高中數(shù)學(xué)公式完全總結(jié)歸納(均值不等式)

解題技巧

技巧一：湊項(xiàng)

評注：本題需要調(diào)整項(xiàng)的符號，又要配湊項(xiàng)的系數(shù)，使其積為定值。

技巧二：湊系數(shù)

評注：本題無法直接運(yùn)用均值不等式求解，但湊系數(shù)后可得到和為定值，從而可利用均值不等式求最大值。變式：

技巧三：分離

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均值不等式歸納總結(jié)

1.(1)若a,bR，則a時(shí)取“=”）

2.(1)若a,bR*，則ab2ab2b2ab2(2)若a,bR，則abab222（當(dāng)且僅當(dāng)ab(2)若a,bR*，則ab2ab（當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取“=”）

ab(3)若a,bR，則ab2*2(當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取“=”）

3.若x0，則x若x0，則x1x1x）2(當(dāng)且僅當(dāng)x1時(shí)取“=”

2

(當(dāng)且僅當(dāng)x1時(shí)取“=”）

1x2或x1x-2若x0，則x14.若abx2即x(當(dāng)且僅當(dāng)a時(shí)取“=”）

ba-2b時(shí)取“=”）

0，則ab2

ba(當(dāng)且僅當(dāng)aab2bab若ab0，則5.若a,bR，則(

abba22即2ba2或(當(dāng)且僅當(dāng)a時(shí)取“=”）

b時(shí)取“=”）

ab2)ab2（當(dāng)且僅當(dāng)ab『ps.(1)當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的積為定植時(shí)，可以求它們的和的最小值，當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的和

為定植時(shí)，可以求它們的積的最小值，正所謂“積定和最小，和定積最大”．

(2)求最值的條件“一正，二定，三取等”

(3)均值定理在求最值、比較大小、求變量的取值范圍、證明不等式、解決實(shí)際問題方面有廣泛的應(yīng)用』

應(yīng)用一：求最值

例1：求下列函數(shù)的值域

（1）y＝3x1

2＋2x2

2）y＝x＋1

x（解：(1)y＝3x2＋≥2

22x1

(2)當(dāng)x＞0時(shí)，y＝x＋≥2

x1

3x2＝6∴值域?yàn)閇6，+∞）

22x1

x＝2；x

1

x=－2x

111

當(dāng)x＜0時(shí)，y＝x＋=－（－x－）≤－2

xx∴值域?yàn)椋ǎ�∞，�?]∪[2，+∞）

解題技巧

技巧一：湊項(xiàng)

例已知x5，求函數(shù)y4x2414x5的最大值。

14x5解：因4x50，所以首先要“調(diào)整”符號，又(4x2)4x2要進(jìn)行拆、湊項(xiàng)，

54不是常數(shù)，所以對

x,54x0，y4x21154x4x554x12313

1。

當(dāng)且僅當(dāng)54x54x，即x1時(shí)，上式等號成立，故當(dāng)x1時(shí)，ymax評注：本題需要調(diào)整項(xiàng)的符號，又要配湊項(xiàng)的系數(shù)，使其積為定值。

技巧二：湊系數(shù)例1.當(dāng)解析：由

時(shí)，求yx(82x)的最大值。知，

，利用均值不等式求最值，必須和為定值或積為

定值，此題為兩個(gè)式子積的形式，但其和不是定值。注意到2x(82x)8為定值，故只需將yx(82x)湊上一個(gè)系數(shù)即可。

，即x＝2時(shí)取等號當(dāng)x＝2時(shí)，yx(82x)的最大值為8。

當(dāng)評注：本題無法直接運(yùn)用均值不等式求解，但湊系數(shù)后可得到和為定值，從而可利用均值不等式求最大值。變式：設(shè)0解：∵0x3232，求函數(shù)y4x(32x)的最大值�！�32x0∴

92x32xy4x(32x)22x(32x)2222x

當(dāng)且僅當(dāng)2x32x,即x

技巧三：分離例3.求yx7x10x12330,時(shí)等號成立。42(x1)的值域。

解析一：本題看似無法運(yùn)用均值不等式，不妨將分子配方湊出含有（x＋1）的項(xiàng)，再將其分離。

當(dāng)

,即

時(shí),y2（x1)4x159（當(dāng)且僅當(dāng)x＝1

時(shí)取“＝”號）。

技巧四：換元

解析二：本題看似無法運(yùn)用均值不等式，可先換元，令t=x＋1，化簡原式在分離求最值。

y(t1)7(t1）+10t2=t5t4t2tt4t4t5

當(dāng),即t=時(shí),y259（當(dāng)t=2即x＝1時(shí)取“＝”號）。

評注：分式函數(shù)求最值，通常直接將分子配湊后將式子分開或?qū)⒎帜笓Q元后將式子分開再利用不等式求最值。即化為ymg(x)或恒負(fù)的形式，然后運(yùn)用均值不等式來求最值。

技巧五：在應(yīng)用最值定理求最值時(shí)，若遇等號取不到的情況，結(jié)合函數(shù)f(x)的單調(diào)性。例：求函數(shù)yx5x422Ag(x)B(A0,B0)，g(x)恒正

xax的值域。解：令因t0,t22x4t(t2)，則yx5x421x42t1t(t2)

x421t1，但t1t1t解得t1不在區(qū)間2,，故等號不成立，考慮單調(diào)性。

因?yàn)閥t在區(qū)間1,單調(diào)遞增，所以在其子區(qū)間2,為單調(diào)遞增函數(shù)，故

y52。

5所以，所求函數(shù)的值域?yàn)?。2練習(xí)．求下列函數(shù)的最小值，并求取得最小值時(shí)，x的值.（1）yx3x1x2,(x0)（2）y2x1x3,x3(3)y2sinxx231sinx,x(0,)

2．已知0的最大值.

x1，求函數(shù)yx(1x)的最大值.；3．0，求函數(shù)yx(23x)條件求最值

1.若實(shí)數(shù)滿足ab2，則3a3b的最小值是.

分析：“和”到“積”是一個(gè)縮小的過程，而且3a3b定值，因此考慮利用均值定理求最小值，

解：當(dāng)3a3和3bab都是正數(shù)，3a3b≥233ab23bab6

3時(shí)等號成立，由ab2及3a3得ab1即當(dāng)ab1時(shí)，3a3b的

最小值是6．變式：若log4xlog4

技巧六：整體代換

多次連用最值定理求最值時(shí)，要注意取等號的條件的一致性，否則就會出錯(cuò)。。

y2，求

1x1y的最小值.并求x,y的值2：已知x0,y0，且1x9y1，求xy1x9y的最小值。

xy1x9xy2y9xy2xy12錯(cuò)．解．：

xyminx0,y0，且

1，故

12。

xy錯(cuò)因：解法中兩次連用均值不等式，在xy21x9y29xy等號成立條件是xy，在

等號成立條件是1

x9y

即y9x,取等號的條件的不一致，產(chǎn)生錯(cuò)誤。因

此，在利用均值不等式處理問題時(shí)，列出等號成立條件是解題的必要步驟，而且是檢驗(yàn)轉(zhuǎn)換是否有誤的一種方法。正解：x0,y0,19x19y9x10610161，xyxyxyxyy

16。

當(dāng)且僅當(dāng)

yx9xy時(shí)，上式等號成立，又

1x9y1，可得x4,y12時(shí)，xymin變式：（1）若x,yR且2xy1，求11的最小值

xy(2)已知a,b,x,yR且abxy1，求xy的最小值

技巧七

已知x，y為正實(shí)數(shù)，且x2＋

y22

＝1，求x1＋y2的最大值.

分析：因條件和結(jié)論分別是二次和一次，故采用公式ab≤

1

a2＋b2

2。

同時(shí)還應(yīng)化簡

1＋y2中y2前面的系數(shù)為，x2

1y2＋22

1＋y2＝x

1＋y2

2＝2x

下面將x，1y2

＋分別看成兩個(gè)因式：22x2＋(

y2y21

＋)2x2＋＋22223

＝＝即x1＋y2＝

22421

x

1y2

＋≤222x

1y23

＋≤224

技巧八：

已知a，b為正實(shí)數(shù)，2b＋ab＋a＝30，求函數(shù)y＝

1

的最小值.

ab分析：這是一個(gè)二元函數(shù)的最值問題，通常有兩個(gè)途徑，一是通過消元，轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)問題，再用單調(diào)性或基本不等式求解，對本題來說，這種途徑是可行的；二是直接用基本不等式，對本題來說，因已知條件中既有和的形式，又有積的形式，不能一步到位求出最值，考慮用基本不等式放縮后，再通過解不等式的途徑進(jìn)行。

30－2b30－2b－2b2＋30b法一：a＝，ab＝b＝

b＋1b＋1b＋1由a＞0得，0＜b＜15

－2t2＋34t－311616

令t＝b+1，1＜t＜16，ab＝＝－2（t＋）＋34∵t＋≥

ttt2

16

t＝8

t∴ab≤18∴y≥

當(dāng)且僅當(dāng)t＝4，即b＝3，a＝6時(shí)，等號成立。18

2ab∴30－ab≥

1

法二：由已知得：30－ab＝a＋2b∵a＋2b≥222ab

令u＝ab則u2＋22u－30≤0，－52≤u≤3∴ab≤3

2，ab≤18，∴y≥

18

ab22

1

點(diǎn)評：①本題考查不等式的應(yīng)用、不等式的解法及運(yùn)算能力；ab（a,bR）②如何由已知不等式aba2b30（a,bR）出發(fā)求得ab的范圍，關(guān)鍵是尋找到

ab與ab之間的關(guān)系，由此想到不等式

ab2ab（a,bR），這樣將已知條件轉(zhuǎn)

換為含ab的不等式，進(jìn)而解得ab的范圍.

變式：1.已知a>0，b>0，ab－(a＋b)＝1，求a＋b的最小值。

2.若直角三角形周長為1，求它的面積最大值。

技巧九、取平方

5、已知x，y為正實(shí)數(shù)，3x＋2y＝10，求函數(shù)W＝3x＋2y的最值.解法一：若利用算術(shù)平均與平方平均之間的不等關(guān)系，簡單

3x＋25

解法二：條件與結(jié)論均為和的形式，設(shè)法直接用基本不等式，應(yīng)通過平方化函數(shù)式為積的形式，再向“和為定值”條件靠攏。W＞0，W2＝3x＋2y＋2

3x

2y＝10＋2

3x

2y≤10＋

2y≤

2

（3x）2＋（2y）2＝

2

3x＋2y＝

a＋b2

≤

a2＋b2

2

，本題很

(3x)2(2y)2＝10＋(3x＋2y)＝∴W≤20＝25變式:求函數(shù)y2x152x(12x52)的最大值。

解析：注意到2x1與52x的和為定值。

y(2x1252x)42(2x1)(52x)4(2x1)(52x)8y222

又y0，所以032當(dāng)且僅當(dāng)2x1=52x，即x時(shí)取等號。故ymax22。

評注：本題將解析式兩邊平方構(gòu)造出“和為定值”，為利用均值不等式創(chuàng)造了條件�？傊�，我們利用均值不等式求最值時(shí)，一定要注意“一正二定三相等”，同時(shí)還要注意一些變形技巧，積極創(chuàng)造條件利用均值不等式。應(yīng)用二：利用均值不等式證明不等式

1．已知a,b,c為兩兩不相等的實(shí)數(shù)，求證：a2bc22abbcca

1）正數(shù)a，b，c滿足a＋b＋c＝1，求證：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc例6：已知a、b、cR，且abc1。求證：111118abc1分析：不等式右邊數(shù)字8，使我們聯(lián)想到左邊因式分別使用均值不等式可得三個(gè)“2”連乘，又111abc2aaabca，可由此變形入手。

bca2bca11aabc1。解：b、cR，a、1aa。同理11b2acb1，1c2abc。上述三個(gè)不等式兩邊均為正，分別相乘，得

11112bc2ac2ababc。當(dāng)且僅當(dāng)11183abcabc時(shí)取等號。

應(yīng)用三：均值不等式與恒成立問題例：已知x0,y0且

1x9y1，求使不等式xym恒成立的實(shí)數(shù)m的取值范圍。

9xky1

解：令xyk,x0,y0,110k23k1x9y1，xykx9x9yky1.10kykx。k16，m,應(yīng)用四：均值定理在比較大小中的應(yīng)用：例：若ab1,Plgalgb,Q12(lgalgb),Rlg(ab2)，則P,Q,R的大小關(guān)系

是.

分析：∵ab1∴l(xiāng)ga0,lgb0

Q12（lgalgb)lgalgbp

Rlg(ab2)lgab12lgabQ

∴R>Q>P。

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