教學(xué)是一個(gè)緩慢的過(guò)程，我們不能操之過(guò)急，要徐徐誘之，從認(rèn)識(shí)一位數(shù)到認(rèn)識(shí)兩位數(shù)這是一個(gè)變化的過(guò)程，作為老師，你有什么好的教學(xué)方法值得大家借鑒？下面給大家?guī)��?lái)的是小學(xué)一年級(jí)一位數(shù)到兩位數(shù)的認(rèn)識(shí)教學(xué)心得體會(huì)。

【摘要】本文針對(duì)小學(xué)數(shù)學(xué)長(zhǎng)期以來(lái)使用小棒和計(jì)數(shù)器這兩種教具進(jìn)行位值制教學(xué)產(chǎn)生的誤區(qū)做了剖析，并提出游戲化的方式讓學(xué)生認(rèn)同位值制計(jì)數(shù)的方式和優(yōu)勢(shì)的策略，同時(shí)闡述小棒和計(jì)數(shù)器等教具在教學(xué)中的不同作用。

【關(guān)鍵詞】位值制  小棒   計(jì)數(shù)器打包   拆包   規(guī)模

一、誤區(qū)與困惑

小學(xué)一年級(jí)的很多孩子在入學(xué)前，就已經(jīng)會(huì)數(shù)（其中一部分是唱數(shù)為主）、會(huì)認(rèn)，甚至?xí)�寫百以�?nèi)的數(shù)，也初步建立了數(shù)感，但是許多孩子關(guān)于位值制的初步學(xué)習(xí)基本是被動(dòng)機(jī)械地接受其中的規(guī)則。孩子入學(xué)后，在第一學(xué)期學(xué)習(xí)有關(guān)10的認(rèn)識(shí)，以及后續(xù)11~20各數(shù)的認(rèn)識(shí)，是學(xué)生在校期間最早接觸位值制的階段。筆者研讀了部分關(guān)于這些內(nèi)容的教學(xué)設(shè)計(jì)和相關(guān)文章后發(fā)現(xiàn)，長(zhǎng)久以來(lái)，很多老師在關(guān)于位值制的教學(xué)中存在一些困惑，甚至是誤區(qū)，這對(duì)學(xué)生未來(lái)學(xué)習(xí)“百”以上的數(shù)的認(rèn)識(shí)，和小數(shù)的認(rèn)識(shí)都沒(méi)能起到很好的“通達(dá)”作用。

現(xiàn)實(shí)中，絕大多數(shù)教師割裂式地采用小棒或計(jì)數(shù)器等教學(xué)用具，為此出現(xiàn)了相應(yīng)的誤區(qū)和讓學(xué)生困惑的進(jìn)位過(guò)程。

如在用小棒的教學(xué)中，上世紀(jì)七、八十年代，北京知名教師馬芯蘭制作了“數(shù)位筒”，并引入了“數(shù)位筒”的相關(guān)概念。當(dāng)十根小棒成一捆時(shí)，將這一捆小棒放進(jìn)“十位筒”。不可否認(rèn)，這一形象化的教具，對(duì)幫助學(xué)生理解數(shù)位，的確起到了一定的作用。但是仔細(xì)想來(lái)，這樣的操作科學(xué)嗎？對(duì)于愛(ài)思考的學(xué)生來(lái)說(shuō)，“十位筒”對(duì)應(yīng)的應(yīng)當(dāng)是十位，此位上的一根小棒，對(duì)應(yīng)的也就應(yīng)當(dāng)為一個(gè)十，放一捆小棒到“十位筒”，就應(yīng)當(dāng)表示一百了。除非老師指明規(guī)則：“十位筒”里的每一捆作為整體不可拆分，不能單獨(dú)去考察一捆當(dāng)中的一根小棒。但這足以讓愛(ài)思考的孩子陷入困境，因?yàn)闊o(wú)論在哪里，一根小棒的地位是一樣的。而2011版人民教育出版社小學(xué)一年級(jí)《數(shù)學(xué)》上冊(cè)的關(guān)于數(shù)位認(rèn)識(shí)的插圖，讓人極易與“數(shù)位筒”的做法相混淆，如圖1。

那么使用計(jì)數(shù)器教學(xué)如何呢？發(fā)表于《小學(xué)數(shù)學(xué)教師》2018第5期的《計(jì)算教學(xué)：思維卷入其中——周衛(wèi)東老師“隔位退位減”教學(xué)賞析》一文，也提及“這種物化的計(jì)數(shù)器每檔只能撥10個(gè)，超出10個(gè)的部分要么在頭腦中想象”，為此有的教師“直接免去了實(shí)踐操作環(huán)節(jié)，讓學(xué)生觀看課件演示過(guò)程。”

除此之外，很多成人也對(duì)計(jì)數(shù)器每個(gè)數(shù)位最多能撥9顆還是十顆珠子也心存疑惑，譬如百度網(wǎng)友在回答這一問(wèn)題時(shí)，給的解答是：“9顆，因?yàn)?0顆的話必須滿十進(jìn)一了。”在學(xué)校教學(xué)中，一些教師在課堂上發(fā)現(xiàn)，孩子在計(jì)數(shù)器上實(shí)現(xiàn)“19再撥一顆”時(shí)，習(xí)慣性地直接將9顆珠子退掉，再在十位上增添一顆珠子。有的孩子雖然能在個(gè)位上撥滿十顆珠子，然而對(duì)接下來(lái)要把這十顆珠子全部撥回原位，再在十位上添一顆這一過(guò)程說(shuō)不出本質(zhì)原因，若問(wèn)起，得到的回答是：“老師教我們這么做的。”或者：“不這樣做是不對(duì)的。”

二、尋源

人類文明發(fā)展到今天，計(jì)數(shù)方式經(jīng)歷了多種，如簡(jiǎn)單累數(shù)制、分級(jí)符號(hào)制、乘法累數(shù)制、位值制等。在數(shù)的誕生初期，人類為了記錄一段時(shí)間的收獲多少，經(jīng)歷了“幾個(gè)物體對(duì)應(yīng)幾個(gè)數(shù)，一個(gè)數(shù)對(duì)應(yīng)一個(gè)符號(hào)記錄物體數(shù)目”等過(guò)程，為了下文敘述方便，筆者暫且稱這種計(jì)數(shù)法為“一數(shù)對(duì)一符計(jì)數(shù)法”，即物體有幾個(gè)數(shù)目，就會(huì)出現(xiàn)幾個(gè)符號(hào)或幾個(gè)手指分別記錄物體的數(shù)目。這在小學(xué)一年級(jí)學(xué)習(xí)位值制之前，部分學(xué)生在解決用雙手手指記錄10以上的物體數(shù)目時(shí)，會(huì)有所體現(xiàn)。我國(guó)古時(shí)有一“萬(wàn)”氏財(cái)主請(qǐng)老師教兒子寫信，因書寫落款中的姓氏“萬(wàn)”而鬧笑話的經(jīng)典故事，故事折射出的是財(cái)主的兒子就連“一數(shù)對(duì)一符”的計(jì)數(shù)法都沒(méi)有掌握，僅簡(jiǎn)單將物的數(shù)目和筆劃“一”的數(shù)目進(jìn)行了簡(jiǎn)單的一一對(duì)應(yīng)。

隨著物體數(shù)目的增加，人們需要記住很多的符號(hào)來(lái)區(qū)分不同的數(shù)目，這顯然比較麻煩，位值制以其優(yōu)勢(shì)被更多的人接受、傳播。

古時(shí)不同國(guó)家有不同的位值制計(jì)數(shù)法，如五進(jìn)制，也有十進(jìn)制等等，其中五進(jìn)制和十進(jìn)制的產(chǎn)生與人的一只手有5個(gè)手指，一雙手有10個(gè)手指有關(guān)，但筆者目前沒(méi)有查閱到古人是如何從“一數(shù)對(duì)一符計(jì)數(shù)法”過(guò)渡到“位值制計(jì)數(shù)法”的。

三、策略

為此，筆者提出“打包”、“拆包”的概念和操作，用自己設(shè)計(jì)的游戲方式來(lái)演繹位值制計(jì)數(shù)方式的產(chǎn)生，其主要規(guī)則及流程如下：

（一）游戲之中引沖突，激發(fā)學(xué)生的求知欲望。

1．教師往不透明的空盒里投小正方體（除一上講臺(tái)的同學(xué)外，其余學(xué)生均不可見(jiàn)），一學(xué)生上講臺(tái)數(shù)盒子里小正方體的顆數(shù)，該學(xué)生根據(jù)小正方體的顆數(shù)，用雙手伸展的手指數(shù)目告訴其余同學(xué)，盒子內(nèi)有幾顆小正方體，但不得用有聲言語(yǔ)或其他方式告訴其他學(xué)生。

2．如果上講臺(tái)的同學(xué)覺(jué)得雙手指頭不夠用，可以向座位上的同學(xué)求助。教師按照如下數(shù)目往小盒子里投小正方體的數(shù)目：3、10、12、23。

3．當(dāng)學(xué)生出現(xiàn)需要兩個(gè)同學(xué)，用“一數(shù)對(duì)一符計(jì)數(shù)法”表示12時(shí)（即一個(gè)同學(xué)伸出雙手十指，并且讓另一同學(xué)雙手伸出兩個(gè)指頭），教師可讓其繼續(xù)參與。直至第一位同學(xué)求助第三位同學(xué)來(lái)表示23時(shí)，教師拋出新的要求：只能用兩位同學(xué)的雙手手勢(shì)，向全班其余同學(xué)傳遞“23”這個(gè)數(shù)，由此引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，激發(fā)學(xué)生的求知欲望。

（二）表演之中獲認(rèn)知，認(rèn)同位值制計(jì)數(shù)法。

針對(duì)新要求（新增添的游戲規(guī)則：只能有兩位同學(xué)來(lái)表示“23”），教師可根據(jù)學(xué)生的思考結(jié)果調(diào)整自己的教學(xué)——如果有學(xué)生提出用其中一個(gè)學(xué)生的一個(gè)手指表示“12”中的“10”，兩個(gè)手指表示“23”中的“20”，教師可讓其向其余同學(xué)闡述計(jì)數(shù)方法及理由；如果確實(shí)沒(méi)有學(xué)生能提出相應(yīng)的方法，則教師引導(dǎo)學(xué)生完成如下表演：

1．將小盒子里的小正方體清零后，把學(xué)生兩兩分組（每組里的成員分別命名為“甲”、“乙”）。教師往小盒子里投一顆小正方體，甲同學(xué)根據(jù)老師投的小正方體數(shù)目，伸出相應(yīng)的手指，在未達(dá)到10顆時(shí)，乙同學(xué)始終雙手握拳。

2．當(dāng)教師往盒子里投入第10顆小正方體時(shí)，甲同學(xué)轉(zhuǎn)向乙同學(xué)，并向乙同學(xué)傳遞如下語(yǔ)言信息：“滿了！滿了！請(qǐng)你幫我打包存一存。”甲講述完畢，由雙手十指伸展轉(zhuǎn)為雙手握拳；教師（或?qū)W生助手）順勢(shì)將投入的小正方體，10個(gè)一組，拼接成一個(gè)長(zhǎng)方體。乙同學(xué)隨即回答：“好的！好的！包已存下，數(shù)已計(jì)好，需要的時(shí)候再來(lái)取。”邊說(shuō)，邊伸出一個(gè)手指記錄老師打包完成的小正方體拼接成的長(zhǎng)方條。

3．當(dāng)教師往盒子里投入第20顆小正方體時(shí)，甲、乙敘述的語(yǔ)句不變，只是乙的手指需要伸出兩個(gè)來(lái)記錄兩條有小正方體打包（拼接）成的小長(zhǎng)方體條。

游戲表演過(guò)程，教師根據(jù)學(xué)生的實(shí)際操作情況，及時(shí)予以糾正，或引發(fā)其思考，比如從19過(guò)渡到20時(shí)，教師可暫停，鼓勵(lì)學(xué)生嘗試思考與表達(dá)。

學(xué)生在表演的過(guò)程中，積累相應(yīng)的具身認(rèn)知，利于對(duì)位值制規(guī)則的認(rèn)同。

（三）、書寫之中推約定，闡明位值制的原理與優(yōu)勢(shì)。

當(dāng)教師往盒子里投第23顆小正方體，兩位學(xué)生用雙手表達(dá)出23后，教師要求根據(jù)甲乙兩人的手勢(shì)和所站的位置，寫出兩人各自所代表的數(shù)字。當(dāng)學(xué)生根據(jù)甲乙的站位，寫成“32”時(shí)，教師調(diào)換甲乙的位置，詢問(wèn)如何書寫，繼而推出“約定”：①站位時(shí)，記錄“包”數(shù)的乙同學(xué)站在觀察者的左邊，記錄小正方體個(gè)數(shù)的甲同學(xué)站在觀察者的右邊；②乙同學(xué)只負(fù)責(zé)記錄“包”數(shù)，而甲同學(xué)，只負(fù)責(zé)記錄零散、尚不足以打包成一個(gè)整體（10個(gè)一包）的小正方體的數(shù)目。③每十個(gè)正方體拼接（打包）成一個(gè)長(zhǎng)方體，同時(shí)甲同學(xué)雙手伸展的十指轉(zhuǎn)為雙手握拳——因?yàn)闆](méi)有零散小正方體的可供甲記錄，多誕生的這一個(gè)包，對(duì)應(yīng)乙就要多伸出一個(gè)手指。

之所以零散擺放，目的是讓學(xué)生感知，不同人的手指（對(duì)應(yīng)計(jì)數(shù)器上不同位上的珠子）記錄的僅僅是不同規(guī)模的“包”的數(shù)目，與“包”所在的位置無(wú)關(guān)。

四、總結(jié)與延伸

為了行文方便，筆者將小棒和小正方體稱為“數(shù)的一階抽象”，將計(jì)數(shù)器和人的手指稱為“數(shù)的二階抽象”，將阿拉伯?dāng)?shù)字等符號(hào)稱為“數(shù)的三階抽象”。

【計(jì)數(shù)器中，十位上的一顆珠子記錄的是小正方體打包（拼接）成的條狀幾何體數(shù)目；個(gè)位上的一顆珠子，記錄的是零散的小正方體的數(shù)目�！�

依據(jù)以上的教學(xué)設(shè)計(jì)，我們不妨對(duì)教具及規(guī)則作個(gè)歸類：

1．小棒和小正方體屬同一類，兩者是介于具體的物和計(jì)數(shù)器中間層次的一階抽象。

2．在十進(jìn)制中，利用小棒這一教具，其打包規(guī)則是：十根小棒成一捆，十捆小棒成一堆，十堆小棒成一盒，……；利用小正方體這一教具，其打包規(guī)則是：十個(gè)小正方體成一條，十條小正方體成一板，十板小正方體成一體（對(duì)應(yīng)《種子課》第35頁(yè)的點(diǎn)線面體的方格圖），……不同規(guī)模的“包”與未打“包”的單個(gè)物體擺放不受位置限制。

3．人的雙手和計(jì)數(shù)器屬于同一類，兩者負(fù)責(zé)計(jì)數(shù)，是數(shù)的二階抽象，是位值制計(jì)數(shù)的最初模型。

4．計(jì)數(shù)器上每一位，對(duì)應(yīng)的是一個(gè)自然人；計(jì)數(shù)器上的一個(gè)珠子，對(duì)應(yīng)的是人的一個(gè)手指。

5．計(jì)數(shù)器上不同的位上的珠子數(shù)，記錄的是不同規(guī)模的“包”的數(shù)目。

6．計(jì)數(shù)器是簡(jiǎn)化、抽象了的人群。

7．在數(shù)的三階抽象中，“一數(shù)對(duì)一符”計(jì)數(shù)法如何向位值制計(jì)數(shù)法過(guò)渡，可通過(guò)圖4闡述。

關(guān)于羅馬數(shù)字X，教師還可同時(shí)結(jié)合18位身份證號(hào)碼中，校驗(yàn)碼的相關(guān)知識(shí)進(jìn)行拓展介紹。

8．計(jì)數(shù)器和小棒雖然作用不同，但二者相關(guān)，所以，在教學(xué)初期，小棒和計(jì)數(shù)器不可簡(jiǎn)單進(jìn)行割裂使用。

至此，我們可以對(duì)“計(jì)數(shù)器每個(gè)數(shù)位最多能撥9顆還是十顆”作如下回答：計(jì)數(shù)器每個(gè)數(shù)位最多能撥十顆，但因?yàn)槭�顆珠子對(duì)應(yīng)的十個(gè)物體打包成了一個(gè)新的計(jì)量整體，原來(lái)每顆珠子對(duì)應(yīng)的零散的單個(gè)物體已經(jīng)沒(méi)有，所以這十顆珠子重新退回原位（歸零），同時(shí)在相鄰的高一位增添一顆珠子來(lái)表示“包”的個(gè)數(shù)。

而對(duì)于2011人教版小學(xué)一年級(jí)（上）數(shù)學(xué)教科書的插圖，不妨將小棒和計(jì)數(shù)器數(shù)位有序?qū)��?yīng)的擺放方式，更改為無(wú)序擺放，以突出各數(shù)位上的數(shù)，計(jì)的是不同規(guī)模的“包”的數(shù)目這一本質(zhì)（如圖5）。

同時(shí)，依據(jù)本文的設(shè)計(jì)，在后續(xù)的進(jìn)位加法和退位減法中，均可以用“打包”、“拆包”來(lái)優(yōu)化“進(jìn)位”、“退位”進(jìn)行教學(xué)。如26+17，十位上的“2”和“1”均描述的是“包”的數(shù)目，相加為“3”個(gè)“包”；“6”和

“7”描述的是小正方體的數(shù)目，但因6+7中可以取出其中十個(gè)小正方體打成一“包”，計(jì)在記錄“包”數(shù)目的十位上，成“4”，剩余零散的“3”計(jì)在記錄小正方體顆數(shù)的個(gè)位上。再如23-15，可以用圖6闡述，同時(shí)闡述游戲階段乙的臺(tái)詞“需要的時(shí)候再來(lái)取”的實(shí)際作用。

為了讓學(xué)生對(duì)位值制有更深的體驗(yàn)，可在學(xué)生參與跳繩活動(dòng)的計(jì)數(shù)時(shí)，直接用讓同學(xué)進(jìn)行每10個(gè)一組的計(jì)數(shù)，如圖7。

需要指出的是，還有些教學(xué)設(shè)計(jì)采用了石塊作為計(jì)數(shù)模型（如圖8）。應(yīng)該說(shuō)，石塊作為教具屬于與小棒、小正方體同類的數(shù)的一階抽象，能夠反應(yīng)的是不同規(guī)模的“包”，但是沒(méi)有量方面的關(guān)聯(lián)，是模糊、不精準(zhǔn)的。如果只有同等規(guī)模的大石塊和同等規(guī)模的小石塊兩種，那么大石塊等價(jià)的是10個(gè)小石塊，還是100、1000個(gè)小石塊？所以筆者還是建議慎用石塊這一計(jì)數(shù)模型。

位值制的概念教學(xué)，完全可以讓一年級(jí)的學(xué)生接觸“百千萬(wàn)”的相關(guān)概念，但對(duì)于加減運(yùn)算的教學(xué)，則需要從“一位”，過(guò)渡到二十以內(nèi)的“兩位”，再過(guò)渡到“三位”及“三位以上”。用十個(gè)字總結(jié)，就是：“理可百千萬(wàn)，技需一二三”。

另外，關(guān)于沿用至今的 “逢十進(jìn)一”的表述，在數(shù)制的學(xué)習(xí)初期，不妨加入“滿十打包（針對(duì)小棒），包數(shù)增一（針對(duì)計(jì)數(shù)器）”的規(guī)則表述，到了一定階段再引入“逢十進(jìn)一”的表述，會(huì)使學(xué)生更易于接受。

參考文獻(xiàn)：

1．《小學(xué)數(shù)學(xué)兩種思維結(jié)合學(xué)習(xí)論——馬芯蘭教學(xué)法的研究與實(shí)踐》，溫寒江主編，第28頁(yè)，教育科學(xué)出版社；

2．《小學(xué)數(shù)學(xué)教師》2018第5期《計(jì)算教學(xué)：思維卷入其中——周衛(wèi)東老師“隔位退位減”教學(xué)賞析》，第50頁(yè)，上海教育出版社；

3．義務(wù)教育教科書《數(shù)學(xué)》一年級(jí)上冊(cè)，第75頁(yè)，人民教育出版社；

4．《小學(xué)數(shù)學(xué)教師》2018年第7、8期合刊《抓整體構(gòu)建，促智慧生成——<認(rèn)識(shí)11~20各數(shù)>教學(xué)設(shè)計(jì)與評(píng)析》，第58頁(yè)，上海教育出版社；

5．《種子課》俞正強(qiáng)著，第35頁(yè)。

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