一元二次函數(shù)知識點匯總

一元二次函數(shù)知識點匯總

1.定義：一般地，如果yax2bxc(a,b,c是常數(shù)，a0)，那么y叫做x的一元二次函數(shù).2.二次函數(shù)yax2的性質(zhì)

(1)拋物線yax2（a0）的頂點是原點，對稱軸是y軸.(2)函數(shù)yax2的圖像與a的符號關(guān)系：

時拋物線開口向上頂點為其最低點；②當(dāng)a0時拋物線開口向下頂點為其最高點3.二次函數(shù)yax2bxc的圖像是對稱軸平行于(包括重合)y軸的拋物線.

0①當(dāng)a4.二次函數(shù)yax2222bxc用配方法可化成：yaxhk的形式，其中hb，k4acb.

2a4a5.拋物線yaxbxc的三要素：開口方向、對稱軸、頂點.①a決定拋物線的開口方向：

當(dāng)a0時，開口向上；當(dāng)a0時，開口向下；a越小，拋物線的開口越大，a越大，拋物線的開口越小。②對稱軸為平行于y軸(或重合)的直線，記作xh.特別地，y軸記作直線x0.③定點是拋物線的最值點[最大值(a0時)或最小值(a0時)]，坐標為(h,k)。6.求拋物線的頂點、對稱軸的方法

2bb4acbb4acb2(1)公式法：yaxbxcax，∴頂點是.（，），對稱軸是直線x2a2a4a2a4a22(2)配方法：運用配方法將拋物線的解析式化為yaxhk的形式，得到頂點為(h,k)，對稱軸是xh.

2(3)運用拋物線的對稱性：由于拋物線是以對稱軸為軸的軸對稱圖形，所以拋物線上縱坐標相等的兩個點

連線的垂直平分線是拋物線的對稱軸，對稱軸與拋物線的交點是頂點.

★用配方法求得的頂點，再用公式法或?qū)ΨQ性進行驗證，才能做到萬無一失★7.拋物線yax2bxc中，a,b,c的作用

(1)a決定開口方向及開口大小，這與yax2中的a完全一樣.

(2)b和a共同決定拋物線對稱軸的位置.由于拋物線yax2bxc的對稱軸是直線x①b0時，對稱軸為y軸；②ba2b2a,故：

0時,對稱軸在y軸左側(cè)；③ba0時,對稱軸在y軸右側(cè).

(3)c的大小決定拋物線yaxbxc與y軸交點的位置.

2當(dāng)x0時，yc，∴拋物線yaxbxc與y軸有且只有一個交點(0，c)：

①c0，拋物線經(jīng)過原點;②c0,與y軸交于正半軸；③c0,與y軸交于負半軸.以上三點中，當(dāng)結(jié)論和條件互換時仍成立.如拋物線的對稱軸在y軸右側(cè)，則ba0.

8.二次函數(shù)由特殊到一般，可分為以下幾種形式：

①yax；②yaxk；③yaxh；④yaxhk；⑤yaxbxc.圖像特征如下：函數(shù)解析式開口方向?qū)ΨQ軸頂點坐標2x0(y軸)yax(0,0)22222yax2k2當(dāng)a0時開口向上a0時k當(dāng)開口向下x0(y軸)xhxhxb2a(0,k)(h,0)(h,k)2yaxhyaxh2yax2bxc4acb，(2a4ab)

9.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式

(1)一般式：yax2bxc.已知圖像上三點或三對x、y的值，通常選擇一般式.(2)頂點式：yaxhk.已知圖像的頂點或?qū)ΨQ軸，通常選擇頂點式.

2(3)交點式：已知圖像與x軸的交點坐標x1、x2，通常選用交點式：yaxx1xx2.10.直線與拋物線的交點（或稱二次函數(shù)與一次函數(shù)關(guān)系）(1)y軸與拋物線yax2bxc得交點為(0,c)

(2)與y軸平行的直線xh與拋物線yax2bxc有且只有一個交點(h,ah(3)拋物線與x軸的交點

ax22bhc).

二次函數(shù)yax2bxc的圖像與x軸的兩個交點的橫坐標x1、x2，是對應(yīng)一元二次方程

bxc0的兩個實數(shù)根.拋物線與x軸的交點情況可以由對應(yīng)的一元二次方程的根的判別式判定：①有兩個交點0拋物線與x軸相交；

②有一個交點(頂點在x軸上)0拋物線與x軸相切；③沒有交點0拋物線與x軸相離.(4)平行于x軸的直線與拋物線的交點

同(3)一樣可能有0個交點、1個交點、2個交點.當(dāng)有2個交點時，兩交點的縱坐標相等，設(shè)縱坐標為k，則橫坐標是ax2bxck的兩個實數(shù)根.而根的存在情況仍如(3)一樣由根的判別式判定。(5)一次函數(shù)ykxnk0的圖像l與二次函數(shù)yax2bxca0的圖像G的交點，由方程組

ykxn的解的數(shù)目來確定：2yaxbxc①方程組有兩組不同的解時l與G有兩個交點;

②方程組只有一組解時l與G只有一個交點；③方程組無解時l與G沒有交點.

(6)拋物線與x軸兩交點之間的距離：若拋物線yax2bxc與x軸兩交點為Ax1，由于0，Bx2，0，

bcxx,xxx1、x2是方程axbxc0的兩個根，故由韋達定理知：1212aa2ABx1x2x1x22x1x224x1x24cbaa2b4aca2a

11．二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系：

22(1)一元二次方程0axbxc就是二次函數(shù)yaxbxc當(dāng)函數(shù)y的值為0時的情況．(2)二次函數(shù)yaxbxc的圖象與x軸的交點有三種情況：有兩個交點、有一個交點、沒有交點；

當(dāng)二次函數(shù)yaxbxc的圖象與x軸有交點時，交點的橫坐標就是當(dāng)y0時自變量x的值，即一元二次方程axbxc0的根．

22(3)當(dāng)二次函數(shù)yaxbxc的圖象與x軸有兩個交點時，則一元二次方程yaxbxc有兩個不

2相等的實數(shù)根；當(dāng)二次函數(shù)yaxbxc的圖象與x軸有一個交點時，則一元二次方程

222axbxc0有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)二次函數(shù)yaxbxc的圖象與x軸沒有交點時，則一元

22二次方程axbxc0沒有實數(shù)根12.二次函數(shù)的應(yīng)用：

(1)二次函數(shù)常用來解決最優(yōu)化問題，這類問題實際上就是求函數(shù)的最大(小)值。一般而言，最大(小)值會在頂點處取得，達到最大(小)值時的x即為頂點橫坐標值，最大(小)值也就是頂點縱坐標值。(2)二次函數(shù)的應(yīng)用包括以下方面：分析和表示不同背景下實際問題中變量之間的二次函數(shù)關(guān)系；運用二次函數(shù)的知識解決實際問題中的最大(小)值．

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姓名二次函數(shù)總復(fù)習(xí)（知識點）

21.定義：一般地，如果yaxbxc(a,b,c是常數(shù)，a0)，那么y叫做x的一元二次函數(shù).

2.二次函數(shù)yax的性質(zhì)

(1)拋物線yax（a0）的頂點是原點，對稱軸是y軸.

(2)函數(shù)yax的圖像與a的符號關(guān)系：

①當(dāng)a0時拋物線開口向上頂點為其最低點；②當(dāng)a0時拋物線開口向下頂點為其最高點3.二次函數(shù)yaxbxc的圖像是對稱軸平行于(包括重合)y軸的拋物線.

22b4acb2.yaxbxcyaxhk，k4.二次函數(shù)用配方法可化成：的形式，其中h22222a4a5.拋物線yaxbxc的三要素：開口方向、對稱軸、頂點.

①a決定拋物線的開口方向：

當(dāng)a0時，開口向上；當(dāng)a0時，開口向下；a越小，拋物線的開口越大，a越大，拋物線的開口越小。②對稱軸為平行于y軸(或重合)的直線，記作xh.特別地，y軸記作直線x0.③定點是拋物線的最值點[最大值(a0時)或最小值(a0時)]，坐標為(h,k)。6.求拋物線的頂點、對稱軸的方法

2b4acb2b4acb2b2（，）(1)公式法：yaxbxcax，∴頂點是，對稱軸是直線x.2a4a2a4a2a2(2)配方法：運用配方法將拋物線的解析式化為yaxhk的形式，得到頂點為(h,k)，對稱軸是xh.

(3)運用拋物線的對稱性：由于拋物線是以對稱軸為軸的軸對稱圖形，所以拋物線上縱坐標相等的兩個點連線的垂直平分線是拋物線的對稱軸，對稱軸與拋物線的交點是頂點.

★用配方法求得的頂點，再用公式法或?qū)ΨQ性進行驗證，才能做到萬無一失★7.拋物線yaxbxc中，a,b,c的作用

(1)a決定開口方向及開口大小，這與yax中的a完全一樣.

(2)b和a共同決定拋物線對稱軸的位置.由于拋物線yaxbxc的對稱軸是直線xaa2222b,故：2a①b0時，對稱軸為y軸；②b0時,對稱軸在y軸左側(cè)；③b0時,對稱軸在y軸右側(cè).(3)c的大小決定拋物線yaxbxc與y軸交點的位置.

當(dāng)x0時，yc，∴拋物線yaxbxc與y軸有且只有一個交點(0，c)：①c0，拋物線經(jīng)過原點;②c0,與y軸交于正半軸；③c0,與y軸交于負半軸.以上三點中，當(dāng)結(jié)論和條件互換時仍成立.如拋物線的對稱軸在y軸右側(cè)，則b0.

a8.二次函數(shù)由特殊到一般，可分為以下幾種形式：

①yax；②yaxk；③yaxh；④yaxhk；⑤yaxbxc.其中①左右移動可得到③，再上下移動可得到④。口訣“左加右減，上加下減”圖像特征如下：函數(shù)解析式開口方向?qū)ΨQ軸頂點坐標x0(y軸)(0,0)yax22222222當(dāng)a0時2yaxh開口向上2yaxhk當(dāng)a0時開口向下yax2kx0(y軸)(0,k)(h,0)(h,k)xhxhbx2a

yaxbxc2b4acb2，()2a4a

9.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式

(1)一般式：yaxbxc.已知圖像上三點或三對x、y的值，通常選擇一般式.(2)頂點式：yaxhk.已知圖像的頂點或?qū)ΨQ軸，通常選擇頂點式.

22(3)交點式：已知圖像與x軸的交點坐標x1、x2，通常選用交點式：yaxx1xx2.

10.拋物線與Y軸的交點(1)y軸與拋物線yaxbxc得交點為(0,c)(2)拋物線與x軸的交點

二次函數(shù)yaxbxc的圖像與x軸的兩個交點的橫坐標x1、x2，是對應(yīng)一元二次方程

22ax2bxc0的兩個實數(shù)根.拋物線與x軸的交點情況可以由對應(yīng)的一元二次方程的根的判別式判定：

①有兩個交點0拋物線與x軸相交；

②有一個交點(頂點在x軸上)0拋物線與x軸相切；③沒有交點0拋物線與x軸相離.

11．二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系：

(1)一元二次方程0axbxc就是二次函數(shù)yaxbxc當(dāng)函數(shù)y的值為0時的情況．

(2)二次函數(shù)yaxbxc的圖象與x軸的交點有三種情況：有兩個交點、有一個交點、沒有交點；

當(dāng)二次函數(shù)yaxbxc的圖象與x軸有交點時，交點的橫坐標就是當(dāng)y0時自變量x的值，即一元二次方程axbxc0的根．

(3)當(dāng)二次函數(shù)yaxbxc的圖象與x軸有兩個交點時，則一元二次方程yaxbxc有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)二次函數(shù)yaxbxc的圖象與元二次方程axbxc0沒有實數(shù)根

12.二次函數(shù)的應(yīng)用：

(1)二次函數(shù)常用來解決最優(yōu)化問題，這類問題實際上就是求函數(shù)的最大(小)值。一般而言，最大(小)值會在頂點處取得，達到最大(小)值時的x即為頂點橫坐標值，最大(小)值也就是頂點縱坐標值。(2)二次函數(shù)的應(yīng)用包括以下方面：分析和表示不同背景下實際問題中變量之間的二次函數(shù)關(guān)系；運用二次函數(shù)的知識解決實際問題中的最大(小)值．

2附：將二次函數(shù)的一般式y(tǒng)axbxc化為頂點式y(tǒng)axhk的方法：(可用配方法和公式法)

22222222x軸有一個交點時，則一元二次方程

ax2bxc0有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)二次函數(shù)yax2bxc的圖象與x軸沒有交點時，則一

22

典型例題精講：某商人如果將進貨單價為8元的商品按每件10元出售，每天可銷售100件，現(xiàn)在他采用提高出售價格，減少進貨量的辦法增加利潤，已知這種商品每漲價一元，其銷售量將減少10件，問他將出售價定為多少元時，才能使每天所獲利潤最大？并且求出最大利潤是多少？

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