初二數(shù)學上全等三角形知識點總結

數(shù)學第十二章第三、四周知識過關清單

全等三角形知識梳理

一、知識網(wǎng)絡

對應角相等性質(zhì)對應邊相等邊邊邊SSS全等形全等三角形邊角邊SAS應用判定角邊角ASA角角邊AAS斜邊、直角邊HL作圖角平分線性質(zhì)與判定定理二、基礎知識梳理（一）、基本概念

1、“全等”的理解全等的圖形必須滿足：（1）形狀相同的圖形；（2）大小相等的圖形；

即能夠完全重合的兩個圖形叫全等形。同樣我們把能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形。2、全等三角形的性質(zhì)

（1）全等三角形對應邊相等；（2）全等三角形對應角相等；3、全等三角形的判定方法

（1）三邊對應相等的兩個三角形全等。

（2）兩角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等。（3）兩角和其中一角的對邊對應相等的兩個三角形全等。（4）兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等。（5）斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等。

判定：到一個角的兩邊距離相等的點在這個角平分線上（二）靈活運用定理

1、判定兩個三角形全等的定理中，必須具備三個條件，且至少要有一組邊對應相等，因此在尋找全等的條件時，總是先尋找邊相等的可能性。

2、要善于發(fā)現(xiàn)和利用隱含的等量元素，如公共角、公共邊、對頂角等。3、要善于靈活選擇適當?shù)姆椒ㄅ卸▋蓚�三角形全等。（1）已知條件中有兩角對應相等，可找：

①夾邊相等（ASA）②任一組等角的對邊相等(AAS)（2）已知條件中有兩邊對應相等，可找

①夾角相等(SAS)②第三組邊也相等(SSS)（3）已知條件中有一邊一角對應相等，可找

①任一組角相等(AAS或ASA)②夾等角的另一組邊相等(SAS)

軸對稱知識梳理

一、基本概念

1.軸對稱圖形

如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形，這條直線就叫做對稱軸.折疊后重合的點是對應點，叫做對稱點.

2.線段的垂直平分線

經(jīng)過線段中點并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線3.軸對稱變換

由一個平面圖形得到它的軸對稱圖形叫做軸對稱變換.4.等腰三角形

有兩條邊相等的三角形，叫做等腰三角形.相等的兩條邊叫做腰，另一條邊叫做底邊，兩腰所夾的角叫做頂角，底邊與腰的夾角叫做底角.

5.等邊三角形

三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形.二、主要性質(zhì)

1.如果兩個圖形關于某條直線對稱，那么對稱軸是任何一對對應點所連線段的垂直平分線.或者說軸對稱圖形的對稱軸，是任何一對對應點所連線段的垂直平分線.

2.線段垂直平分錢的性質(zhì)

線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等.

3.（1）點P（x，y）關于x軸對稱的點的坐標為P′（x，-y）.（2）點P（x,y）關于y軸對稱的點的坐標為P″（-x，y）.4.等腰三角形的性質(zhì)

（1）等腰三角形的兩個底角相等（簡稱“等邊對等角”）.

（2）等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合.

（3）等腰三角形是軸對稱圖形，底邊上的中線（頂角平分線、底邊上的高）所在直線就是它的對稱軸.

（4）等腰三角形兩腰上的高、中線分別相等，兩底角的平分線也相等.（5）等腰三角形一腰上的高與底邊的夾角是頂角的一半。（6）等腰三角形頂角的外角平分線平行于這個三角形的底邊.5.等邊三角形的性質(zhì)

（1）等邊三角形的三個內(nèi)角都相等，并且每一個角都等于60°.（2）等邊三角形是軸對稱圖形，共有三條對稱軸.

（3）等邊三角形每邊上的中線、高和該邊所對內(nèi)角的平分線互相重合.三、有關判定

1.與一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上.

2.如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（簡寫成“等角對等邊”）.

3.三個角都相等的三角形是等邊三角形.

4.有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形.

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全等三角形知識梳理

一、知識網(wǎng)絡

對應角相等性質(zhì)對應邊相等邊邊邊SSS全等形全等三角形邊角邊SAS判定角邊角ASA角角邊AAS斜邊、直角邊HL作圖角平分線性質(zhì)與判定定理應用

二、基礎知識梳理（一）、基本概念

1、“全等”的理解全等的圖形必須滿足：（1）形狀相同的圖形；（2）大小相等的圖形；

即能夠完全重合的兩個圖形叫全等形。同樣我們把能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形。2、全等三角形的性質(zhì)

（1）全等三角形對應邊相等；（2）全等三角形對應角相等；3、全等三角形的判定方法

（1）三邊對應相等的兩個三角形全等。

（2）兩角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等。（3）兩角和其中一角的對邊對應相等的兩個三角形全等。（4）兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等。（5）斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等。4、角平分線的性質(zhì)及判定

性質(zhì)：角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等判定：到一個角的兩邊距離相等的點在這個角平分線上

（二）靈活運用定理

1、判定兩個三角形全等的定理中，必須具備三個條件，且至少要有一組邊對應相等，

因此在尋找全等的條件時，總是先尋找邊相等的可能性。

2、要善于發(fā)現(xiàn)和利用隱含的等量元素，如公共角、公共邊、對頂角等。3、要善于靈活選擇適當?shù)姆椒ㄅ卸▋蓚�三角形全等。（1）已知條件中有兩角對應相等，可找：

①夾邊相等（ASA）②任一組等角的對邊相等(AAS)（2）已知條件中有兩邊對應相等，可找

①夾角相等(SAS)②第三組邊也相等(SSS)（3）已知條件中有一邊一角對應相等，可找

①任一組角相等(AAS或ASA)②夾等角的另一組邊相等(SAS)

證明兩三角形全等或利用它證明線段或角的相等的基本方法步驟：

1.確定已知條件（包括隱含條件，如公共邊、公共角、對頂角、角平分線、中線、高、等腰三角形、等所隱含的邊角關系）；

2.回顧三角形判定公理，搞清還需要什么；3.正確地書寫證明格式（順序和對應關系從已知推導出要證明的問題）。常見考法

（1）利用全等三角形的性質(zhì)：①證明線段（或角）相等；②證明兩條線段的和差等于另一條線段；③證明面積相等；（2）利用判定公理來證明兩個三角形全等；

（3）題目開放性問題，補全條件，使兩個三角形全等。誤區(qū)提醒

（1）忽略題目中的隱含條件；

（2）不能正確使用判定公理。

軸對稱知識梳理

一、基本概念

1.軸對稱圖形

如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形，這條直線就叫做對稱軸.折疊后重合的點是對應點，叫做對稱點.

2.線段的垂直平分線

經(jīng)過線段中點并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線3.軸對稱變換

由一個平面圖形得到它的軸對稱圖形叫做軸對稱變換.4.等腰三角形

有兩條邊相等的三角形，叫做等腰三角形.相等的兩條邊叫做腰，另一條邊叫做底邊，兩腰所夾的角叫做頂角，底邊與腰的夾角叫做底角.

5.等邊三角形

三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形.二、主要性質(zhì)

1.如果兩個圖形關于某條直線對稱，那么對稱軸是任何一對對應點所連線段的垂直平分線.或者說軸對稱圖形的對稱軸，是任何一對對應點所連線段的垂直平分線.

2.線段垂直平分錢的性質(zhì)

線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等.

3.（1）點P（x，y）關于x軸對稱的點的坐標為P′（x，-y）.（2）點P（x,y）關于y軸對稱的點的坐標為P″（-x，y）.4.等腰三角形的性質(zhì)

（1）等腰三角形的兩個底角相等（簡稱“等邊對等角”）.

（2）等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合.

（3）等腰三角形是軸對稱圖形，底邊上的中線（頂角平分線、底邊上的高）所在直線就是它的對稱軸.

（4）等腰三角形兩腰上的高、中線分別相等，兩底角的平分線也相等.（5）等腰三角形一腰上的高與底邊的夾角是頂角的一半。（6）等腰三角形頂角的外角平分線平行于這個三角形的底邊.5.等邊三角形的性質(zhì)

（1）等邊三角形的三個內(nèi)角都相等，并且每一個角都等于60°.（2）等邊三角形是軸對稱圖形，共有三條對稱軸.

（3）等邊三角形每邊上的中線、高和該邊所對內(nèi)角的平分線互相重合.三、有關判定

1.與一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上.

2.如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（簡寫成“等角對等邊”）.

3.三個角都相等的三角形是等邊三角形.

4.有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形.

一、選擇題

1．如圖，給出下列四組條件：

①ABDE，BCEF，ACDF；②ABDE，BE，BCEF；③BE，BCEF，CF；④ABDE，ACDF，BE．其中，能使△ABC≌△DEF的條件共有（）A．1組B．2組C．3組D．4組

2.如圖，D，E分別為△ABC的AC，BC邊的中點，將此三角形沿DE折疊，使點C落在AB邊上的點P處．若CDE48°，則APD等于（）

3.如圖（四），點P是AB上任意一點，ABCABD，還應補充一個條件，才能推出

△APC≌△APD．從下列條件中補充一個條件，不一定能推出△APC≌△APD的是．．．．

（）A．BCBD

B．ACADC．ACBADB

D．CABDAB

CA．42°B．48°C．52°D．58°

4

BPD

圖（四）

A

4.如圖，在△ABC與△DEF中，已有條件AB=DE，還需添加兩個條件才能使△ABC≌△DEF，不能添加的一組條件是()

(A)∠B=∠E,BC=EF（B）BC=EF，AC=DF(C)∠A=∠D，∠B=∠E（D）∠A=∠D，BC=EF5．如圖，△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB于E，若AC=10cm，則△DBE的周長等于()

A．10cmB．8cmC．6cmD．9cm

6．如圖所示，表示三條相互交叉的公路，現(xiàn)要建一個貨物中轉(zhuǎn)站，要求它到三條公路的距離相等，則可供選擇的地址有（）

Ａ．1處Ｂ．2處Ｃ．3處Ｄ．4處

②

CD③①④AEB

7．某同學把一塊三角形的玻璃打碎了3塊，現(xiàn)在要到玻璃店去配一塊完全一樣的玻璃，那么最省事的方法是（）

A．帶①去B．帶②去C．帶③去D．帶①②③去

8．如圖，在Rt△ABC中，B90，ED是AC的垂直平分線，交AC于點D，交BC

于點E．已知BAE10，則C的度數(shù)為（）

A．30B．40C．50D．60

9．如圖，△ACB≌△ACB，BCB=30°，則ACA的度數(shù)為（）A．20°B．30°C．35°10．如圖，AC＝AD，BC＝BD，則有（）

A．AB垂直平分CDB．CD垂直平分ABC．AB與CD互相垂直平分

A

DBE

D．CD平分∠ACB

BCB

A

D．40°

AACB

5C

D

11．尺規(guī)作圖作AOB的平分線方法如下：以O為圓心，任意長為半徑畫弧交OA、OB于

C、D，再分別以點C、D為圓心，以大于

12CD長為半徑畫弧，兩弧交于點P，作射線

OP，由作法得△OCP≌△ODP的根據(jù)是（）

A．SASB．ASAC．AASD．SSS

12.如圖,∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于D,若BC=5cm,BD=3cm,則點D到AB的距離為()

A.5cmB.3cmC.2cmD.不能確定

13．如圖，OP平分AOB，PAOA，PBOB，垂足分別為A，B．下列結論中不一定成立的是（）

A．PAPBB．PO平分APBC．OAOBD．AB垂直平分OP14.如圖，已知ABAD，那么添加下列一個條件后，仍無法判定△ABC≌△ADC的是（）

A．CBCDB．∠BAC∠DACC．∠BCA∠DCAD．∠B∠D90O

ACPCDBADAPOB

ACB

BD15.觀察下列圖形，則第n個圖形中三角形的個數(shù)是（）

第1個A．2n2二、填空題

第2個

第3個

D．4n

B．4n4C．4n4

1.如圖，已知ABAD，BAEDAC，要使△ABC≌△ADE，可補充的條件是（寫出一個即可）．

2.如圖,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC,AD平分∠BAC交BC于D,DE⊥AB于E,且AB=5cm,則△DEB的周長為________

3.如圖，BACABD，請你添加一個條件：，使OCOD（只添一個即可）．

4.如圖，在ΔABC中，∠C=90°∠ABC的平分線BD交AC于點D,若BD=10厘米，BC=8厘米，DC=6厘米，則點D到直線AB的距離是__________厘米。

ABEODCABEDACB

5.觀察圖中每一個大三角形中白色三角形的排列規(guī)律，則第5個大三角形中白色三角形

DC有個．

第1個第2個

第3個6.已知：如圖，△OAD≌△OBC，且∠O＝70°，∠C＝25°，則∠AEB＝________度.7如圖，C為線段AE上一動點（不與點A，E重合），在AE同側分別作正三角形ABC和正三角形CDE、AD與BE交于點O，AD與BC交于點P，BE與CD交于點Q，連結PQ.以下五個結論：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°.恒成立的結論有_______________________（把你認為正確的序號都填上）。

8.如圖所示，AB=AD，∠1=∠2，添加一個適當?shù)臈l件，使△ABC≌△ADE，則需要添加的條件是________.

OD

BOPC

DQBEAACE

A三、解答題

1.如圖，已知AB=AC，AD=AE，求證：BD=CE.

7

BDEC

2.如圖，在△ABC中，ABAC，BAC40°，分別以AB，AC為邊作兩個等腰直角三角形ABD和ACE，使BADCAE90°．（1）求DBC的度數(shù)；（2）求證：BDCE．

3.如圖，在△ABE中，AB＝AE,AD＝AC,∠BAD＝∠EAC,BC、DE交于點O.求證：(1)△ABC≌△AED；(2)OB＝OE.

4.如圖，D是等邊△ABC的邊AB上的一動點，以CD為一邊向上作等邊△EDC，連接AE，找出圖中的一組全等三角形，并說明理由．

AEDBC

BADOCE

5.如圖，在△ABC和△DCB中，AB=DC，AC=DB，AC與DB交于點M．

（1）求證：△ABC≌△DCB；（2）過點C作CN∥BD，過點B作BN∥AC，CN與BN交于點N，試判斷線段BN與CN的數(shù)量關系，并證明你的結論．

6.（如圖，四邊形ABCD的對角線AC與BD相交于O點，12，34．求證：（1）△ABC≌△ADC；（2）BODO．B

7．如圖，在△ABC和△ABD中，現(xiàn)給出如下三個論斷：①ADBC；②CD；③12．請選擇其中兩個論斷為條件，另一個論斷為結論，構造一個命題．（1）寫出所有的真命題（寫成“

：”形式，用序號表示）

ＤＣAD

MBC

N

A123O4D

C．

（2）請選擇一個真命題加以證明．

你選擇的真命題是：．

12

ＡＢ

證明：

8.已知：如圖，B、E、F、C四點在同一條直線上，AB＝DC，BE＝CF，∠B＝∠C．求證：OA＝OD．

9．如圖，△ABC中，∠BAC=90度，AB=AC，BD是∠ABC的平分線，BD的延長線垂直于

過C點的直線于E，直線CE交BA的延長線于F．求證：BD=2CE．

10.如圖，ABAC,ADBC于點D，ADAE，AB平分DAE交DE于點F，請你寫出圖中三對全等三角形，并選取其中一對加以證明．．．

B

EFA郜BDAEFCDC

11．（7分）已知：如圖，DC∥AB，且DC=AE，E為AB的中點，

（1）求證：△AED≌△EBC．

（2）觀看圖前，在不添輔助線的情況下，除△EBC外，請再寫出兩個與△AED的面積

相等的三角形．（直接寫出結果，不要求證明）：

12．如圖①，E、F分別為線段AC上的兩個動點，且DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，若AB=CD，AF=CE，BD交AC于點M．（1）求證：MB=MD，ME=MF

（2）當E、F兩點移動到如圖②的位置時，其余條件不變，上述結論能否成立？若成立請給予證明；若不成立請說明理由．

BEAODC

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