初三圓知識點匯總

第五章圓知識要點解析

知識點1圓的有關概念

（1）圓心和半徑：圓心確定位置，半徑確定大小。等圓或同圓的半徑都相等。（2）（3）（4）（5）

弦：圓上任意兩點之間的線段。直徑是圓中最長的弦。

�。簣A上任意兩點之間的部分。完全重合的弧叫做等�。◤娬{度數相等且長度相等）三角形的外心是三邊垂直平分線的交點，它到三個頂點的距離相等。經過不在同一條直線上的三個點唯一確定一個圓。

【常作輔助線1】連接圓心和圓上的點，形成半徑。

⌒上，且

1．（201*玉林市、防城港市）如圖1，四邊形PAOB是扇形OMN的內接矩形，頂點P在MN

⌒上移動時，矩形PAOB的形狀、大小隨之變化，則不與M，N重合，當P點在MNAB的長度（）

Ａ．變大

Ｂ．變小

Ｃ．不變Ｄ．不能確定

ＮＰＢCD

BA

EABOOＯＭＡ

D圖1圖2C

圖32．（201*江蘇揚州）如圖2，AB為⊙O直徑，點C、D在⊙O上，已知∠BOC＝70°，AD∥OC，則∠AOD＝__________．

3．如圖AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的弦，AB與CD的延長線交于點E，且AB＝2DE，∠E＝18°，求∠AOC的度數。

知識點2圓的有關性質

（1）圓是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形。

(2)弧、弦、圓心角的關系：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角，兩條弧，兩條弦中，有一組量相等，那么它們所對的其余各組量都分別相等。

(3)垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，也平分弦所對的優(yōu)弧和劣弧。

(4)圓周角的性質：①同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于它所對的圓心角的一半

②直徑所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑。

【解題方法1】半徑、弦長、弓高、圓心到弦的距離這四個量的關系是只要知道其中的兩個就能求出另兩個。

【解題方法2】當弦長=R時，弦所對的圓心角=60°,當弦長=2R時，弦所對的圓心角=90°當弦長=3R時，弦所對的圓心角=120°，一條弦所對的圓周角中，同側相等，異側互補。

用心愛心專心

【圓周角定理1的理解】①同弧所對的圓周角相等；②等弧所對的圓心角相等；③圓周角的度數等于它所對弧所對圓心角的一半；④圓周角的度數等于它所對弧度數的一半；

【常作輔助線2】過圓心向弦作垂線，形成垂徑定理的條件，構造直角三角形應用勾股定理進行計算�！境Ｗ鬏o助線3】利用直徑，構造直角。

4.（201*白銀）高速公路的隧道和橋梁最多．如圖3是一個隧道的橫截面，若它的形狀是以O為圓心的圓的一部分，路面AB=10米，凈高CD=7米，則此圓的半徑OA=（）

A．5B．7C．D．

57CC3737A

ＯOD圖4

BＡAODB

Ｂ圖5圖6圖7

圖8

5.（201*連云港）如圖5，將半徑為2cm的圓形紙片折疊后，圓弧恰好經過圓心O，則折痕AB的長為

（）

A．2cm

B．3cm

C．23cm

D．25cm

6.已知⊙O的半徑為R，弦AB的長也是R，則∠AOB的度數是________．

7.（201*黃石）如圖6，AB為⊙O的直徑，點C，D在⊙O上，BAC50，則ADC．8.（201*湖北黃石）如圖7，⊙O中，OA⊥BC,∠AOB＝60°,則∠ADC＝.⌒

9.（201*黃岡）如圖8，⊙O中，MAN的度數為320°，則圓周角∠MAN＝___________

10.如圖9，在△ABC中，AD⊥BC于D，以AE為直徑畫圓，經過點B、C，求證：∠BAE=∠CAD

11．(201*年溫州)如圖10，已知正方形紙片ABCD的邊長為8，⊙0的半徑為2，圓心在正方形的中心上，將紙片按圖示方式折疊，使EA′恰好與⊙0相切于點A′(△EFA′與⊙0除切點外無重疊部分)，延長FA′交CD邊于點G，則A′G的長是

知識點3與圓有關的位置關系

（1）點與圓的位置關系：圓的半徑為r,點到圓心的距離為d①點在圓內dr②點在圓上內dr③點在圓外dr（2）直線與圓的位置關系圓的半徑為r,直線到圓的距離為d

①直線與圓相交點在圓內dr②直線與圓相切點在圓內dr③直線與圓相離點在圓內

用心愛心專心

2

HM圖9

圖

dr

（1）圓與圓的位置關系①兩圓外離dRr②兩圓外切dRr③兩圓相交

RrdRr④兩圓內切dRr⑤兩圓內含0dRr

（2）切線的性質：圓的切線垂直于過切點的半徑。

（3）切線的判定：經過半徑的外端點且垂直于該半徑的直線是圓的切線。（4）切線長定義：從圓外一點作圓的切線，該點到切點的距離叫切線長。

（5）切線長定理：從圓外一點作出圓的兩條切線，它們的切線長相等，且該點到圓心的連線平分兩切線的夾角。

（6）三角形的內心：是三個角的平分線的交點，它到三邊的距離相等。

【解題方法3】證切線的兩種方法：①當直線與圓有交點字母時，連接，證垂直②當直線與圓無交點字母時，作垂直，證dr

【解題方法4】求線段的長：把要求的線段放進一個已知一邊長的△中，再找一個已知三邊長的△，證相似，運用比例線段計算。

【常作輔助線4】連接圓心和切點得垂直。

【常作輔助線5】當直徑垂直于圓內一條不是弦的線段時，延長該線段與圓相交，形成直徑垂直于弦�！境Ｗ鬏o助線6】遇三角形的內心時，連接內心和三角形的頂點，形成角平分線。

12．（201*邵陽市）已知⊙O的半徑為3cm，點P是直線l上一點，OP長為5cm，則直線l與⊙O的位置關系為（）

DA.相交B.相切C.相離D.相交、相切、相離都有可能13．（201*山東淄博）如圖11，D是半徑為R的⊙O上一點，過點D作⊙O的切線交直徑AB的延長線于點C，下列四個條件：①AD＝CD；②∠A＝30°；③∠ADC＝120°；④DC＝3R．其中,使得BC＝R的有（）

A．①②B。①③④C。②③④D。①②③④14．（201*仙桃）如圖12，AB為⊙O的直徑，D是⊙O上的一點，過O點作AB的垂線交AD于點E，交BD的延長線于點C，F(xiàn)為CE上一點，且FD＝FE．(1)請?zhí)骄縁D與⊙O的位置關系，并說明理由；(2)若⊙O的半徑為2，BD＝3，求BC的長．

AAOBC

圖C11FDEO

B

圖12

15．如圖13，P是∠BAC的平分線上一點，PD⊥AC，垂足為D.AB與以P為圓心、PD為半徑的圓相切嗎？為什么？

16．已知如圖14，△ABC內接于⊙O，AD是⊙O的直徑，CE⊥AD，點E為垂足，CE的延長線交AB于點F。求證：ACABAF

A2BPCAD圖13

OFBEDC

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3

圖

17．如圖15，△ABC中，I為內心，AI交邊BC于點D，交△ABC的外接圓于點E，連結BE，試說明：BE=EC=IE。

AIBDC18．（201*湖南長沙）已知⊙O1、⊙O2的半徑分別是r12、r24，若兩圓相交，則圓心距O1O2可E圖15

能取的值是（）．

A、2B、4C、6D、8知識點4圓中的計算

nR（1）弧長公式：l

180（2）扇形面積：SnR3602或S12lR

（3）圓錐的側面積：S側rl（ｒ指底面圓的半徑，l指母線長）

【解題方法5】在扇形中，弧長、半徑、圓心角、面積四個量中只要已知兩個量就能求出其余兩個�！窘忸}方法6】在圓錐的側面展開圖中，底面圓周長等于扇形弧長。

19．（201*宿遷市）如圖16，在紙上剪下一個圓形和一個扇形的紙片，使之恰好能圍成一個圓錐模型．若

圓的半徑為r，扇形的半徑為R，扇形的圓心角等于120°，則r與R之間的關系是

（）A．R＝2r

B．R＝3rC．R＝3r

D．R＝4r

20．一個扇形的圓心角為90°．半徑為2，則這個扇形的弧長為______．(結果保留)21.（201*浙江寧波）如圖，AB是⊙O的直徑，弦DE垂直平分半徑OA，C為垂足，弦DF與半徑OB相交于點P，連結EF、EO，若DE=23，∠DPA=45°.(1)求⊙O的半徑；

(2)求圖中陰影部分的面積.

AD圖16

COPBFE圖17

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擴展閱讀：初三《圓》章節(jié)知識點總結201*.11.4

《圓》章節(jié)知識點復習

《圓》章節(jié)知識點復習

一、圓的概念

集合形式的概念：1、圓可以看作是到定點的距離等于定長的點的集合；2、圓的外部：可以看作是到定點的距離大于定長的點的集合；3、圓的內部：可以看作是到定點的距離小于定長的點的集合軌跡形式的概念：

1、圓：到定點的距離等于定長的點的軌跡就是以定點為圓心，定長為半徑的圓；

（補充）2、垂直平分線：到線段兩端距離相等的點的軌跡是這條線段的垂直平分線（也叫

中垂線）；

3、角的平分線：到角兩邊距離相等的點的軌跡是這個角的平分線；

4、到直線的距離相等的點的軌跡是：平行于這條直線且到這條直線的距離等于定長的兩條直線；

5、到兩條平行線距離相等的點的軌跡是：平行于這兩條平行線且到兩條直線距離都相等的一條直線。

二、點與圓的位置關系

1、點在圓內dr點C在圓內；2、點在圓上dr點B在圓上；3、點在圓外dr點A在圓外；

三、直線與圓的位置關系

1、直線與圓相離dr無交點；2、直線與圓相切dr有一個交點；3、直線與圓相交dr有兩個交點；

ArBdCdOrdd=rrd

《圓》章節(jié)知識點復習

四、圓與圓的位置關系

外離（圖1）無交點dRr；外切（圖2）有一個交點dRr；相交（圖3）有兩個交點RrdRr；內切（圖4）有一個交點dRr；內含（圖5）無交點dRr；

dR圖1rRdr圖2dR圖3r

d

五、垂徑定理

圖4RrdrR圖5垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦且平分弦所對的弧。

推論1：（1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條��；（2）弦的垂直平分線經過圓心，并且平分弦所對的兩條��；

（3）平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧以上共4個定理，簡稱2推3定理：此定理中共5個結論中，只要知道其中2個即可推出其它3個結論，即：

①AB是直徑②ABCD③CEDE④弧BC弧BD⑤弧AC弧AD中任意2個條件推出其他3個結論。推論2：圓的兩條平行弦所夾的弧相等。即：在⊙O中，∵AB∥CD∴弧AC弧BD

COABCBADOED《圓》章節(jié)知識點復習

六、圓心角定理

圓心角定理：同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弦相等，所對的弧相等，弦心距相等。此定理也稱1推3定理，即上述四個結論中，

只要知道其中的1個相等，則可以推出其它的3個結論，即：①AOBDOE；②ABDE；

③OCOF；④弧BA弧BD

七、圓周角定理

1、圓周角定理：同弧所對的圓周角等于它所對的圓心的角的一半。即：∵AOB和ACB是弧AB所對的圓心角和圓周角∴AOB2ACB2、圓周角定理的推論：

推論1：同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧是等��；

即：在⊙O中，∵C、D都是所對的圓周角∴CD

推論2：半圓或直徑所對的圓周角是直角；圓周角是直角所對的弧是半圓，所對的弦是直徑。

即：在⊙O中，∵AB是直徑或∵C90∴C90∴AB是直徑

推論3：若三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形。

即：在△ABC中，∵OCOAOB

∴△ABC是直角三角形或C90

注：此推論實是初二年級幾何中矩形的推論：在直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半的逆定理。

BOACAODCEFBCBOADCBOACBOA《圓》章節(jié)知識點復習

八、圓內接四邊形

圓的內接四邊形定理：圓的內接四邊形的對角互補，外角等于它的內對角。即：在⊙O中，

CD∵四邊形ABCD是內接四邊形

∴CBAD180BD180DAEC

九、切線的性質與判定定理

（1）切線的判定定理：過半徑外端且垂直于半徑的直線是切線；兩個條件：過半徑外端且垂直半徑，二者缺一不可即：∵MNOA且MN過半徑OA外端∴MN是⊙O的切線

OBAE（2）性質定理：切線垂直于過切點的半徑（如上圖）推論1：過圓心垂直于切線的直線必過切點。推論2：過切點垂直于切線的直線必過圓心。以上三個定理及推論也稱二推一定理：

即：①過圓心；②過切點；③垂直切線，三個條件中知道其中兩個條件就能推出最后一個。

十、切線長定理切線長定理：

從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這點和圓心的連線平分兩條切線的夾角。

BMAN即：∵PA、PB是的兩條切線∴PAPB

POPO平分BPA

A《圓》章節(jié)知識點復習

十一、圓冪定理

（1）相交弦定理：圓內兩弦相交，交點分得的兩條線段的乘積相等。即：在⊙O中，∵弦AB、CD相交于點P，∴PAPBPCPD

（2）推論：如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項。

即：在⊙O中，∵直徑ABCD，∴CE2AEBE

（3）切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項。即：在⊙O中，∵PA是切線，PB是割線∴PAPCPB

（4）割線定理：從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等（如上圖）。

即：在⊙O中，∵PB、PE是割線∴PCPBPDPE

十二、兩圓公共弦定理

圓公共弦定理：兩圓圓心的連線垂直并且平分這兩個圓的公共弦。

如圖：O1O2垂直平分AB。

即：∵⊙O1、⊙O2相交于A、B兩點∴O1O2垂直平分AB十三、圓的公切線

兩圓公切線長的計算公式：

（1）公切線長：RtO1O2C中，AB2CO12O1O22CO22；

CO22BOPCADCBOEDAADPCOBEAO1BO2的

ABO1《圓》章節(jié)知識點復習

（2）外公切線長：CO2是半徑之差；內公切線長：CO2是半徑之和。十四、圓內正多邊形的計算（1）正三角形

在⊙O中△ABC是正三角形，有關計算在RtBOD中進行：

OD:BD:OB1:3:2；

BOACD

（2）正四邊形

同理，四邊形的有關計算在RtOAE中進行，OE:AE:OA1:1:2：

（3）正六邊形

同理，六邊形的有關計算在RtOAB中進行，AB:OB:OA1:3:2.

BOABODCE

十五、扇形、圓柱和圓錐的相關計算公式1、扇形：（1）弧長公式：lnR180AA；

OSl（2）扇形面積公式：SnR360212lR

Bn：圓心角R：扇形多對應的圓的半徑l：扇形弧長S：扇形面積

《圓》章節(jié)知識點復習

2、圓柱：

（1）圓柱側面展開圖

S表S側2S底=2rh2r2

（2）圓柱的體積：Vr2h

（2）圓錐側面展開圖

（1）S表S側S底=Rrr2（2）圓錐的體積：V13r2h

ADD1母線長底面圓周長BCC1B1ORCArB

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