面向量

已知兩個從同一點O出發(fā)的兩個向量OA、OB，以OA、OB為鄰邊作平行四邊形OACB，則以O為起點的對角線OC就是向量OA、OB的和，這種計算法則叫做向量加法的平行四邊形法則。對于零向量和任意向量a，有：0＋a＝a＋0＝a。|a＋b|≤|a|＋|b|。

向量的加法滿足所有的加法運算定律。數乘運算

實數λ與向量a的積是一個向量，這種運算叫做向量的數乘，記作λa，|λa|＝|λ||a|，當λ>0時，λa的方向和a的方向相同，當λ<0時，λa的方向和a的方向相反，當λ=0時，λa=0。設λ、μ是實數，那么：（1）(λμ)a=λ(μa)（2）(λμ)a=λaμa（3）λ(a±b)=λa±λ

22

b（4）(－λ)a=－(λa)=λ(－a)。

向量的加法運算、減法運算、數乘運算統(tǒng)稱線性運算。

向量的數量積

已知兩個非零向量a、b，那么|a||b|cosθ叫做a與b的數量積或內積，記作a?b，θ是a與b的夾角，|a|cosθ（|b|cosθ）叫做向量a在b方向上（b在a方向上）的投影。零向量與任意向量的數量積為0。

a?b的幾何意義：數量積a?b等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘積。兩個向量的數量積等于它們對應坐標的乘積的和。四、三角函數

1、善于用“1“巧解題

2、三角問題的非三角化解題策略3、三角函數有界性求最值解題方法4、三角函數向量綜合題例析5、三角函數中的數學思想方法

15、正弦函數、余弦函數和正切函數的圖象與性質：函ycosxytanx數ysinx性質

圖象

定義域

RR

xxk,k

2R

值域

1,1

當x2k1,1

k時，2當x2kk時，

最值

ymax1；當x2k2ymax1；當x2k

既無最大值也無最小值

k時，ymin1．

周期性

奇偶性

k時，ymin1．

2

偶函數

2

奇函數在2k

奇函數

2,2k2在2k,2kk上是增函數；在2k,2k

單調性

k上是增函數；在

32k,2k22在k2,k2k上是減函數．

k上是增函數．

k上是減函數．

對稱中心k,0k

對稱性

對稱軸xk2對稱中心kk

,0k2對稱中心無對稱軸

k,0k2對稱軸xkk

必修四

角的頂點與原點重合，角的始邊與x軸的非負半軸重合，終邊落在第幾象限，則稱為第幾象限角．

第二象限角的集合為k36090k360180,k

第三象限角的集合為k360180k360270,k第四象限角的集合為k360270k360360,k終邊在x軸上的角的集合為k180,k

終邊在y軸上的角的集合為k18090,k終邊在坐標軸上的角的集合為k90,k

3、與角終邊相同的角的集合為k360,k

第一象限角的集合為k360k36090,k

4、已知是第幾象限角，確定

n所在象限的方法：先把各象限均分n等份，再從x軸的正半軸n*的上方起，依次將各區(qū)域標上一、二、三、四，則原來是第幾象限對應的標號即為域．

5、長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度．口訣：奇變偶不變，符號看象限．(以上k∈Z)其他三角函數知識：同角三角函數基本關系

⒈同角三角函數的基本關系式商的關系：sinα/cosα＝tanα＝secα/cscαcosα/sinα＝cotα＝cscα/secα平方關系：

sin^2(α)＋cos^2(α)＝11＋tan^2(α)＝sec^2(α)1＋cot^2(α)＝csc^2(α)兩角和差公式

⒉兩角和與差的三角函數公式

sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβsin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβcos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ

終邊所落在的區(qū)n

cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ

tanα＋tanβ

tan（α＋β）＝1－tanαtanβ

tanα－tanβ

tan（α－β）＝1＋tanαtanβ

倍角公式

⒊二倍角的正弦、余弦和正切公式（升冪縮角公式）sin2α＝2sinαcosα

cos2α＝cos^2(α)－sin^2(α)＝2cos^2(α)－1＝1－2sin^2(α)

2tanα

tan2α＝1－tan^2(α)

半角公式

⒋半角的正弦、余弦和正切公式（降冪擴角公式）

1－cosα

sin^2(α/2)＝2

1＋cosα

cos^2(α/2)＝2

1－cosα

tan^2(α/2)＝1＋cosα

萬能公式

⒌萬能公式2tan(α/2)

sinα＝1＋tan^2(α/2)

1－tan^2(α/2)

cosα＝

1＋tan^2(α/2)

2tan(α/2)

tanα＝1－tan^2(α/2)

和差化積公式

⒎三角函數的和差化積公式

α＋βα－β

sinα＋sinβ＝2sin----cos---22

α＋βα－β

sinα－sinβ＝2cos----sin----22

α＋βα－β

cosα＋cosβ＝2cos-----cos-----22

α＋βα－β

cosα－cosβ＝－2sin-----sin-----2

擴展閱讀：201*年高中新課標理科數學所有知識點總結

高中數學必修1知識點

第一章集合與函數概念

〖1.1〗集合

【1.1.1】集合的含義與表示

（1）集合的概念

集合中的元素具有確定性、互異性和無序性.（2）常用數集及其記法

N表示自然數集，N或N表示正整數集，Z表示整數集，Q表示有理數集，R表示實數集.

（3）集合與元素間的關系

對象a與集合M的關系是aM，或者aM，兩者必居其一.（4）集合的表示法

①自然語言法：用文字敘述的形式來描述集合.

②列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，寫在大括號內表示集合.③描述法：{x|x具有的性質}，其中x為集合的代表元素.④圖示法：用數軸或韋恩圖來表示集合.（5）集合的分類

①含有有限個元素的集合叫做有限集.②含有無限個元素的集合叫做無限集.③不含有任何元素的集合叫做空集().

【1.1.2】集合間的基本關系

（6）子集、真子集、集合相等名稱記號意義(1)AAA中的任一元素都屬于B(2)性質示意圖AB子集（或BA)ABA(3)若AB且BC，則AC(4)若AB且BA，則AB（1）A（A為非空子集）A(B)BA或真子集（或BA）AB，且B中至少有一元素不屬于ABA(2)若AB且BC，則AC集合相等A中的任一元素都屬AB于B，B中的任一元素都屬于A(1)AB(2)BAA(B)（7）已知集合空真子集.

A有n(n1)個元素，則它有2n個子集，它有2n1個真子集，它有2n1個非空子集，它有2n2非

【1.1.3】集合的基本運算

（8）交集、并集、補集名稱記號意義性質示意圖交集AB{x|xA,且xB}AAA（2）A（3）ABAABB（1）1

AB并集AB{x|xA,或xB}AAA（2）AA（3）ABAABB（1）1A(2A(UA)UUA)AB補集UA{x|xU,且xA}痧U(AB)(UA)(UB)痧U(AB)(UA)(UB)【補充知識】含絕對值的不等式與一元二次不等式的解法

（1）含絕對值的不等式的解法

不等式解集|x|a(a0){x|axa}|x|a(a0)把x|xa或xa}axb看成一個整體，化成|x|a，|axb|c,|axb|c(c0)|x|a(a0)型不等式來求解（2）一元二次不等式的解法

判別式b24ac二次函數000yax2bxc(a0)的圖象O一元二次方程ax2bxc0(a0)的根bb24acx1,22a（其中x1x1x2b2a無實根x2){x|xax2bxc0(a0)的解集{x|xx1或xx2}b}2aRax2bxc0(a0)的解集{x|x1xx2}〖1.2〗函數及其表示【1.2.1】函數的概念

（1）函數的概念

①設

A、B是兩個非空的數集，如果按照某種對應法則f，對于集合

A中任何一個數x，在集合B中都有唯一

）叫做集合

確定的數

f(x)和它對應，那么這樣的對應（包括集合A，B以及A到B的對應法則f2

A到B的一

個函數，記作

f:AB．

②函數的三要素:定義域、值域和對應法則．

③只有定義域相同，且對應法則也相同的兩個函數才是同一函數．（2）區(qū)間的概念及表示法

①設a,b是兩個實數，且ab，滿足axb的實數x的集合叫做閉區(qū)間，記做[a,b]；滿足axb的

實數x的集合叫做開區(qū)間，記做(a,b)；滿足a別記做

，(a,b][ab,)；滿足

xb，或axb的實數x的集合叫做半開半閉區(qū)間，分

實b數

xa,x,ax,b的xx的集合分別記做

[a,)a,(,注意：對于集合{x|a","p":{"h":17.543,"w":9.316,"x":260.781,"y":402.345,"z":188}④不等式法：利用基本不等式確定函數的值域或最值．

⑤換元法：通過變量代換達到化繁為簡、化難為易的目的，三角代換可將代數函數的最值問題轉化為三角函數的最

值問題．

⑥反函數法：利用函數和它的反函數的定義域與值域的互逆關系確定函數的值域或最值．⑦數形結合法：利用函數圖象或幾何方法確定函數的值域或最值．⑧函數的單調性法．

【1.2.2】函數的表示法

（5）函數的表示方法

表示函數的方法，常用的有解析法、列表法、圖象法三種．

解析法：就是用數學表達式表示兩個變量之間的對應關系．列表法：就是列出表格來表示兩個變量之間的對應關系．圖

象法：就是用圖象表示兩個變量之間的對應關系．（6）映射的概念

①設

A、B是兩個集合，如果按照某種對應法則f，對于集合

A中任何一個元素，在集合B中都有唯一的元素

）叫做集合

和它對應，那么這樣的對應（包括集合

A，B以及A到B的對應法則fA到B的映射，記作

f:AB．

②給定一個集合

A到集合B的映射，且aA,bB．如果元素a和元素b對應，那么我們把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象．

〖1.3〗函數的基本性質

【1.3.1】單調性與最大（小）值

（1）函數的單調性

①定義及判定方法

函數的性質定義如果對于屬于定義域I內某個區(qū)間上的任意兩個自變量的值x1、x2,當x

③對于復合函數

yf[g(x)]，令ug(x)，若yf(u)為增，ug(x)為增，則yf[g(x)]為增；若

則yf[g(x)]為增；若yf(u)為增，ug(x)為減，則yf[g(x)]yf(u)為減，ug(x)為減，為減；若

yf(u)為減，ug(x)為增，則yf[g(x)]為減．

y（2）打“√”函數

f(x)xa(a0)的圖象與性質xf(x)分別在(,a]、[a,)上為增函數，分別在[a,0)、(0,a]上為減函數．

（3）最大（�。┲刀�義①一般地，設函數

都有

oxyf(x)的定義域為I；

，如果存在實數M滿足：（1）對于任意的xI，f(x)M（2）存在x0I，使得f(x0)M．那么，我們稱M是函數f(x)的最大值，記作fmax(x)M．

②一般地，設函數

yf(x)的定義域為I，如果存在實數m滿足：（1）對于任意的xI，都有f(x)m；

（2）存在x0I，使得f(x0)m．那么，我們稱m是函數f(x)的最小值，記作fmax(x)m．

【1.3.2】奇偶性

（4）函數的奇偶性

①定義及判定方法

函數的性質定義如果對于函數f(x)定義域內任意一個x，都有．f(－x)=－．．．．．．f(x),那么函數f(x)叫做奇函．．．．．．數．．函數的奇偶性如果對于函數f(x)定義域內任意一個x，都有．f(－x)=f(x),．．．．．．．．．那么函數f(x)叫做偶函數．．．．（1）利用定義（要先判斷定義域是否關于原點對稱）（2）利用圖象（圖象關于y軸對稱）②若函數

圖象判定方法（1）利用定義（要先判斷定義域是否關于原點對稱）（2）利用圖象（圖象關于原點對稱）f(x)為奇函數，且在x0處有定義，則f(0)0．

③奇函數在

y軸兩側相對稱的區(qū)間增減性相同，偶函數在y軸兩側相對稱的區(qū)間增減性相反．

④在公共定義域內，兩個偶函數（或奇函數）的和（或差）仍是偶函數（或奇函數），兩個偶函數（或奇函數）的積（或商）是偶函數，一個偶函數與一個奇函數的積（或商）是奇函數．

〖補充知識〗函數的圖象

（1）作圖

利用描點法作圖：

①確定函數的定義域；②化解函數解析式；③討論函數的性質（奇偶性、單調性）；④畫出函數的圖象．利用基本函數圖象的變換作圖：

要準確記憶一次函數、二次函數、反比例函數、指數函數、對數函數、冪函數、三角函數等各種基本初等函數的圖象．①平移變換

h0,左移h個單位k0,上移k個單位yf(x)yf(xh)yf(x)yf(x)k

h0,右移|h|個單位k0,下移|k|個單位②伸縮變換

01,伸yf(x)yf(x)

1,縮0A1,縮yf(x)yAf(x)

A1,伸③對稱變換

y軸x軸yf(x)yf(x)yf(x)yf(x)

直線yx原點yf(x)yf(x)yf(x)yf1(x)去掉y軸左邊圖象yf(x)yf(|x|)

保留y軸右邊圖象，并作其關于y軸對稱圖象保留x軸上方圖象yf(x)y|f(x)|

將x軸下方圖象翻折上去（2）識圖

對于給定函數的圖象，要能從圖象的左右、上下分別范圍、變化趨勢、對稱性等方面研究函數的定義域、值域、單調性、奇偶性，注意圖象與函數解析式中參數的關系．（3）用圖

函數圖象形象地顯示了函數的性質，為研究數量關系問題提供了“形”的直觀性，它是探求解題途徑，獲得問題結

果的重要工具．要重視數形結合解題的思想方法．

第二章基本初等函數(Ⅰ)

〖2.1〗指數函數

【2.1.1】指數與指數冪的運算

（1）根式的概念

①如果x根用符號nna,aR,xR,n1，且nN，那么x叫做a的n次方根．當n是奇數時，a的n次方

a表示；當n是偶數時，正數a的正的n次方根用符號na表示，負的n次方根用符號na表示；0

的n次方根是0；負數a沒有n次方根．

②式子na叫做根式，這里n叫做根指數，a叫做被開方數．當n為奇數時，a為任意實數；當n為偶數時，

a0．

③根式的性質：(na(a0)．a)na；當n為奇數時，nana；當n為偶數時，nan|a|a(a0)6

（2）分數指數冪的概念

①正數的正分數指數冪的意義是：amnnam(a0,m,nN,且n1)．0的正分數指數冪等于0．

mn②正數的負分數指數冪的意義是：a1m1()nn()m(a0,m,nN,且n1)．0的負分數指數

aa冪沒有意義．注意口訣：底數取倒數，指數取相反數．（3）分數指數冪的運算性質

①arasars(a0,r,sR)②(ar)sars(a0,r,sR)

r③(ab)arbr(a0,b0,rR)

【2.1.2】指數函數及其性質

（4）指數函數

函數名稱定義函數指數函數yax(a0且a1)叫做指數函數0a1yaxa1y圖象yaxyy1y1(0,1)(0,1)O定義域值域xR(0,)Ox過定點奇偶性單調性圖象過定點(0,1)，即當x0時，y1．在R上是減函數非奇非偶在R上是增函數ax1(x0)函數值的變化情況ax1(x0)ax1(x0)ax1(x0)ax1(x0)ax1(x0)a變化對圖象的影響

在第一象限內，a越大圖象越高；在第二象限內，a越大圖象越低．〖2.2〗對數函數

【2.2.1】對數與對數運算

（1）對數的定義

①若axN(a0,且a1)，則x叫做以a為底N的對數，記作xlogaN，其中a叫做底數，N

叫做真數．

②負數和零沒有對數．

③對數式與指數式的互化：xloga（2）幾個重要的對數恒等式

NaxN(a0,a1,N0)．

loga10，logaa1，logaabb．

（3）常用對數與自然對數

常用對數：lgN，即log10（4）對數的運算性質如果a①加法：logaN；自然對數：lnN，即loge．N（其中e2.71828）

0,a1,M0,N0，那么

MN

MlogaNloga(MN)②減法：logaMlogaNlogaMlogaMn(nR)④alogaNN

③數乘：nloga⑤logabMnnlogbNlogaM(b0,nR)⑥換底公式：logaN(b0,且b1)blogba【2.2.2】對數函數及其性質

（5）對數函數

函數名稱定義函數對數函數ylogax(a0且a1)叫做對數函數0a11xa1y圖象x1ylogaxyylogax(1,0)O(1,0)xOx定義域值域過定點奇偶性單調性在(0,)上是增函數(0,)R圖象過定點(1,0)，即當x1時，y0．非奇非偶在(0,)上是減函數logax0(x1)函數值的變化情況logax0(x1)logax0(x1)logax0(0x1)logax0(x1)logax0(0x1)a變化對圖象的影響(6)反函數的概念

設函數

在第一象限內，a越大圖象越靠低；在第四象限內，a越大圖象越靠高．yf(x)的定義域為A，值域為C，從式子yf(x)中解出x，得式子x(y)．如果對于y在

C中的任何一個值，通過式子x(y)，x在A中都有唯一確定的值和它對應，那么式子x(y)表示x是y的函數，函數x(y)叫做函數yf(x)的反函數，記作xf1(y)，習慣上改寫成yf1(x)．

（7）反函數的求法

①確定反函數的定義域，即原函數的值域；②從原函數式③將xyf(x)中反解出xf1(y)；

f1(y)改寫成yf1(x)，并注明反函數的定義域．

（8）反函數的性質①原函數

②函數

yf(x)與反函數yf1(x)的圖象關于直線yx對稱．

yf(x)的定義域、值域分別是其反函數yf1(x)的值域、定義域．

yf(x)的圖象上，則P"(b,a)在反函數yf1(x)的圖象上．

③若P(a,b)在原函數④一般地，函數

yf(x)要有反函數則它必須為單調函數．

〖2.3〗冪函數

（1）冪函數的定義一般地，函數

9

yx叫做冪函數，其中x為自變量，是常數．（2）冪函數的圖象（3）冪函數的性質

①圖象分布：冪函數圖象分布在第一、二、三象限，第四象限無圖象．冪函數是偶函數時，圖象分布在第一、二象限(圖象關于

y軸對稱)；是奇函數時，圖象分布在第一、三象限(圖象關于原點對稱)；是非奇非偶函數時，圖象只分布在第一

象限．

②過定點：所有的冪函數在(0,)都有定義，并且圖象都通過點(1,1)．③單調性：如果0，則冪函數的圖象過原點，并且在[0,)上為增函數．如果0，則冪函數的圖象在(0,)上為減函數，在第一象限內，圖象無限接近x軸與y軸．

qp（其中

④奇偶性：當為奇數時，冪函數為奇函數，當為偶數時，冪函數為偶函數．當qpp,q互質，p和

，若p為奇數q為奇數時，則yxqZ）數q為奇數時，則

是奇函數，若

p為奇數q為偶數時，則yxqp是偶函數，若

p為偶

yxqp是非奇非偶函數．

⑤圖象特征：冪函數象在直線

yx,x(0,)，當1時，若0x1，其圖象在直線yx下方，若x1，其圖

yx上方，當1時，若0x1，其圖象在直線yx上方，若x1，其圖象在直線yx下方．

〖補充知識〗二次函數

（1）二次函數解析式的三種形式①一般式：

f(x)ax2bxc(a0)②頂點式：f(x)a(xh)2k(a0)③兩根式：

f(x)a(xx1)(xx2)(a0)（2）求二次函數解析式的方法

①已知三個點坐標時，宜用一般式．

②已知拋物線的頂點坐標或與對稱軸有關或與最大（�。┲涤嘘P時，常使用頂點式．③若已知拋物線與x軸有兩個交點，且橫線坐標已知時，選用兩根式求

（3）二次函數圖象的性質①二次函數

f(x)更方便．

f(x)ax2bxc(a0)的圖象是一條拋物線，對稱軸方程為xb,頂點坐標是2ab4acb2(,)．

2a4a②當a0時，拋物線開口向上，函數在(,；當abbb]上遞減，在[,)上遞增，當x2a2a2a時，

4acb2fmin(x)4a0時，拋物線開口向下，函數在(,bb]上遞增，在[,)上遞減，當2a2a4acb2bx時，fmax(x)2a4a③二次函數

．

f(x)ax2bxc(a0)當b24ac0時，圖象與x軸有兩個交點

M1(x1,0),M2(x2,0),|M1M2||x1x2|（4）一元二次方程ax2．|a|bxc0(a0)根的分布

一元二次方程根的分布是二次函數中的重要內容，這部分知識在初中代數中雖有所涉及，但尚不夠系統(tǒng)和完整，且解決的方法偏重于二次方程根的判別式和根與系數關系定理（韋達定理）的運用，下面結合二次函數圖象的性質，系統(tǒng)地來分析一元二次方程實根的分布．設一元二次方程ax2bxc0(a0)的兩實根為x1,x2，且x1x2．令f(x)ax2bxc，從以下四

b2ab2a③判別式：④端點函數值符號．

個方面來分析此類問題：①開口方向：a②對稱軸位置：x①k＜x1≤x2

yf(k)0ya0xOkx1x②x1≤x2＜k

kx2b2aOxx1x2xa0

f(k)0

ya0Oyf(k)0xOb2ax1x2kxb2akx2x1a0

xxf(k)0

③x1＜k＜x2af(k)＜0

ya0yf(k)0x2xa0Okx1x2xx1Okf(k)0

④k1＜x1≤x2＜k2

ya0yxf(k1)0f(k)02x1x2k2xOb2aOk1k1x1x2k2xbx2af(k1)0a0f(k2)0⑤有且僅有一個根x1（或x2）滿足k1＜x1（或x2）＜k2f(k1)f(k2)0，并同時考慮f(k1)=0或f(k2)=0這兩種情況是否也符合

ya0yf(k1)0f(k1)0x1k2Ok1x2xOx1k1a0x2k2xf(k2)0

⑥k1＜x1＜k2≤p1＜x2＜p2此結論可直接由⑤推出．（5）二次函數設

f(k2)0

f(x)ax2bxc(a0)在閉區(qū)間[p,q]上的最值

1(pq)．2f(x)在區(qū)間[p,q]上的最大值為M，最小值為m，令x0（Ⅰ）當a0時（開口向上）

12

①若

bbbbp，則mf(p)②若pq，則mf()③若q，則mf(q)2a2a2a2af(q)Of(p)x

Of(b)2af(q)x

f(p)Ofbf((p))2ax

b)2aff((q)bbx0，則Mf(q)②x0，則Mf(p)①若2a2a(Ⅱ)當a①若

①若

ff(p)x0x

OOx(q)0fx

b)2aff((q)0時(開口向下)

bf((p))2abbbbp，則Mf(p)②若pq，則Mf()③若q，則Mf(q)2a2a2a2abf()2af(p)Of(p)x

Obf()2af(fb)2a(q)x

Oxf

(q)

(q)

f

(p)fbbx0，則mf(q)②x0，則mf(p)．2a2af(b)2af(p)Off(b)2a(q)x0f

(q)

x

x0f(p)Ox

一、方程的根與函數的零點

1、函數零點的概念：對于函數

第三章函數的應用

yf(x)(xD)13

，把使

f(x)0成立的實數

x叫做函數

yf(x)(xD)的零點。

2、函數零點的意義：函數交點的橫坐標。即：方程

yf(x)的零點就是方程f(x)0實數根，亦即函數yf(x)的圖象與x軸

f(x)0有實數根函數yf(x)的圖象與x軸有交點函數yf(x)有零點．

3、函數零點的求法：

yf(x)的零點：

1（代數法）求方程f(x)0的實數根；○

求函數

2（幾何法）對于不能用求根公式的方程，可以將它與函數○

找出零點．

4、二次函數的零點：

yf(x)的圖象聯系起來，并利用函數的性質

yax2bxc(a0)．

2１）△＞０，方程axbxc0有兩不等實根，二次函數的圖象與x軸有兩個交點，二次函數有兩個零

二次函數點．

２）△＝０，方程axbxc數有一個二重零點或二階零點．３）△＜０，方程ax220有兩相等實根（二重根），二次函數的圖象與x軸有一個交點，二次函

bxc0無實根，二次函數的圖象與x軸無交點，二次函數無零點．

高中數學必修2知識點

第一章空間幾何體

1.1柱、錐、臺、球的結構特征

1.2空間幾何體的三視圖和直觀圖

1三視圖：

正視圖：從前往后側視圖：從左往右俯視圖：從上往下2畫三視圖的原則：

長對齊、高對齊、寬相等3直觀圖：斜二測畫法4斜二測畫法的步驟：

（1）.平行于坐標軸的線依然平行于坐標軸；

（2）.平行于y軸的線長度變半，平行于x，z軸的線長度不變；（3）.畫法要寫好。

5用斜二測畫法畫出長方體的步驟：（1）畫軸（2）畫底面（3）畫側棱（4）成圖

1.3空間幾何體的表面積與體積

（一）空間幾何體的表面積

1棱柱、棱錐的表面積：各個面面積之和

2圓柱的表面積Srl2r23圓錐的表面積S24圓臺的表面積Srlr2

rlr2RlR25球的表面積S4R2

（二）空間幾何體的體積

1VS底h2錐體的體積VS底h

313臺體的體積V（S上S上S下S下)h4球體的體積D

343αVR3A

第二章直線與平面的位置關系

1柱體的體積

CB

2.1空間點、直線、平面之間的位置關系

2.1.1

1平面含義：平面是無限延展的2平面的畫法及表示

（1）平面的畫法：水平放置的平面通常畫成一個平行四邊形，銳角畫成45，且橫邊畫成鄰邊的2倍長（如圖）（2）平面通常用希臘字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四邊形的四個頂點或者相對的兩個頂點的大寫字母來表示，如平面AC、平面ABCD等。3三個公理：

（1）公理1：如果一條直線上的兩點在一個平面內，那么這條直線在此平面內符號表示為

A∈L

B∈L=>LαA∈αB∈α

公理1作用：判斷直線是否在平面內

（2）公理2：過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面。符號表示為：A、B、C三點不共線=>有且只有一個平面α，使A∈α、B∈α、C∈α。

公理2作用：確定一個平面的依據。

（3）公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線。符號表示為：P∈α∩β=>α∩β=L，且P∈L公理3作用：判定兩個平面是否相交的依據

0

Aα

L

αC

AB

βLPα2.1.2空間中直線與直線之間的位置關系

1空間的兩條直線有如下三種關系：

相交直線：同一平面內，有且只有一個公共點；

共面直線

平行直線：同一平面內，沒有公共點；

異面直線：不同在任何一個平面內，沒有公共點。2公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行。符號表示為：設a、b、c是三條直線

a∥bc∥b

強調：公理4實質上是說平行具有傳遞性，在平面、空間這個性質都適用。公理4作用：判斷空間兩條直線平行的依據。

3等角定理：空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補4注意點：

①a"與b"所成的角的大小只由a、b的相互位置來確定，與O的選擇無關，為簡便，點O一般取在兩直線中的一條上；

)；②兩條異面直線所成的角θ∈(0，2③當兩條異面直線所成的角是直角時，我們就說這兩條異面直線互相垂直，記作a⊥b；④兩條直線互相垂直，有共面垂直與異面垂直兩種情形；

⑤計算中，通常把兩條異面直線所成的角轉化為兩條相交直線所成的角。

=>a∥c

2.1.32.1.4空間中直線與平面、平面與平面之間的位置關系

1、直線與平面有三種位置關系：（1）直線在平面內有無數個公共點（2）直線與平面相交有且只有一個公共點（3）直線在平面平行沒有公共點

指出：直線與平面相交或平行的情況統(tǒng)稱為直線在平面外，可用aα來表示

aαa∩α=Aa∥α

2.2.直線、平面平行的判定及其性質2.2.1直線與平面平行的判定

1、直線與平面平行的判定定理：平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行。簡記為：線線平行，則線面平行。符號表示：

aα

bβ=>a∥αa∥b

2.2.2平面與平面平行的判定

1、兩個平面平行的判定定理：一個平面內的兩條交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行。

符號表示：

aβbβ

a∩b=Pβ∥αa∥αb∥α

2、判斷兩平面平行的方法有三種：（1）用定義；（2）判定定理；

（3）垂直于同一條直線的兩個平面平行。

2.2.32.2.4直線與平面、平面與平面平行的性質

1、定理：一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行。簡記為：線面平行則線線平行。符號表示：

a∥α

aβa∥bα∩β=b

作用：利用該定理可解決直線間的平行問題。

2、定理：如果兩個平面同時與第三個平面相交，那么它們的交線平行。符號表示：

α∥β

α∩γ=aa∥bβ∩γ=b

作用：可以由平面與平面平行得出直線與直線平行2.3直線、平面垂直的判定及其性質

2.3.1直線與平面垂直的判定

1、定義

如果直線L與平面α內的任意一條直線都垂直，我們就說直線L與平面α互相垂直，記作L⊥α，直線L叫做平面α的垂線，平面α叫做直線L的垂面。如圖，直線與平面垂直時,它們唯一公共點P叫做垂足。

Lpα

2、判定定理：一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直。

注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；

b)定理體現了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數學思想。

2.3.2平面與平面垂直的判定

1、二面角的概念：表示從空間一直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形

A

梭lβ

Bα

2、二面角的記法：二面角α-l-β或α-AB-β

3、兩個平面互相垂直的判定定理：一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直。2.3.32.3.4直線與平面、平面與平面垂直的性質1、定理：垂直于同一個平面的兩條直線平行。

2性質定理：兩個平面垂直，則一個平面內垂直于交線的直線與另一個平面垂直。

本章知識結構框圖

平面（公理1、公理2、公理3、公理4）空間直線、平面的位置關系直線與平面的位置關系平面與平面的位置關系第三章直線與方程

3.1直線的傾斜角和斜率3.1傾斜角和斜率

1、直線的傾斜角的概念：當直線l與x軸相交時,取x軸作為基準,x軸正向與直線l向上方向之間所成的角α叫做直

線l的傾斜角.特別地,當直線l與x軸平行或重合時,規(guī)定α=0°.

2、傾斜角α的取值范圍：0°≤α＜180°.當直線l與x軸垂直時,α=90°.3、直線的斜率:

一條直線的傾斜角α(α≠90°)的正切值叫做這條直線的斜率,斜率常用小寫字母k表示,也就是k=tanα當直線l與x軸平行或重合時,α=0°,k=tan0°=0;當直線l與x軸垂直時,α=90°,k不存在.

由此可知,一條直線l的傾斜角α一定存在,但是斜率k不一定存在.4、直線的斜率公式:

給定兩點P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,用兩點的坐標來表示直線P1P2的斜率：斜率公式:k=y2-y1/x2-x1

3.1.2兩條直線的平行與垂直

1、兩條直線都有斜率而且不重合，如果它們平行，那么它們的斜率相等；反之，如果它們的斜率相等，那么它們平行，

即

注意:上面的等價是在兩條直線不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少這個前提，結論并不成立．即如果k1=k2,那么一定有L1∥L2

2、兩條直線都有斜率，如果它們互相垂直，那么它們的斜率互為負倒數；反之，如果它們的斜率互為負倒數，那么它們互相垂直，即

3.2.1直線的點斜式方程

1、直線的點斜式方程：直線l經過點P(x0,y0)，且斜率為k02、、直線的斜截式方程：已知直線l的斜率為k，且與

yy0k(xx0)

y軸的交點為(0,b)ykxb

3.2.2直線的兩點式方程

1、直線的兩點式方程：已知兩點P其中(x11(x1,x2),P2(x2,y2)2、直線的截距式方程：已知直線l與

x2,y1y2)y-y1/y-y2=x-x1/x-x2

x軸的交點為A(a,0)，與y軸的交點為B(0,b)，其中a0,b0

AxByC0（A，B不同時為0）

3.2.3直線的一般式方程

1、直線的一般式方程：關于x,y的二元一次方程2、各種直線方程之間的互化。

3.3直線的交點坐標與距離公式

3.3.1兩直線的交點坐標

1、給出例題：兩直線交點坐標

L1：3x+4y-2=0L1：2x+y+2=0解：解方程組

3x4y20得x=-2，y=22x2y201*

所以L1與L2的交點坐標為M（-2，2）

3.3.23.3.3

兩點間距離

點到直線的距離公式

兩點間的距離公式1．點到直線距離公式：點P(x0,y0)到直線l:AxByC0的距離為：dAx0By0CAB22

2、兩平行線間的距離公式：

已知兩條平

PP12x2x2y2y122行線直線l1和l2的一般式方程為l1：AxByC10，

l2AxByC20，則l1與l2的距離為d第四章

4.1.1圓的標準方程

1、圓的標準方程：(xa)2C1C2AB22

圓與方程

(yb)2r2

圓心為A(a,b),半徑為r的圓的方程

2、點M(x0,y0)與圓(xa)（1）(x0（3）(x02(yb)2r2的關系的判斷方法：

a)2(y0b)2>r2，點在圓外（2）(x0a)2(y0b)2=r2，點在圓上a)2(y0b)2（3）當dr時，直線l與圓C相交；

4.2.2圓與圓的位置關系

兩圓的位置關系．

設兩圓的連心線長為l，則判別圓與圓的位置關系的依據有以下幾點：

（1）當lr1r2時，圓C1與圓C2相離；（2）當lr1r2時，圓C1與圓C2外切；（3）當|r1r2|lr1r2時，圓C1與圓C2相交；

（4）當l|r1r2|時，圓C1與圓C2內切；（5）當l|r1r2|時，圓C1與圓C2內含；

4.2.3直線與圓的方程的應用

1、利用平面直角坐標系解決直線與圓的位置關系；2、過程與方法

用坐標法解決幾何問題的步驟：

第一步：建立適當的平面直角坐標系，用坐標和方程表示問題中的幾何元素，將平面幾何問題轉化為代數問題；第二步：通過代數運算，解決代數問題；第三步：將代數運算結果“翻譯”成幾何結論．

RMOPQM"y4.3.1空間直角坐標系

1、點M對應著唯一確定的有序實數組(x,y,z)，x、y、z分別是P、Q、R在x、y、z軸上的坐標

2、有序實數組(x,y,z)，對應著空間直角坐標系中的一點

x3、空間中任意點M的坐標都可以用有序實數組(x,y,z)來表示，該數組叫做點M在此空間直角坐標系中的坐標，記M(x,y,z)，x叫做點M的橫坐標，坐標。

y叫做點M的縱坐標，z叫做點M的豎

z4.3.2空間兩點間的距離公式

1、空間中任意一點P1(x1,y1,z1)到點P2(x2,y2,z2)之間的距離公式

P1P2P1P2(x1x2)(y1y2)(z1z2)

222N1xOM1MM2HN2yN","p":{"h":14.526,"w":3.375,"x":302.058,"y":1173.667,"z":31},"ps":null,"t"高中數學必修3知識點

第一章算法初步

1.1.1

算法的概念

1、算法概念：

在數學上，現代意義上的“算法”通常是指可以用計算機來解決的某一類問題是程序或步驟，這些程序或步驟必須是明確和有效的，而且能夠在有限步之內完成.2.算法的特點:

(1)有限性：一個算法的步驟序列是有限的，必須在有限操作之后停止，不能是無限的.

(2)確定性：算法中的每一步應該是確定的并且能有效地執(zhí)行且得到確定的結果，而不應當是模棱兩可.

(3)順序性與正確性：算法從初始步驟開始，分為若干明確的步驟，每一個步驟只能有一個確定的后繼步驟，前一步是后一步的前提，只有執(zhí)行完前一步才能進行下一步，并且每一步都準確無誤，才能完成問題.(4)不唯一性：求解某一個問題的解法不一定是唯一的，對于一個問題可以有不同的算法.

(5)普遍性：很多具體的問題，都可以設計合理的算法去解決，如心算、計算器計算都要經過有限、事先設計好的步驟加以解決.

1.1.2程序框圖

1、程序框圖基本概念：

（一）程序構圖的概念：程序框圖又稱流程圖，是一種用規(guī)定的圖形、指向線及文字說明來準確、直觀地表示算法的圖形。

一個程序框圖包括以下幾部分：表示相應操作的程序框；帶箭頭的流程線；程序框外必要文字說明。（二）構成程序框的圖形符號及其作用

程序框起止框輸入、輸出框處理框判斷框“Y”；不成立時標明“否”或“N”。寫在不同的用以處理數據的處理框內。判斷某一條件是否成立，成立時在出口處標明“是”或要輸入、輸出的位置。賦值、計算，算法中處理數據需要的算式、公式等分別表示一個算法輸入和輸出的信息，可用在算法中任何需名稱功能表示一個算法的起始和結束，是任何流程圖不可少的。學習這部分知識的時候，要掌握各個圖形的形狀、作用及使用規(guī)則，畫程序框圖的規(guī)則如下：

1、使用標準的圖形符號。2、框圖一般按從上到下、從左到右的方向畫。3、除判斷框外，大多數流程圖符號只有一個

進入點和一個退出點。判斷框具有超過一個退出點的唯一符號。4、判斷框分兩大類，一類判斷框“是”與“否”兩分支的判斷，而且有且僅有兩個結果；另一類是多分支判斷，有幾種不同的結果。5、在圖形符號內描述的語言要非常簡練清楚。

（三）、算法的三種基本邏輯結構：順序結構、條件結構、循環(huán)結構。

1、順序結構：順序結構是最簡單的算法結構，語句與語句之間，框與框之間是按從上到下的順序進行的，它是由若干個依次執(zhí)行的處理步驟組成的，它是任何一個算法都離不開的一種基本算法結構。

順序結構在程序框圖中的體現就是用流程線將程序框自上而下地連接起來，按順序執(zhí)行算法步驟。如在示意圖中，A框和B框是依次執(zhí)行的，只有在執(zhí)行完A框指定的操作后，才能接著執(zhí)行B框所指定的操作。2、條件結構：

條件結構是指在算法中通過對條件的判斷根據條件是否成立而選擇不同流向的算法結構。

條件P是否成立而選擇執(zhí)行A框或B框。無論P條件是否成立，只能執(zhí)行A框或B框之一，不可能同時執(zhí)行A框和B框，也不可能A框、B框都不執(zhí)行。一個判斷結構可以有多個判斷框。

3、循環(huán)結構：在一些算法中，經常會出現從某處開始，按照一定條件，反復執(zhí)行某一處理步驟的情況，這就是循環(huán)結構，反復執(zhí)行的處理步驟為循環(huán)體，顯然，循環(huán)結構中一定包含條件結構。循環(huán)結構又稱重復結構，循環(huán)結構可細分為兩類：

（1）、一類是當型循環(huán)結構，如下左圖所示，它的功能是當給定的條件P成立時，執(zhí)行A框，A框執(zhí)行完畢后，再判斷條件P是否成立，如果仍然成立，再執(zhí)行A框，如此反復執(zhí)行A框，直到某一次條件P不成立為止，此時不再執(zhí)行A框，離開循環(huán)結構。

（2）、另一類是直到型循環(huán)結構，如下右圖所示，它的功能是先執(zhí)行，然后判斷給定的條件P是否成立，如果P仍然不成立，則繼續(xù)執(zhí)行A框，直到某一次給定的條件P成立為止，此時不再執(zhí)行A框，離開循環(huán)結構。

當型循環(huán)結構直到型循環(huán)結構

22

ABAP不成立成立成立AP不成立注意：1循環(huán)結構要在某個條件下終止循環(huán)，這就需要條件結構來判斷。因此，循環(huán)結構中一定包含條件結構，但不允許“死循環(huán)”。2在循環(huán)結構中都有一個計數變量和累加變量。計數變量用于記錄循環(huán)次數，累加變量用于輸出結果。計數變量和累加變量一般是同步執(zhí)行的，累加一次，計數一次。

1.2.1輸入、輸出語句和賦值語句

1、輸入語句

（1）輸入語句的一般格式

INPUT“提示內容”；變量圖形計算器格式INPUT“提示內容”，變量（2）輸入語句的作用是實現算法的輸入信息功能；（3）“提示內容”提示用戶輸入什么樣的信息，變量是指程序在運行時其值是可以變化的量；（4）輸入語句要求輸入的值只能是具體的常數，不能是函數、變量或表達式；（5）提示內容與變量之間用分號“；”隔開，若輸入多個變量，變量與變量之間用逗號“，”隔開。2、輸出語句

（1）輸出語句的一般格式

PRINT“提示內容”；表達式圖形計算器格式Disp“提示內容”，變量（2）輸出語句的作用是實現算法的輸出結果功能；（3）“提示內容”提示用戶輸入什么樣的信息，表達式是指程序要輸出的數據；（4）輸出語句可以輸出常量、變量或表達式的值以及字符。3、賦值語句

（1）賦值語句的一般格式

（2）賦值語句的作用是將表達式所代表的值賦給變量；（3）賦值語句中的“＝”稱作賦值號，與數學中的等號的意義是不同的。賦值號的左右兩邊不能對換，它將賦值號右邊的表達式的值賦給賦值號左邊的變量；（4）賦值語句左邊只能是變量名字，而不是表達式，右邊表達式可以是一個數據、常量或算式；（5）對于一個變量可以多次賦值。

注意：①賦值號左邊只能是變量名字，而不能是表達式。如：2=X是錯誤的。②賦值號左右不能對換。如“A=B”“B=A”的含義運行結果是不同的。③不能利用賦值語句進行代數式的演算。（如化簡、因式分解、解方程等）④賦值號“=”與數學中的等號意義不同。1．2．2條件語句

1、條件語句的一般格式有兩種：（1）IFTHENELSE語句；（2）IFTHEN語句。2、IFTHENELSE語句IFTHENELSE語句的一般格式為圖1，對應的程序框圖為圖2。

變量＝表達式圖形計算器格式表達式變量IF條件THEN語句1ELSE語句2ENDIF滿足條件？是語句123否

語句圖1圖2

分析：在IFTHENELSE語句中，“條件”表示判斷的條件，“語句1”表示滿足條件時執(zhí)行的操作內容；“語句2”表示不滿足條件時執(zhí)行的操作內容；ENDIF表示條件語句的結束。計算機在執(zhí)行時，首先對IF后的條件進行判斷，如果條件符合，則執(zhí)行THEN后面的語句1；若條件不符合，則執(zhí)行ELSE后面的語句2。3、IFTHEN語句

IFTHEN語句的一般格式為圖3，對應的程序框圖為圖4。

IF條件THEN語句ENDIF（圖3）

是滿足條件？否語句

注意：“條件”表示判斷的條件；“語句”表示滿足條件時執(zhí)行的操作內容，條件不滿足時，結束程序；ENDIF表示條件語句的結束。計算機在執(zhí)行時首先對IF后的條件進行判斷，如果條件符合就執(zhí)行THEN后邊的語句，若條件不符合則直接結束該條件語句，轉而執(zhí)行其它語句。

（圖4）1．2．3循環(huán)語句

循環(huán)結構是由循環(huán)語句來實現的。對應于程序框圖中的兩種循環(huán)結構，一般程序設計語言中也有當型（WHILE型）和直到型（UNTIL型）兩種語句結構。即WHILE語句和UNTIL語句。1、WHILE語句

（1）WHILE語句的一般格式是對應的程序框圖是

循環(huán)體WHILE條件循環(huán)體WEND滿足條件？否是（2）當計算機遇到WHILE語句時，先判斷條件的真假，如果條件符合，就執(zhí)行WHILE與WEND之間的循環(huán)體；然后再檢查上述條件，如果條件仍符合，再次執(zhí)行循環(huán)體，這個過程反復進行，直到某一次條件不符合為止。這時，計算機將不執(zhí)行循環(huán)體，直接跳到WEND語句后，接著執(zhí)行WEND之后的語句。因此，當型循環(huán)有時也稱為“前測試型”循環(huán)。2、UNTIL語句

（1）UNTIL語句的一般格式是對應的程序框圖是

24

DO循環(huán)體LOOPUNTIL條件循環(huán)體滿足條件？是否（2）直到型循環(huán)又稱為“后測試型”循環(huán)，從UNTIL型循環(huán)結構分析，計算機執(zhí)行該語句時，先執(zhí)行一次循環(huán)體，然后進行條件的判斷，如果條件不滿足，繼續(xù)返回執(zhí)行循環(huán)體，然后再進行條件的判斷，這個過程反復進行，直到某一次條件滿足時，不再執(zhí)行循環(huán)體，跳到LOOPUNTIL語句后執(zhí)行其他語句，是先執(zhí)行循環(huán)體后進行條件判斷的循環(huán)語句。分析：當型循環(huán)與直到型循環(huán)的區(qū)別：（先由學生討論再歸納）（1）當型循環(huán)先判斷后執(zhí)行，直到型循環(huán)先執(zhí)行后判斷；

在WHILE語句中，是當條件滿足時執(zhí)行循環(huán)體，在UNTIL語句中，是當條件不滿足時執(zhí)行循環(huán)

1.3.1輾轉相除法與更相減損術

1、輾轉相除法。也叫歐幾里德算法，用輾轉相除法求最大公約數的步驟如下：（1）：用較大的數m除以較小的數n得到一個商≠0，則用除數n除以余數則用除數

S0和一個余數R0；RR（2）：若0＝0，則n為m，n的最大公約數；若0R0得到一個商S1和一個余數R1；RRR（3）：若1＝0，則1為m，n的最大公約數；若1≠0，

R0除以余數R1得到一個商S2和一個余數R2；依次計算直至Rn＝0，此時所得到的Rn1即為所

求的最大公約數。2、更相減損術

我國早期也有求最大公約數問題的算法，就是更相減損術。在《九章算術》中有更相減損術求最大公約數的步驟：可半者半之，不可半者，副置分母子之數，以少減多，更相減損，求其等也，以等數約之。

翻譯為：（1）：任意給出兩個正數；判斷它們是否都是偶數。若是，用2約簡；若不是，執(zhí)行第二步。（2）：以較大的數減去較小的數，接著把較小的數與所得的差比較，并以大數減小數。繼續(xù)這個操作，直到所得的數相等為止，則這個數（等數）就是所求的最大公約數。

例2用更相減損術求98與63的最大公約數.分析：（略）

3、輾轉相除法與更相減損術的區(qū)別：

（1）都是求最大公約數的方法，計算上輾轉相除法以除法為主，更相減損術以減法為主，計算次數上輾轉相除法計算次數相對較少，特別當兩個數字大小區(qū)別較大時計算次數的區(qū)別較明顯。

（2）從結果體現形式來看，輾轉相除法體現結果是以相除余數為0則得到，而更相減損術則以減數與差相等而得到

1.3.2秦九韶算法與排序

1、秦九韶算法概念：

f(x)=anxn+an-1xn-1+….+a1x+a0求值問題

f(x)=anxn+an-1xn-1+….+a1x+a0=(anxn-1+an-1xn-2+….+a1)x+a0=((anxn-2+an-1xn-3+….+a2)x+a1)x+a0

=......=(...(anx+an-1)x+an-2)x+...+a1)x+a0

求多項式的值時，首先計算最內層括號內依次多項式的值，即v1=anx+an-1然后由內向外逐層計算一次多項式的值，即v2=v1x+an-2v3=v2x+an-3......vn=vn-1x+a0

這樣，把n次多項式的求值問題轉化成求n個一次多項式的值的問題。2、兩種排序方法：直接插入排序和冒泡排序1、直接插入排序

基本思想：插入排序的思想就是讀一個，排一個。將第１個數放入數組的第１個元素中，以后讀入的數與已存入數組的數進行比較，確定它在從大到小的排列中應處的位置．將該位置以及以后的元素向后推移一個位置，將讀入的新數填入空出的位置中．（由于算法簡單，可以舉例說明）2、冒泡排序

基本思想：依次比較相鄰的兩個數,把大的放前面,小的放后面.即首先比較第1個數和第2個數,大數放前,小數放后.然后比較第2個數和第3個數......直到比較最后兩個數.第一趟結束,最小的一定沉到最后.重復上過程,仍從第1個數開始,到最后第2個數......由于在排序過程中總是大數往前,小數往后,相當氣泡上升,所以叫冒泡排序.

1.3.3進位制

1、概念：進位制是一種記數方式，用有限的數字在不同的位置表示不同的數值�？墒褂脭底址�號的個數稱為基數，基數為n，即可稱n進位制，簡稱n進制�，F在最常用的是十進制，通常使用10個阿拉伯數字0-9進行記數。對于任何一個數，我們可以用不同的進位制來表示。比如：十進數57，可以用二進制表示為111001，也可以用八進制表示為71、用十六進制表示為39，它們所代表的數值都是一樣的。

一般地，若k是一個大于一的整數，那么以k為基數的k進制可以表示為：

anan1...a1a0(k)(0ank,0an1,...,a1,a0k)，

而表示各種進位制數一般在數字右下腳加注來表示,如111001(2)表示二進制數,34(5)表示5進制數

第二章統(tǒng)計

2.1.1簡單隨機抽樣

1．總體和樣本

在統(tǒng)計學中,把研究對象的全體叫做總體．把每個研究對象叫做個體．把總體中個體的總數叫做總體容量．

為了研究總體的有關性質，一般從總體中隨機抽取一部分：，，，

研究，我們稱它為樣本．其中個體的個數稱為樣本容量．

2．簡單隨機抽樣，也叫純隨機抽樣。就是從總體中不加任何分組、劃類、排隊等，完全隨

機地抽取調查單位。特點是：每個樣本單位被抽中的可能性相同（概率相等），樣本的每個單位完全獨立，彼此間無一定的關聯性和排斥性。簡單隨機抽樣是其它各種抽樣形式的基礎。通常只是在總體單位之間差異程度較小和數目較少時，才采用這種方法。3．簡單隨機抽樣常用的方法：

（1）抽簽法；隨機數表法；計算機模擬法；使用統(tǒng)計軟件直接抽取。

在簡單隨機抽樣的樣本容量設計中，主要考慮：①總體變異情況；②允許誤差范圍；③概率保證程度。

4．抽簽法:

（1）給調查對象群體中的每一個對象編號；（2）準備抽簽的工具，實施抽簽

（3）對樣本中的每一個個體進行測量或調查

例：請調查你所在的學校的學生做喜歡的體育活動情況。5．隨機數表法：

例：利用隨機數表在所在的班級中抽取10位同學參加某項活動。

2.1.2系統(tǒng)抽樣

1．系統(tǒng)抽樣（等距抽樣或機械抽樣）：

把總體的單位進行排序，再計算出抽樣距離，然后按照這一固定的抽樣距離抽取樣本。第一個樣本采用簡單隨機抽樣的辦法抽取。

K（抽樣距離）=N（總體規(guī)模）/n（樣本規(guī)模）

前提條件：總體中個體的排列對于研究的變量來說，應是隨機的，即不存在某種與研究變量相關的規(guī)則分布�？梢栽谡{查允許的條件下，從不同的樣本開始抽樣，對比幾次樣本的特點。如果有明顯差別，說明樣本在總體中的分布承某種循環(huán)性規(guī)律，且這種循環(huán)和抽樣距離重合。

2．系統(tǒng)抽樣，即等距抽樣是實際中最為常用的抽樣方法之一。因為它對抽樣框的要求較低，實施也比較簡單。更為重要的是，如果有某種與調查指標相關的輔助變量可供使用，總體單元按輔助變量的大小順序排隊的話，使用系統(tǒng)抽樣可以大大提高估計精度。

2.1.3分層抽樣

1．分層抽樣（類型抽樣）：

先將總體中的所有單位按照某種特征或標志（性別、年齡等）劃分成若干類型或層次，然后再在各個類型或層次中采用簡單隨機抽樣或系用抽樣的辦法抽取一個子樣本，最后，將這些子樣本合起來構成總體的樣本。

兩種方法：

1．先以分層變量將總體劃分為若干層，再按照各層在總體中的比例從各層中抽取。

2．先以分層變量將總體劃分為若干層，再將各層中的元素按分層的順序整齊排列，最后用系統(tǒng)抽樣的方法抽取樣本。

2．分層抽樣是把異質性較強的總體分成一個個同質性較強的子總體，再抽取不同的子總體中的樣本分別代表該子總體，所有的樣本進而代表總體。

分層標準：

（1）以調查所要分析和研究的主要變量或相關的變量作為分層的標準。

（2）以保證各層內部同質性強、各層之間異質性強、突出總體內在結構的變量作為分層變量。（3）以那些有明顯分層區(qū)分的變量作為分層變量。3．分層的比例問題：

（1）按比例分層抽樣：根據各種類型或層次中的單位數目占總體單位數目的比重來抽取子樣本的方法。

（2）不按比例分層抽樣：有的層次在總體中的比重太小，其樣本量就會非常少，此時采用該方法，主要是便于對不同層次的子總體進行專門研究或進行相互比較。如果要用樣本資料推斷總體時，則需要先對各層的數據資料進行加權處理，調整樣本中各層的比例，使數據恢復到總體中各層實際的比例結構。

2.2.2用樣本的數字特征估計總體的數字特征

1、本均值：xx1x2xnn2

(x1x)2(x2x)2(xnx)22、．樣本標準差：ssn

3．用樣本估計總體時，如果抽樣的方法比較合理，那么樣本可以反映總體的信息，但從樣本得到的信息會有偏差。在隨機抽樣中，這種偏差是不可避免的。

雖然我們用樣本數據得到的分布、均值和標準差并不是總體的真正的分布、均值和標準差，而只是一個估計，但這種估計是合理的，特別是當樣本量很大時，它們確實反映了總體的信息。

4．（1）如果把一組數據中的每一個數據都加上或減去同一個共同的常數，標準差不變（2）如果把一組數據中的每一個數據乘以一個共同的常數k，標準差變?yōu)樵瓉淼膋倍（3）一組數據中的最大值和最小值對標準差的影響，區(qū)間(x3s,x3s)的應用；“去掉一個最高分，去掉一個最低分”中的科學道理

2.3.2兩個變量的線性相關

1、概念:

（1）回歸直線方程（2）回歸系數2．最小二乘法

3．直線回歸方程的應用

（1）描述兩變量之間的依存關系；利用直線回歸方程即可定量描述兩個變量間依存的數量關系

（2）利用回歸方程進行預測；把預報因子（即自變量x）代入回歸方程對預報量（即因變量Y）進行估計，即可

得到個體Y值的容許區(qū)間。

（3）利用回歸方程進行統(tǒng)計控制規(guī)定Y值的變化，通過控制x的范圍來實現統(tǒng)計控制的目標。如已經得到了空

氣中NO2的濃度和汽車流量間的回歸方程，即可通過控制汽車流量來控制空氣中NO2的濃度。4．應用直線回歸的注意事項

（1）做回歸分析要有實際意義；（2）回歸分析前,最好先作出散點圖；（3）回歸直線不要外延。

第三章概率

3.1.13.1.2隨機事件的概率及概率的意義

1、基本概念：

（1）必然事件：在條件S下，一定會發(fā)生的事件，叫相對于條件S的必然事件；（2）不可能事件：在條件S下，一定不會發(fā)生的事件，叫相對于條件S的不可能事件；（3）確定事件：必然事件和不可能事件統(tǒng)稱為相對于條件S的確定事件；

（4）隨機事件：在條件S下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，叫相對于條件S的隨機事件；

（5）頻數與頻率：在相同的條件S下重復n次試驗，觀察某一事件A是否出現，稱n次試驗中事件A出現的次數nA

nA為事件A出現的頻數；稱事件A出現的比例fn(A)=n為事件A出現的概率：對于給定的隨機事件A，如果隨著試驗次

數的增加，事件A發(fā)生的頻率fn(A)穩(wěn)定在某個常數上，把這個常數記作P（A），稱為事件A的概率。

nA（6）頻率與概率的區(qū)別與聯系：隨機事件的頻率，指此事件發(fā)生的次數nA與試驗總次數n的比值n，它具有一定的

穩(wěn)定性，總在某個常數附近擺動，且隨著試驗次數的不斷增多，這種擺動幅度越來越小。我們把這個常數叫做隨機事件的概率，概率從數量上反映了隨機事件發(fā)生的可能性的大小。頻率在大量重復試驗的前提下可以近似地作為這個事件的概率

3.1.3概率的基本性質

1、基本概念：

（1）事件的包含、并事件、交事件、相等事件

（2）若A∩B為不可能事件，即A∩B=ф，那么稱事件A與事件B互斥；

（3）若A∩B為不可能事件，A∪B為必然事件，那么稱事件A與事件B互為對立事件；

（4）當事件A與B互斥時，滿足加法公式：P(A∪B)=P(A)+P(B)；若事件A與B為對立事件，則A∪B為必然事件，所以P(A∪B)=P(A)+P(B)=1，于是有P(A)=1P(B)2、概率的基本性質：

1）必然事件概率為1，不可能事件概率為0，因此0≤P(A)≤1；2）當事件A與B互斥時，滿足加法公式：P(A∪B)=P(A)+P(B)；

3）若事件A與B為對立事件，則A∪B為必然事件，所以P(A∪B)=P(A)+P(B)=1，于是有P(A)=1P(B)；4）互斥事件與對立事件的區(qū)別與聯系，互斥事件是指事件A與事件B在一次試驗中不會同時發(fā)生，其具體包括三種不

同的情形：（1）事件A發(fā)生且事件B不發(fā)生；（2）事件A不發(fā)生且事件B發(fā)生；（3）事件A與事件B同時不發(fā)生，而對立事件是指事件A與事件B有且僅有一個發(fā)生，其包括兩種情形；（1）事件A發(fā)生B不發(fā)生；（2）事件B發(fā)生事件A不發(fā)生，對立事件互斥事件的特殊情形。

3.2.13.2.2古典概型及隨機數的產生

1、（1）古典概型的使用條件：試驗結果的有限性和所有結果的等可能性。（2）古典概型的解題步驟；①求出總的基本事件數；

②求出事件A所包含的基本事件數，然后利用公式P（A）=

A包含的基本事件數總的基本事件個數

3.3.13.3.2幾何概型及均勻隨機數的產生

1、基本概念：

（1）幾何概率模型：如果每個事件發(fā)生的概率只與構成該事件區(qū)域的長度（面積或體積）成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型；（2）幾何概型的概率公式：

構成事件A的區(qū)域長度（面積或體積）的區(qū)域長度（面積或體積）P（A）=試驗的全部結果所構成；

（2）幾何概型的特點：1）試驗中所有可能出現的結果（基本事件）有無限多個；2）每個基本事件出現的可能性相

等．

高中數學必修4知識點

第一章三角函數

正角:按逆時針方向旋轉形成的角1、任意角負角:按順時針方向旋轉形成的角

零角:不作任何旋轉形成的角2、角的頂點與原點重合，角的始邊與x軸的非負半軸重合，終邊落在第幾象限，則稱為第幾象限角．

k360k36090,k

第二象限角的集合為k36090k360180,k

第三象限角的集合為k360180k360270,k第四象限角的集合為k360270k360360,k終邊在x軸上的角的集合為k180,k

第一象限角的集合為

終邊在

y軸上的角的集合為k18090,k

k90,k

3、與角終邊相同的角的集合為k360,k

終邊在坐標軸上的角的集合為

4、長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度．

5、半徑為r的圓的圓心角所對弧的長為l，則角的弧度數的絕對值是

lr．

1806、弧度制與角度制的換算公式：2360，1，157.3．1807、若扇形的圓心角為為弧度制，半徑為r，弧長為l，周長為C，面積為S，則lr，C2rl，

x,y，它與原點的距離是rr11Slrr2．

228、設是一個任意大小的角，的終邊上任意一點的坐標是則sinx2y20yPTOMA，

yxy，cos，tanx0．rrx9、三角函數在各象限的符號：第一象限全為正，第二象限正弦為正，第三象限正切為正，第四象限余弦為正．10、三角函數線：sin11

、角

，cos，tan．

角函數

2x三的基本關系：；1sin2cos212sintancossin1cos2,cos21sin2sinsintancos,cos．

tan12、函數的誘導公式：

1sin2ksin，cos2kcos，tan2ktank．2sinsin，coscos，tantan．3sinsin，coscos，tantan．4sinsin，coscos，tantan．

口訣：函數名稱不變，符號看象限．

5sincos，cossin．6sincos，cossin．2222口訣：正弦與余弦互換，符號看象限．13、①的圖象上所有點向左（右）平移

個單位長度，得到函數

ysinx的圖象；再將函數ysinx的圖象上所有點的橫坐標伸長（縮短）到原來的

1倍（縱坐標不變），得到函數

ysinx的圖象；再將函數

（縮短）到原來的倍（橫坐標不變），得到函數ysinxysinx的圖象上所有點的縱坐標伸長的圖象．

②數

ysinx的圖象上所有點的橫坐標伸長（縮短）到原來的

ysinx1倍（縱坐標不變），得到函數

ysinx的圖象；再將函數的圖象上所有點向左（右）平移

個單位長度，得到函數

ysinx的圖象；再將函數ysinx的圖象上所有點的縱坐標伸長（縮短）到原來的倍（橫坐

標不變），得到函數14、函數

ysinx的圖象．

ysinx0,0的性質：

2①振幅：；②周期：函數

；③頻率：

f12；④相位：x；⑤初相：．

；當

ysinx，當xx1時，取得最小值為ymin1ymaxy2xx2時，取得最大值為ymax，則

ymaxymin，min，12x2x1x1x2．215、正弦函數、余弦函數和正切函數的圖象與性質：

性質函數ysinxycosxytanx圖象定義域RRxxk,k2R值域1,1當1,1當x2kx2k2k時，2k時，既無最大值也無最小值最值ymax1；當x2kymax1；當x2kk時，ymin1．周期性奇偶性k時，ymin1．22奇函數奇函數偶函數在2k,2k22在k上是增函數；在單調性2k,2kk上是2k,2k在k增函數；在2,k232k,2k22k上是減函數．k上是增函數．k上是減函數．對稱中心對稱性對稱軸xk,0kk2對稱中心k對稱軸xkk,0k2對稱中心無對稱軸k,0k2k第二章平面向量16、向量：既有大小，又有方向的量．數量：只有大小，沒有方向的量．有向線段的三要素：起點、方向、長度．零向量：長度為0的向量．單位向量：長度等于1個單位的向量．

平行向量（共線向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量與任一向量平行．相等向量：長度相等且方向相同的向量．17、向量加法運算：

三角形法則的特點：首尾相連．平行四邊形法則的特點：共起點．三角形不等式：

ababab．

運算性質：①交換律：abba；

②結合律：

abcabc；③a00aa．

Ca

坐標運算：設ax1,y1，bx2,y2，則abx1x2,y1y2．

18、向量減法運算：

三角形法則的特點：共起點，連終點，方向指向被減向量．

b

坐標運算：設ax1,y1，bx2,y2，則abx1x2,y1y2．設、兩點的坐標分別為x1,y1，x2,y2，則x1x2,y1y2．

19、向量數乘運算：

實數與向量a的積是一個向量的運算叫做向量的數乘，記作a．①

abCC

aa；

②當0時，a的方向與a的方向相同；當0時，a的方向與a的方向相反；當0時，a0．

運算律：①aa；②aaa；③abab．

坐標運算：設ax,y，則ax,yx,y．

20、向量共線定理：向量aa0與b共線，當且僅當有唯一一個實數，使ba．

設ax1,y1，bx2,y2，其中b0，則當且僅當x1y2x2y10時，向量a、bb0共線．

21、平面向量基本定理：如果e1、e2是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任意向量a，有且只有

一對實數1、2，使a1e12e2．（不共線的向量e1、e2作為這一平面內所有向量的一組基底）

22、分點坐標公式：設點是線段12上的一點，1、2的坐標分別是x1,y1，x2,y2，當12時，

點的坐標是x1x2y1y2時，就為中點公式。）（當1,．

1123、平面向量的數量積：

ababcosa0,b0,0180．零向量與任一向量的數量積為0．

；當a與b反向時，

性質：設a和b都是非零向量，則①abab0．②當a與b同向時，abababab22；aaaa或aaa．③

abab．

運算律：①abba；②ababab；③abcacbc．

坐標運算：設兩個非零向量ax1,y1，bx2,y2，則abx1x2y1y2．

若

ax,y，則

2ax2y21，或

ax2y2．設

ax1,y1，

bx2,y2，則

ab1x2xa．y20y，

設、b都是非零向量，ax1,y1x1x2y1y2abcos．

2222abx1y1x2y2bx2,y2，

是

a與

b的夾角，則

第三章三角恒等變換

24、兩角和與差的正弦、余弦和正切公式：cossincoscossinsin；coscoscossinsin；

sincoscossin；sinsincoscossin；tantan（tantantan1tantan）；

1tantantantantantan（tantantan1tantan）．

1tantan25、二倍角的正弦、余弦和正切公式：sin2cos22sincos．1sin2sin2cos22sincos(sincos)2

cos2sin22cos2112sin2

升冪公式1cos2cos222cos211cos22，sin降冪公式cos22226、

,1cos2sin2．

萬能公式:αα2tan1tan22;cosα2sinααα1tan21tan2222tantan2．21tan27、

半角公式:α1cosαα1cosαcos;sin2222

α1cosαsinα1cosαtan21cosα1cosαsinα

（后兩個不用判斷符號，更加好用）

yAsin(x)B形式。

28、合一變形把兩個三角函數的和或差化為“一個三角函數，一個角，一次方”的

sincos22sin，其中tan算，化簡的方法和技能．常用的數學思想方法技巧如下：

．29、三角變換是運算化簡的過程中運用較多的變換，提高三角變換能力，要學會創(chuàng)設條件，靈活運用三角公式，掌握運（1）角的變換：在三角化簡，求值，證明中，表達式中往往出現較多的相異角，可根據角與角之間的和差，倍半，互

補，互余的關系，運用角的變換，溝通條件與結論中角的差異，使問題獲解，對角的變形如：①2是的二倍；4是2的二倍；是

2的二倍；

2是

4的二倍；

30o②15453060452ooooo；問：sin12；cos12；

③()；④

42(4)；

⑤2()()(4)(4)；等等

（2）函數名稱變換：三角變形中，常常需要變函數名稱為同名函數。如在三角函數中正余弦是基礎，通�；�切為弦，

變異名為同名。

（3）常數代換：在三角函數運算，求值，證明中，有時需要將常數轉化為三角函數值，例如常數“1”的代換變形有：

1sin2cos2tancotsin90otan45o

（4）冪的變換：降冪是三角變換時常用方法，對次數較高的三角函數式，一般采用降冪處理的方法。常用降冪公式

有：；。降冪并非絕對，有時需要升冪，如對無理式為有理式，常用升冪公式有：；；

（5）公式變形：三角公式是變換的依據，應熟練掌握三角公式的順用，逆用及變形應用。如：

1cos常用升冪化

1tan_______________1tan；

1tan______________1tan；

tantan____________；1tantan___________；tantan____________；1tantan___________；2tan；1tan2；

tan20otan40o3tan20otan40o；

sincos=；

asinbcos=；（其中tan；）

1cos；1cos；

（6）三角函數式的化簡運算通常從：“角、名、形、冪”四方面入手；

基本規(guī)則是：見切化弦，異角化同角，復角化單角，異名化同名，高次化低次，無理化有理，特殊值與特殊角的

三角函數互化。

如：sin50o(13tan10o)；

tancot。

高中數學必修5知識點第一章解三角形

（一）解三角形：

1、正弦定理：在C中，a、b、c分別為角、、C的對邊，，則有(R為C的外接圓的半徑)2、正弦定理的變形公式：①a②sinabc2RsinsinsinC2Rsin，b2Rsin，c2RsinC；

abc；③a:b:csin:sin:sinC；

，sin，sinC2R2R2RC3、三角形面積公式：S111bcsinabsinCacsin．2222222b2c22bccos，推論：cosbca4、余弦定理：在C中，有a2bc

1.數列的有關概念：

第二章數列

（1）數列：按照一定次序排列的一列數。數列是有序的。數列是定義在自然數N*或它的有限子集{1,2,3,,n}

上的函數。

（2）通項公式：數列的第n項an與n之間的函數關系用一個公式來表示，這個公式即是該數列的通項公式。

如:

an2n21。

（3）遞推公式：已知數列{an}的第1項（或前幾項），且任一項an與他的前一項an-1（或前幾項）可以用一個公

式來表示，這個公式即是該數列的遞推公式。如:

a11,a22,anan1an2(n2)。

2．數列的表示方法：

（1）列舉法：如1，3，5，7，9，…（2）圖象法：用（n,an）孤立點表示。（3）解析法：用通項公式表示。（4）遞推法：用遞推公式表示。

3．數列的分類：

有窮數列按項數無窮數列4．數列{an}及前n項和之間的關系:

常數列:an2n遞增數列:an2n1,an2

按單調性2遞減數列:ann1擺動數列:a(1)n2nnS1,(n1)Sna1a2a3ananSnSn1,(n2)5．等差數列與等比數列對比小結：一、定義等差數列等比數列anan1d(n2)1．ana1n1danq(n2)an11．ana1qn1二、公式anamnmd,nm2．Snanamqnm,(nm)2．nn1na1anna1d22na1q1Sna11qnaaqn1q11q1q21．a,b,c成等差2bac，稱b為a與c的等差中項三、性質2．若mn1．a,b,c成等比bac，稱b為a與c的等比中項*pq（m、n、p、q*），2．若mnpq（m、n、p、q），則amanapaq則amanapaq3．Sn，S2nSn，S3nS2n成等差數列3．Sn，S2nSn，S3nS2n成等比數列第三章不等式

1、ab0ab；ab0ab；ab0ab．

2、不等式的性質：①abba；②ab,bcac；③abacbc；④ab,c0acbc，ab,c0acbc；⑤ab,cdacbd；

nn⑥ab0,cd0acbd；⑦ab0abn,n1；

⑧ab0nanbn,n1．

小結：代數式的大小比較或證明通常用作差比較法：作差、化積（商）、判斷、結論。在字母比較的選擇或填空題中，常采用特值法驗證。3、一元二次不等式解法：（1）化成標準式：ax2（2）求出對應的一元二次方程的根；bxc0,(a0)；

37

（3）畫出對應的二次函數的圖象；（4）根據不等號方向取出相應的解集。線性規(guī)劃問題：

1．了解線性約束條件、目標函數、可行域、可行解、最優(yōu)解

2．線性規(guī)劃問題：求線性目標函數在線性約束條件下的最大值或最小值問題．3．解線性規(guī)劃實際問題的步驟：

（1）將數據列成表格；（2）列出約束條件與目標函數；（3）根據求最值方法：①畫：畫可行域；②移：移與目標函數一致的平行直線；③求：求最值點坐標；④答；求最值；（4）驗證。兩類主要的目標函數的幾何意義:①zaxby-----直線的截距；②z(xa)2(yb)2-----兩點的距離或圓的半徑；

0，b0，則ab2ab，即abab．

2ab；aba0,b0224、均值定理：若aab稱為正數a、b的算術平均數，ab稱為正數a、b的幾何平均數．25、均值定理的應用：設x、y都為正數，則有

若x若xyys（和為定值），則當xy時，積xy取得最大值

s2．4p（積為定值），則當xy時，和xy取得最小值2p．

注意：在應用的時候，必須注意“一正二定三等”三個條件同時成立。

《201*年高考數學總復習系列》高中數學選修修1－1知識點

第一章：命題與邏輯結構知識點：

1、命題：用語言、符號或式子表達的，可以判斷真假的陳述句.真命題：判斷為真的語句.假命題：判斷為假的語句.2、“若p，則q”形式的命題中的p稱為命題的條件，q稱為命題的結論.

3、對于兩個命題，如果一個命題的條件和結論分別是另一個命題的結論和條件，則這兩個命題稱為互逆命題.其中一個命題稱為原命題，另一個稱為原命題的逆命題.若原命題為“若p，則q”，它的逆命題為“若q，則p”.

4、對于兩個命題，如果一個命題的條件和結論恰好是另一個命題的條件的否定和結論的否定，則這兩個命題稱為互否命題.中一個命題稱為原命題，另一個稱為原命題的否命題.若原命題為“若p，則q”，則它的否命題為“若p，則q”.

5、對于兩個命題，如果一個命題的條件和結論恰好是另一個命題的結論的否定和條件的否定，則這兩個命題稱為互為逆否命題.其中一個命題稱為原命題，另一個稱為原命題的逆否命題.若原命題為“若p，則q”，則它的逆否命題為“若q，則p”.6、四種命題的真假性：原命題逆命題否命題逆否命題真真真真真假假真假真真真假假假假四種命題的真假性之間的關系：1兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；

2兩個命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關系．

7、若pq，則p是q的充分條件，q是p的必要條件．

若pq，則p是q的充要條件（充分必要條件）．

8、用聯結詞“且”把命題p和命題q聯結起來，得到一個新命題，記作pq．

當p、q都是真命題時，pq是真命題；當p、q兩個命題中有一個命題是假命題時，pq是假命題．

用聯結詞“或”把命題p和命題q聯結起來，得到一個新命題，記作pq．當p、q兩個命題中有一個命題是真命題時，pq是真命題；當p、q兩個命題都是假命題時，pq是假命題．

對一個命題p全盤否定，得到一個新命題，記作p．

若p是真命題，則p必是假命題；若p是假命題，則p必是真命題．

9、短語“對所有的”、“對任意一個”在邏輯中通常稱為全稱量詞，用“”表示．含有全稱量詞的命題稱為全稱命題．

全稱命題“對中任意一個x，有px成立”，記作“x，px”．短語“存在一個”、“至少有一個”在邏輯中通常稱為存在量詞，用“”表示．含有存在量詞的命題稱為特稱命題．

特稱命題“存在中的一個x，使px成立”，記作“x，px”．

10、全稱命題p：x，px，它的否定p：x，px．全稱命題的否定是特稱命題．

考點：1、充要條件的判定2、命題之間的關系

★1．命題“對任意的xR，xx1≤0”的否定是（）A．不存在xR，xx1≤0C．存在xR，xx10

323232B．存在xR，xx1≤0D．對任意的xR，xx10

3232

★2、給出命題：若函數y=f(x)是冪函數，則函數y=f(x)的圖象不過第四象限，在它的逆命題、否命題、逆否命題三個命題中，真命題的個數是(A)3

(B)2

(C)1

(D)0

★3.已知α，β表示兩個不同的平面，m為平面α內的一條直線，則“”是“m”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

第二章：圓錐曲線知識點：

1、平面內與兩個定點F1，F2的距離之和等于常數（大于F1F2）的點的軌跡稱為橢圓．這兩個定

點稱為橢圓的焦點，兩焦點的距離稱為橢圓的焦距．2、橢圓的幾何性質：焦點的位置焦點在x軸上焦點在y軸上圖形39

標準方程x2y221ab02abaxa且byby2x221ab02abbxb且aya范圍1a,0、2a,0頂點10,a、20,a1b,0、2b,0F10,c、F20,c10,b、20,b軸長焦點焦距對稱性離心率短軸的長2b長軸的長2aF1c,0、F2c,0F1F22cc2a2b2關于x軸、y軸、原點對稱cb2e120e1aaa2xca2yc準線方程3、設是橢圓上任一點，點到F1對應準線的距離為d1，點到F2對應準線的距離為d2，則

F1d1F2d2e．

4、平面內與兩個定點F（小于F的點的軌跡稱為雙曲線．這1，F2的距離之差的絕對值等于常數1F2）兩個定點稱為雙曲線的焦點，兩焦點的距離稱為雙曲線的焦距．5、雙曲線的幾何性質：焦點的位置焦點在x軸上焦點在y軸上圖形標準方程x2y221a0,b02abxa或xa，yRy2x221a0,b02abya或ya，xR范圍頂點軸長1a,0、2a,010,a、20,a虛軸的長2b實軸的長2a40

焦點焦距對稱性離心率F1c,0、F2c,0F10,c、F20,cF1F22cc2a2b2關于x軸、y軸對稱，關于原點中心對稱cb2e12e1aaa2xcybxa準線方程a2ycyaxb漸近線方程6、實軸和虛軸等長的雙曲線稱為等軸雙曲線．

7、設是雙曲線上任一點，點到F1對應準線的距離為d1，點到F2對應準線的距離為d2，則

F1d1F2d2e．

8、平面內與一個定點F和一條定直線l的距離相等的點的軌跡稱為拋物線．定點F稱為拋物線的焦點，定直線l稱為拋物線的準線．9、拋物線的幾何性質：y22px標準方程y22pxx22pyx22pyp0圖形頂點p0p0p00,0x軸pF,02xp2y軸對稱軸焦點pF,02xp2pF0,2yp2pF0,2yp2準線方程離心率e1范圍x0x041

y0y10、過拋物線的焦點作垂直于對稱軸且交拋物線于、兩點的線段，稱為拋物線的“通徑”，即

2p．

考點：1、圓錐曲線方程的求解

2、直線與圓錐曲線綜合性問題3、圓錐曲線的離心率問題

典型例題：★★1．設O是坐標原點，F是拋物線y22px(p0)的焦點，A是拋物線上的一點，

FA與x軸正向的夾角為60，則OA為（）

A．

21p4B．

21p2C．

13p6

D．

13p36★★2．與直線xy20和曲線x2y212x12y540都相切的半徑最小的圓的標準方程

是．

★★★3．（本小題滿分14分）已知橢圓C的中心在坐標原點，焦點在x軸上，橢圓C上的點到焦點距離的最大值為3，最小值為

1．

（1）求橢圓C的標準方程；

（2）若直線l:ykxm與橢圓C相交于A，B兩點（A，B不是左右頂點），且以AB為直徑的圖過橢圓C的右頂點．求證：直線l過定點，并求出該定點的坐標．

第三章：導數及其應用知識點：

1、若某個問題中的函數關系用fx表示，問題中的變化率用式子

fx2fx1

x2x1fx2fx1f表示，則式子稱為函數fx從x1到x2的平均變化率．xx2x1fx2fx1f，則稱它為函數yfx在limx0xx2x12、函數fx在xx0處的瞬時變化率是limx0xx0處的導數，記作fx0或yxx0，即

fx0limfx0xfx0．

xx03、函數yfx在點x0處的導數的幾何意義是曲線yfx在點x0,fx0處的切線的斜率．曲線yfx在點x0,fx0處的切線的斜率是fx0，切線的方程為

若函數在x0處的導數不存在，則說明斜率不存在，切線的方程為xx0．yfx0fx0xx0．

4、若當x變化時，fx是x的函數，則稱它為fx的導函數（導數），記作fx或y，即

fxylimx0fxxfx．

x5、基本初等函數的導數公式：

1若fxc，則fx0；2若fxxnxQ*，則fxnxn1；3若fxsinx，則fxcosx；4若fxcosx，則fxsinx；5若fxax，則fxaxlna；6若fxex，則fxex；7若fxlogax，則fxxlna；8若fxlnx，則fxx．

6、導數運算法則：

11fxgx；fxgx12fxgxfxgxfxgx；

fxfxgxfxgxgx0．3gx2gx7、對于兩個函數yfu和ugx，若通過變量u，y可以表示成x的函數，則稱這個函數為函數yfu和ufx的復合函數，記作yfgx．

復合函數yfgx的導數與函數yfu，ugx的導數間的關系是

yxyuux．

8、在某個區(qū)間a,b內，若fx0，則函數yfx在這個區(qū)間內單調遞增；若fx0，則函數yfx在這個區(qū)間內單調遞減．

9、點a稱為函數yfx的極小值點，fa稱為函數yfx的極小值；點b稱為函數yfx的極大值點，fb稱為函數yfx的極大值．極小值點、極大值點統(tǒng)稱為極值點，極大值和極小值統(tǒng)稱為極值．

10、求函數yfx的極值的方法是：解方程fx0．當fx00時：

1如果在x0附近的左側fx0，右側fx0，那么fx0是極大值；2如果在x0附近的左側fx0，右側fx0，那么fx0是極小值．

11、求函數yfx在a,b上的最大值與最小值的步驟是：

1求函數yfx在a,b內的極值；

2將函數yfx的各極值與端點處的函數值fa，fb比較，其中最大的一個是最大值，最小

的一個是最小值．

考點：1、導數在切線方程中的應用

2、導數在單調性中的應用3、導數在極值、最值中的應用4、導數在恒成立問題中的應用

典型例題

32f(x)xax3x9，已知f(x)在x3時取得極值，則a=（）★1.（05全國卷Ⅰ）函數

A．2B.3C.4D.5

★2．函數y2x33x212x5在[0,3]上的最大值與最小值分別是（）A.5,-15B.5,4C.-4,-15D.5,-16★★★3.（根據04年天津卷文21改編）已知函數時f(x)取得極值－2.

（1）試求a、c、d的值；（2）求f(x)的單調區(qū)間和極大值；

2x132f(x)xeaxbx★★★4.（根據山東201*年文21改編）設函數，已知x2和x1為f(x)f(x)ax3cxd(a0)是R上的奇函數，當x1的極值點。（1）求a,b的值；（2）討論f(x)的單調性；

高中數學選修1-2知識點總結

第一章統(tǒng)計案例

第一課時1.1回歸分析的基本思想及其初步應用（一）

教學要求：通過典型案例的探究，進一步了解回歸分析的基本思想、方法及初步應用.

教學重點：了解線性回歸模型與函數模型的差異，了解判斷刻畫模型擬合效果的方法－相關指數和殘差分析.

教學難點：解釋殘差變量的含義，了解偏差平方和分解的思想.教學過程：一、復習準備：

1.提問：“名師出高徒”這句彥語的意思是什么？有名氣的老師就一定能教出厲害的學生嗎？這兩者之

間是否有關？

2.復習：函數關系是一種確定性關系，而相關關系是一種非確定性關系.回歸分析是對具有相關關系的兩個變量進行統(tǒng)計分析的一種常用方法，其步驟：收集數據作散點圖求回歸直線方程利用方程進行預報.二、講授新課：1.教學例題：

①例1從某大學中隨機選取8名女大學生，其身高和體重數據如下表所示：編號身高/cm1165216557315750417054517564616561715543817059體重/kg48求根據一名女大學生的身高預報她的體重的回歸方程，并預報一名身高為172cm的女大學生的體重.（分析思路教師演示學生整理）

80

155160165身高/cm170175180體重/kg6040201*50

第一步：作散點圖第二步：求回歸方程第三步：代值計算

②提問：身高為172cm的女大學生的體重一定是60.316kg嗎？不一定，但一般可以認為她的體重在60.316kg左右.③解釋線性回歸模型與一次函數的不同

事實上，觀察上述散點圖，我們可以發(fā)現女大學生的體重y和身高x之間的關系并不能用一次函數

ybxa來嚴格刻畫（因為所有的樣本點不共線，所以線性模型只能近似地刻畫身高和體重的關系）.

在數據表中身高為165cm的3名女大學生的體重分別為48kg、57kg和61kg，如果能用一次函數來描述體重與身高的關系，那么身高為165cm的3名女在學生的體重應相同.這就說明體重不僅受身高的影響還受其他因素的影響，把這種影響的結果e（即殘差變量或隨機變量）引入到線性函數模型中，得到線性回歸模型ybxae，其中殘差變量e中包含體重不能由身高的線性函數解釋的所有部分.當殘差變量恒等于0時，線性回歸模型就變成一次函數模型.因此，一次函數模型是線性回歸模型的特殊形式，線性回歸模型是一次函數模型的一般形式.

2.相關系數：相關系數的絕對值越接近于1，兩個變量的線性相關關系越強，它們的散點圖越接近一條直線，這時用線性回歸模型擬合這組數據就越好，此時建立的線性回歸模型是有意義.3.小結：求線性回歸方程的步驟、線性回歸模型與一次函數的不同.

第二課時1.1回歸分析的基本思想及其初步應用（二）

教學要求：通過典型案例的探究，進一步了解回歸分析的基本思想、方法及初步應用.教學重點：了解評價回歸效果的三個統(tǒng)計量：總偏差平方和、殘差平方和、回歸平方和.教學難點：了解評價回歸效果的三個統(tǒng)計量：總偏差平方和、殘差平方和、回歸平方和.教學過程：一、復習準備：

1．由例1知，預報變量（體重）的值受解釋變量（身高）或隨機誤差的影響.

2．為了刻畫預報變量（體重）的變化在多大程度上與解釋變量（身高）有關？在多大程度上與隨機誤差有關？我們引入了評價回歸效果的三個統(tǒng)計量：總偏差平方和、殘差平方和、回歸平方和.二、講授新課：

1.教學總偏差平方和、殘差平方和、回歸平方和：

（1）總偏差平方和：所有單個樣本值與樣本均值差的平方和，即SST(yiy)2.

i1nyi)2.殘差平方和：回歸值與樣本值差的平方和，即SSE(yii1nyiy)2.回歸平方和：相應回歸值與樣本均值差的平方和，即SSR(i1n（2）學習要領：①注意yi、yi、y的區(qū)別；②預報變量的變化程度可以分解為由解釋變量引起的變化

yi)2(yiy)2；③當總偏差平方和相對程度與殘差變量的變化程度之和，即(yiy)(yi2i1i1i1nnn固定時，殘差平方和越小，則回歸平方和越大，此時模型的擬合效果越好；④對于多個不同的模型，我

們還可以引入相關指數R21(yi1ni1niyi)2來刻畫回歸的效果，它表示解釋變量對預報變量變化的貢

(y2.教學例題：

例2關于x與Y有如下數據：xy2304iy)2獻率.R2的值越大，說明殘差平方和越小，也就是說模型擬合的效果越好.

56065087040為了對x、Y兩個變量進行統(tǒng)計分析，現有以下兩種線性模型：y6.5x17.5，y7x17，試比較哪一個模型擬合的效果更好.

分析：既可分別求出兩種模型下的總偏差平方和、殘差平方和、回歸平方和，也可分別求出兩種模型下的相關指數，然后再進行比較，從而得出結論.（答案：R121yi)2(yi5(yy)ii1i15215510.845，R2211000y)(yii52(yy)ii1i15121800.82，84.5%＞82%，所以甲選用的模型1000擬合效果較好.）

3.小結：分清總偏差平方和、殘差平方和、回歸平方和，初步了解如何評價兩個不同模型擬合效果的好壞.

第三課時1.1回歸分析的基本思想及其初步應用（三）

教學要求：通過典型案例的探究，進一步了解回歸分析的基本思想、方法及初步應用.

教學重點：通過探究使學生體會有些非線性模型通過變換可以轉化為線性回歸模型，了解在解決實際問題的過程中尋找更好的模型的方法.

教學難點：了解常用函數的圖象特點，選擇不同的模型建模，并通過比較相關指數對不同的模型進行比較.教學過程：一、復習準備：

1.給出例3：一只紅鈴蟲的產卵數y和溫度x有關，現收集了7組觀測數據列于下表中，試建立y與x之間的回歸方程.

溫度x/C2123112521272429663211535325產卵數y/個7（學生描述步驟，教師演示）2.討論：觀察右圖中的散點圖，發(fā)現樣本點并沒有分布在某個帶狀區(qū)域內，即兩個變量不呈線性相關關系，所以不能直接用線性回歸方程來建立兩個變量之間的關系.

二、講授新課：

1.探究非線性回歸方程的確定：

①如果散點圖中的點分布在一個直線狀帶形區(qū)域，可以

產卵數350300250201*5010050001020溫度3040選線性回歸模型來建模；如果散點圖中的點分布在一個曲線狀帶形區(qū)域，就需選擇非線性回歸模型來建模.

②根據已有的函數知識，可以發(fā)現樣本點分布在某一條指數函數曲線y=C1eC2x的周圍（其中c1,c2是待定的參數），故可用指數函數模型來擬合這兩個變量.

③在上式兩邊取對數，得lnyc2xlnc1，再令zlny，則zc2xlnc1，而z與x間的關系如下：觀察z與x的散點圖，可以發(fā)現變換后樣本點分布在一條直

7Xz

47

654321001020x3040212325272932351.9462.3983.0453.1784.1904.7455.784z線的附近，因此可以用線性回歸方程來擬合.

0.272x3.843，因此紅鈴蟲④利用計算器算得a3.843,b0.272，z與x間的線性回歸方程為z的產卵數對溫度的非線性回歸方程為ye0.272x3.843.

⑤利用回歸方程探究非線性回歸問題，可按“作散點圖建模確定方程”這三個步驟進行.其關鍵在于如何通過適當的變換，將非線性回歸問題轉化成線性回歸問題.2.小結：用回歸方程探究非線性回歸問題的方法、步驟.三、鞏固練習：

為了研究某種細菌隨時間x變化，繁殖的個數，收集數據如下：

天數x/天12123254495956190繁殖個數y/個6

（1）用天數作解釋變量，繁殖個數作預報變量，作出這些數據的散點圖；

=e0.69x1.112.）（2）試求出預報變量對解釋變量的回歸方程.（答案：所求非線性回歸方程為y第四課時1.1回歸分析的基本思想及其初步應用（四）

教學要求：通過典型案例的探究，進一步了解回歸分析的基本思想、方法及初步應用.

教學重點：通過探究使學生體會有些非線性模型通過變換可以轉化為線性回歸模型，了解在解決實際問題的過程中尋找更好的模型的方法，了解可用殘差分析的方法，比較兩種模型的擬合效果.

教學難點：了解常用函數的圖象特點，選擇不同的模型建模，并通過比較相關指數對不同的模型進行比較.教學過程：一、復習準備：

1.提問：在例3中，觀察散點圖，我們選擇用指數函數模型來擬合紅鈴蟲的產卵數y和溫度x間的關系，還可用其它函數模型來擬合嗎？

400300201*0000500t10001500

t441y752962511217298411024122524661153252.討論：能用二次函數模型yc3x2c4來擬合上述兩個變量間的關系嗎？（令tx2，則yc3tc4，此時y與t間的關系如下：

觀察y與t的散點圖，可以發(fā)現樣本點并不分布在一條直線的周圍，因此不宜用線性回歸方程來擬合它，即不宜用二次曲線yc3x2c4來擬合y與x之間的關系.）小結：也就是說，我們可以通過觀察變換后的散點圖來判斷能否用此種模型來擬合.事實上，除了觀察散點圖以外，我們也可先求出函數模型，

48

y然后利用殘差分析的方法來比較模型的好壞.二、講授新課：1.教學殘差分析：

y①殘差：樣本值與回歸值的差叫殘差，即eyi.ii②殘差分析：通過殘差來判斷模型擬合的效果，判斷原始數據中是否存在可疑數據，這方面的分析工作稱為殘差分析.

③殘差圖：以殘差為橫坐標，以樣本編號，或身高數據，或體重估計值等為橫坐標，作出的圖形稱為殘差圖.觀察殘差圖，如果殘差點比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，說明選用的模型比較合適，這樣的帶狀區(qū)域的寬度越窄，模型擬合精度越高，回歸方程的預報精度越高.2.例3中的殘差分析：計算兩種模型下的殘差

一般情況下，比較兩個模型的殘差比較困難（某些樣本點上一個模型的殘差的絕對值比另一個模型的小，而另一些樣本點的情況則相反），故通過比較兩個模型的殘差的平方和的大小來判斷模型的擬合效果.殘差平方和越小的模型，擬合的效果越好.

由于兩種模型下的殘差平方和分別為1450.673和15448.432，故選用指數函數模型的擬合效果遠遠優(yōu)于選用二次函數模型.（當然，還可用相關指數刻畫回歸效果）3.小結：殘差分析的步驟、作用三、鞏固練習：練習：教材P13第1題

第一課時1.2獨立性檢驗的基本思想及其初步應用（一）

教學要求：通過探究“吸煙是否與患肺癌有關系”引出獨立性檢驗的問題，并借助樣本數據的列聯表、柱形圖和條形圖展示在吸煙者中患肺癌的比例比不吸煙者中患肺癌的比例高，讓學生親身體驗獨立性檢驗的實施步驟與必要性.

教學重點：理解獨立性檢驗的基本思想及實施步驟.

教學難點：了解獨立性檢驗的基本思想、了解隨機變量K2的含義.教學過程：一、復習準備：

回歸分析的方法、步驟，刻畫模型擬合效果的方法（相關指數、殘差分析）、步驟.二、講授新課：

1.教學與列聯表相關的概念：

①分類變量：變量的不同“值”表示個體所屬的不同類別的變量稱為分類變量.分類變量的取值一定

是離散的，而且不同的取值僅表示個體所屬的類別，如性別變量，只取男、女兩個值，商品的等級變量只取一級、二級、三級，等等.分類變量的取值有時可用數字來表示，但這時的數字除了分類以外沒有其他的含義.如用“0”表示“男”，用“1”表示“女”.②列聯表：分類變量的匯總統(tǒng)計表（頻數表）.一般我們只研究每個分類變量只取兩個值，這樣的列聯表稱為22.如吸煙與患肺癌的列聯表：

2.教學三維柱形圖和二維條形圖的概念：

由列聯表可以粗略估計出吸煙者和不吸煙者患肺癌的可能性

存在差異.（教師在課堂上用EXCEL軟件演示三維柱形圖和二維條形圖，引導學生觀察這兩類圖形的特征，并分析由圖形得出的結論）3.獨立性檢驗的基本思想：

①獨立性檢驗的必要性（為什么中能只憑列聯表的數據和圖形下結論？）：列聯表中的數據是樣本數據，它只是總體的代表，具有隨機性，故需要用列聯表檢驗的方法確認所得結論在多大程度上適用于總體.②獨立性檢驗的步驟（略）及原理（與反證法類似）：反證法要證明結論A假設檢驗備擇假設H1不吸煙吸煙總計不患肺癌患肺癌總計777520999874424991781721489965在A不成立的前提下進行推理在H1不成立的條件下，即H0成立的條件下進行推理推出矛盾，意味著結論A成立推出有利于H1成立的小概率事件（概率不超過的事件）發(fā)生，意味著H1成立的可能性（可能性為（1－））很大沒有找到矛盾，不能對A下任何結論，即反證法不成功③上例的解決步驟第一步：提出假設檢驗問題H0：吸煙與患肺癌沒有關系H1：吸煙與患肺癌有關系

推出有利于H1成立的小概率事件不發(fā)生，接受原假設n(adbc)2第二步：選擇檢驗的指標K（它越小，原假設“H0：吸煙與患肺癌

(ab)(cd)(ac)(bd)2沒有關系”成立的可能性越大；它越大，備擇假設“H1：吸煙與患肺癌有關系”成立的可能性越大.第三步：查表得出結論

P(k2>k)0.500.400.25k0.150.100.050.0250.0100.0050.0015.0246.6357.87910.830.4550.7081.3232.0722.7063.84第二課時1.2獨立性檢驗的基本思想及其初步應用（二）

教學要求：通過探究“吸煙是否與患肺癌有關系”引出獨立性檢驗的問題，并借助樣本數據的列聯表、柱形圖和條形圖展示在吸煙者中患肺癌的比例比不吸煙者中患肺癌的比例高，讓學生親身體驗獨立性檢驗的實施步驟與必要性.

友情提示：本文中關于《高一數學理科知識點總結》給出的范例僅供您參考拓展思維使用，高一數學理科知識點總結：該篇文章建議您自主創(chuàng)作。

來源：網絡整理 免責聲明：本文僅限學習分享，如產生版權問題，請聯系我們及時刪除。

《高一數學理科知識點總結》由互聯網用戶整理提供,轉載分享請保留原作者信息,謝謝!
鏈接地址：http://m.seogis.com/gongwen/536034.html

• 上一篇：幼兒園優(yōu)質課總結
• 下一篇：高三班級總結