全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽初[1]..

全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽初賽模擬試題

一、選擇題（共8小題，每小題5分，滿分40分）

1．某校學(xué)生100人參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，其中至少有女生9人，又知參賽者中任何10人中至少有1名男生，則參賽男生人數(shù)為（）

（A）89（B）91（C）82（D）63

22．記x1212121212，則x1是（）

48256（A）一個(gè)奇數(shù)（B）一個(gè)質(zhì)數(shù)（C）一個(gè)整數(shù)的平方（D）一個(gè)整數(shù)的立方3．已知y|x1|2|x||x2|，且2x1，則y的最大值與最小值的和是（）（A）1（B）2（C）4（D）54．在△ABC中，AB=AC=7，BC=4，點(diǎn)M在AB上，且BM=于E，交CA延長(zhǎng)線于F，則EF的長(zhǎng)為（）（A）55（B）

1AB，過(guò)M做EF⊥AB，交BC3533（C）45（D）6535．拋物線yax2與直線x1，x2，y1，y2圍成的正方形有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()（A）

1111a1（B）a2（C）a1（D）a242246．如圖，直線l1∥l2∥l3∥l4，相鄰兩條平行線間的距離都等于h，若正方形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)分別在四條直線上，則它的面積等于（）

（A）4h2（B）5h2（C）42h2（D）52h2

7．一個(gè)正方體的表面涂滿了顏色，按如圖所示將它切成27個(gè)

大小相等的小立方塊，設(shè)其中僅有i個(gè)面（i=1，2，3）涂有顏色的小立方塊的個(gè)數(shù)為xi則x1,x2,x3之間的關(guān)系為（）（A）x1－x2+x3=1（B）x1+x2－x3=1（C）x1+x2－x3=2（D）x1－x2+x3=2

8．已知x是無(wú)理數(shù)，且x1x3是有理數(shù)，在上述假設(shè)下，有人提出了以

下四個(gè)結(jié)論：（1）x2是有理數(shù)；（2）x1x3是無(wú)理數(shù)；（3）x1是有理數(shù)；（4）x122是無(wú)理數(shù)并說(shuō)它們中有且只有n個(gè)正確的，那么n等于（）

（A）2（B）1（C）2（D）4二、填空題（共6小題，每小題5分，滿分30分）

9．從－2，－1，1，2這四個(gè)數(shù)中，任取兩個(gè)不同的數(shù)作為一次函數(shù)ykxb的系數(shù)k，b，

則一次函數(shù)ykxb的圖象不經(jīng)過(guò)第四象限的概率是________；

10．有一張矩形紙片ABCD，AD=9，AB=12，將紙片折疊使A、C兩點(diǎn)重合，那么折痕長(zhǎng)是；

11．已知xx10，則x2x201*＝；

12．已知ＡＢ是半徑為1的圓Ｏ的直徑,ＣＤ是過(guò)ＯＢ中點(diǎn)的弦,且ＣＤ⊥ＡＢ,以ＣＤ為直徑的圓交ＡＢ于Ｅ,ＤＥ的延長(zhǎng)線交圓Ｏ于Ｆ,連結(jié)ＣＦ,則ＣＦ=.；

232x1x2aa0且a，則413．設(shè)2的值為；22xx1xx114．已知四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)為A（8,8），B（－4,3），C（－2，－5），D（10，－2），則四邊形在第一象限內(nèi)的部分的面積是。

三、解答題（共4題，分值依次為12分、12分、12分和14分，滿分50分）

15．已知：如圖，在△ABC中，D為AB邊上一點(diǎn)，∠A=36，AC=BC，AC＝ABAD。

（1）若AB=1，求AC的值；

（2）試構(gòu)造一個(gè)等腰梯形，該梯形連同它的兩條對(duì)角線，得到了8個(gè)三角形，要求構(gòu)造出的

圖形中有盡可能多的等腰三角形。（標(biāo)明各角的度數(shù)）

C2A

DB

16．已知實(shí)數(shù)ｘ,ｙ滿足方程(ｘ2+2ｘ+3)(3y2+2ｙ+1)=

2

4,求ｘ+ｙ的值.17．有A、B、C、D、E五位同學(xué)依次站在某圓周上，每人手上分別拿有小旗16、8、12、4、15面，現(xiàn)要使每人手中的小旗數(shù)相等.要求相鄰的同學(xué)之間相互調(diào)整(不相鄰的不作相互調(diào)整)，設(shè)A給B有x1面(x1>0時(shí)即為A給B有x1面；x1

擴(kuò)展閱讀：全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)(初1)第01講 有理數(shù)的巧算

第一講有理數(shù)的巧算

有理數(shù)運(yùn)算是中學(xué)數(shù)學(xué)中一切運(yùn)算的基礎(chǔ)．它要求同學(xué)們?cè)诶斫庥欣頂?shù)的有關(guān)概念、法則的基礎(chǔ)上，能根據(jù)法則、公式等正確、迅速地進(jìn)行運(yùn)算．不僅如此，還要善于根據(jù)題目條件，將推理與計(jì)算相結(jié)合，靈活巧妙地選擇合理的簡(jiǎn)捷的算法解決問(wèn)題，從而提高運(yùn)算能力，發(fā)展思維的敏捷性與靈活性．

1．括號(hào)的使用

在代數(shù)運(yùn)算中，可以根據(jù)運(yùn)算法則和運(yùn)算律，去掉或者添上括號(hào)，以此來(lái)改變運(yùn)算的次序，使復(fù)雜的問(wèn)題變得較簡(jiǎn)單．例1計(jì)算：

分析中學(xué)數(shù)學(xué)中，由于負(fù)數(shù)的引入，符號(hào)“+”與“-”具有了雙重涵義，它既是表示加法與減法的運(yùn)算符號(hào)，也是表示正數(shù)與負(fù)數(shù)的性質(zhì)符號(hào)．因此進(jìn)行有理數(shù)運(yùn)算時(shí)，一定要正確運(yùn)用有理數(shù)的運(yùn)算法則，尤其是要注意去括號(hào)時(shí)符號(hào)的變化．

注意在本例中的乘除運(yùn)算中，常常把小數(shù)變成分?jǐn)?shù)，把帶分?jǐn)?shù)變成假分?jǐn)?shù)，這樣便于計(jì)算．例2計(jì)算下式的值：

211×555+445×789+555×789+211×445．

分析直接計(jì)算很麻煩，根據(jù)運(yùn)算規(guī)則，添加括號(hào)改變運(yùn)算次序，可使計(jì)算簡(jiǎn)單．本題可將第一、第四項(xiàng)和第二、第三項(xiàng)分別結(jié)合起來(lái)計(jì)算．解原式=(211×555+211×445)+(445×789+555×789)=211×(555+445)+(445+555)×789=211×1000+1000×789=1000×(211+789)=1000000．

說(shuō)明加括號(hào)的一般思想方法是“分組求和”，它是有理數(shù)巧算中的常用技巧．

例3計(jì)算：S=1-2+3-4++(-1)n+1n．

分析不難看出這個(gè)算式的規(guī)律是任何相鄰兩項(xiàng)之和或?yàn)椤?”或?yàn)椤?1”．如果按照將第一、第二項(xiàng)，第三、第四項(xiàng)，，分別配對(duì)的方式計(jì)算，就能得到一系列的“-1”，于是一改“去括號(hào)”的習(xí)慣，而取“添括號(hào)”之法．

解S=(1-2)+(3-4)++(-1)n+1n．下面需對(duì)n的奇偶性進(jìn)行討論：

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，上式是n／2個(gè)(-1)的和，所以有

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，上式是(n-1)／2個(gè)(-1)的和，再加上最后一項(xiàng)(-1)n+1n=n，所以有

例4在數(shù)1，2，3，，1998前添符號(hào)“+”和“-”，并依次運(yùn)算，所得可能的最小非負(fù)數(shù)是多少？

分析與解因?yàn)槿舾蓚�(gè)整數(shù)和的奇偶性，只與奇數(shù)的個(gè)數(shù)有關(guān)，所以在1，2，3，，1998之前任意添加符號(hào)“+”或“-”，不會(huì)改變和的奇偶性．在1，2，3，，1998中有1998÷2個(gè)奇數(shù)，即有999個(gè)奇數(shù)，所以任意添加符號(hào)“+”或“-”之后，所得的代數(shù)和總為奇數(shù)，故最小非負(fù)數(shù)不小于1．

現(xiàn)考慮在自然數(shù)n，n+1，n+2，n+3之間添加符號(hào)“+”或“-”，顯然

n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0．

這啟發(fā)我們將1，2，3，，1998每連續(xù)四個(gè)數(shù)分為一組，再按上述規(guī)則添加符號(hào)，即

(1-2-3+4)+(5-6-7+8)++(1993-1994-1995+1996)-1997+1998=1．所以，所求最小非負(fù)數(shù)是1．

說(shuō)明本例中，添括號(hào)是為了造出一系列的“零”，這種方法可使計(jì)算大大簡(jiǎn)化．2．用字母表示數(shù)

我們先來(lái)計(jì)算(100+2)×(100-2)的值：

(100+2)×(100-2)=100×100-2×100+2×100-4

=1002-22．

這是一個(gè)對(duì)具體數(shù)的運(yùn)算，若用字母a代換100，用字母b代換2，上述運(yùn)算過(guò)程變?yōu)?/p>

(a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2．

于是我們得到了一個(gè)重要的計(jì)算公式

(a+b)(a-b)=a2-b2，①

這個(gè)公式叫平方差公式，以后應(yīng)用這個(gè)公式計(jì)算時(shí)，不必重復(fù)公式的證明過(guò)程，可直接利用該公式計(jì)算．例5計(jì)算3001×2999的值．解3001×2999=(3000+1)(3000-1)

=30002-12=8999999．

例6計(jì)算103×97×10009的值．解原式=(100+3)(100-3)(10000+9)

=(1002-9)(1002+9)=1004-92=99999919．

例7計(jì)算：

分析與解直接計(jì)算繁．仔細(xì)觀察，發(fā)現(xiàn)分母中涉及到三個(gè)連續(xù)整數(shù)：12345，12346，12347．可設(shè)字母n=12346，那么12345=n-1，12347=n+1，于是分母變?yōu)閚2-(n-1)(n+1)．應(yīng)用平方差公式化簡(jiǎn)得

n2-(n2-12)=n2-n2+1=1，

即原式分母的值是1，所以原式=24690．例8計(jì)算：

(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)．

分析式子中2，22，24，每一個(gè)數(shù)都是前一個(gè)數(shù)的平方，若在(2+1)前面有一個(gè)(2-1)，就可以連續(xù)遞進(jìn)地運(yùn)用(a+b)(a-b)=a2-b2了．解原式=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)×(216+1)(232+1)=(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)×(232+1)=(24-1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)==(232-1)(232+1)=264-1．例9計(jì)算：

分析在前面的例題中，應(yīng)用過(guò)公式

(a+b)(a-b)=a2-b2．

這個(gè)公式也可以反著使用，即

a2-b2=(a+b)(a-b)．

本題就是一個(gè)例子．

通過(guò)以上例題可以看到，用字母表示數(shù)給我們的計(jì)算帶來(lái)很大的益處．下面再看一個(gè)例題，從中可以看到用字母表示一個(gè)式子，也可使計(jì)算簡(jiǎn)化．

例10計(jì)算：

我們用一個(gè)字母表示它以簡(jiǎn)化計(jì)算．

3．觀察算式找規(guī)律

例11某班20名學(xué)生的數(shù)學(xué)期末考試成績(jī)?nèi)缦拢��?qǐng)計(jì)算他們的總分與平均分．

87，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89，92，95，88．

分析與解若直接把20個(gè)數(shù)加起來(lái)，顯然運(yùn)算量較大，粗略地估計(jì)一下，這些數(shù)均在90上下，所以可取90為基準(zhǔn)數(shù)，大于90的數(shù)取“正”，小于90的數(shù)取“負(fù)”，考察這20個(gè)數(shù)與90的差，這樣會(huì)大大簡(jiǎn)化運(yùn)算．所以總分為

90×20+(-3)+1+4+(-2)+3+1+(-1)+(-3)+2+(-4)+0+2+(-2)+0+1+(-4)+(-1)+2+5+(-2)=1800-1=1799，

平均分為90+(-1)÷20=89.95．

例12計(jì)算1+3+5+7++1997+1999的值．

分析觀察發(fā)現(xiàn)：首先算式中，從第二項(xiàng)開(kāi)始，后項(xiàng)減前項(xiàng)的差都等于2；其次算式中首末兩項(xiàng)之和與距首末兩項(xiàng)等距離的兩項(xiàng)之和都等于201*，于是可有如下解法．解用字母S表示所求算式，即

S=1+3+5++1997+1999．①

再將S各項(xiàng)倒過(guò)來(lái)寫(xiě)為

S=1999+1997+1995++3+1．②

將①，②兩式左右分別相加，得

2S=(1+1999)+(3+1997)++(1997+3)+(1999+1)=201*+201*++201*+201*(500個(gè)201*)=201*×500．從而有S=500000．

說(shuō)明一般地，一列數(shù)，如果從第二項(xiàng)開(kāi)始，后項(xiàng)減前項(xiàng)的差都相等(本題3-1=5-3=7-5==1999-1997，都等于2)，那么，這列數(shù)的求和問(wèn)題，都可以用上例中的“倒寫(xiě)相加”的方法解決．例13計(jì)算1+5+52+53++599+5100的值．

分析觀察發(fā)現(xiàn)，上式從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)都是它前面一項(xiàng)的5倍．如果將和式各項(xiàng)都乘以5，所得新和式中除個(gè)別項(xiàng)外，其余與原和式中的項(xiàng)相同，于是兩式相減將使差易于計(jì)算．解設(shè)

S=1+5+52++599+5100，①

所以

5S=5+52+53++5100+5101．②

②①得

4S=5101-1，

說(shuō)明如果一列數(shù)，從第二項(xiàng)起每一項(xiàng)與前一項(xiàng)之比都相等(本例中是都等于5)，那么這列數(shù)的求和問(wèn)題，均可用上述“錯(cuò)位相減”法來(lái)解決．例14計(jì)算：

分析一般情況下，分?jǐn)?shù)計(jì)算是先通分．本題通分計(jì)算將很繁，所以我們不但不通分，反而利用如下一個(gè)關(guān)系式

來(lái)把每一項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，然后再計(jì)算，這種方法叫做拆項(xiàng)法．

解由于

所以

說(shuō)明本例使用拆項(xiàng)法的目的是使總和中出現(xiàn)一些可以相消的相反數(shù)的項(xiàng)，這種方法在有理數(shù)巧算中很常用．

練習(xí)一

1．計(jì)算下列各式的值：

(1)-1+3-5+7-9+11--1997+1999；(2)11+12-13-14+15+16-17-18++99+100；(3)1991×1999-1990×201*；

(4)4726342+4726352-472633×472635-472634×472636；

(6)1+4+7++244；

2．某小組20名同學(xué)的數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)成績(jī)?nèi)缦�，試�?jì)算他們的平均分．81，72，77，83，73，85，92，84，75，63，76，97，80，90，76，91，86，78，74，85．

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