大一上高數(shù)期末考試題

大一高數(shù)練習(xí)題

機(jī)械學(xué)院學(xué)習(xí)部編輯組

一.填空∶

1.x3112.由曲線y=

11x2dx=______________。

和x=所圍區(qū)域繞x軸旋轉(zhuǎn)一周，則旋轉(zhuǎn)體

2xsinx,y=0

的體積為_(kāi)__________。

43.

4x31cosxdx=_____________。

4.2tan3xsec2xdx=_____________。5.sin2x1cosxn2dx______________。

6、lim(x22x2x22x2)__________________。7、設(shè)f(x)arctan8、設(shè)f(x)9、lim(xox1x1,則dy________________。

=_____________xxx2，則f1

1x。

xxa1xa2...ann)________________)。

10、設(shè)

1ax0xsinf(x),則當(dāng)(a0)時(shí)，f(x)在_____處連xx00續(xù)；當(dāng)(a0)時(shí)，f(x)在________處可微。

11、過(guò)P(1,0)作曲線yx3的切線，則切線方程為_(kāi)_____。12、設(shè)f(x)x3sinxcos3x,則13、設(shè)f(x)xn1x2f(201*)(0)=_________。

，則f(n)(0)_________。

二．單項(xiàng)選擇∶

1．下列積分中，收斂的是（）(A)(C)021dx1x2dxx12;

(B)dxp為常數(shù)；0xp;

(D)1xdx20ln1x.

2.下列廣義積分中，發(fā)散的為()(A)1dx01x;

(B)1dx0xtanx;

dx(C);

2x1.2(D)2dxxlnx2.

3.下列廣義積分中，收斂的是()(A)(C)11211xdx

exdx(B)21x101xln1xdx

1dx3x(D)三．計(jì)算下列極限∶

1．

limxx1cosx021arctanxsint2dt.

t2sinxeln1tdt2.limx0xtanx0

四．計(jì)算∶

t2xfuduad2y1、設(shè)f(u)可導(dǎo)，且f(u)≠0.令,求2.。

tdx2yfufudua2、設(shè)y1xey,求y,y。y=exey;

yyy=

ey1xey;

ye2y2y2yyyyyyyeexeey1xeeexeyye1xe=y=y21xey=y21xe1xed2ydx2=

2e2yxe3y1xey3，求

dydtdydx3、設(shè){

dxdtxtcostytsint，。

dydxcosttsint;sinttcost;=

sinttcostcosttsint

d2yt22dsinttcost==3dx2dxcosttsintcosttsint4、設(shè)yy=

f(x),求

xdx1dy，

d2ydx2。

dydx=

11d2yfx12;2xxdxd11=fx12dxxx

=fx111212fx3xxxx

f(x)=2，求

(f(x)ax)=0，且lim5、設(shè)limxxa的值。

五.計(jì)算∶

1．1x110x83x42dx.

2．x1x2arctanxdx.

1ln1xdx.3．02x4．設(shè)

1xx1,f(x)=x,0,dxx1x0x1,,x0求ftdt.

5.6.42x2x24

arctanxx2dx

六.求由y2xx2,y0,yx所圍圖形的面積A，并求該圖形繞y軸所

得旋轉(zhuǎn)體的體積V.

七.設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù),在(a,b)內(nèi)f"x單調(diào)減少,證明:

abfxdxfafb2ba

bagxdx0.證明存在a,b使得

八.設(shè)f(x),g(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù),且fgxdxg.。

b九.設(shè)f(x)在a,上連續(xù)，f(a)A,xlimf(x)Ba,求證：對(duì)

任意c(A,B),必存在a,，有f()c證：fx在a,連續(xù)，xlim

f(x)B

存在任意0，x，使x0x時(shí)

有f(x0)B即f(x0)B

取BC,則fx0c;又faA,

命題成立。

Acf(x0)

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大一上學(xué)期高數(shù)期末考試卷

一、單項(xiàng)選擇題(本大題有4小題,每小題4分,共16分)1.設(shè)f(x)cosx(xsinx),則在x0處有(　).

（A）f(0)2（B）f(0)1（C）f(0)0（D）f(x)不可導(dǎo).

2.設(shè)(x)1x1x，(x)333x，則當(dāng)x1時(shí)（　　）.

（A）(x)與(x)是同階無(wú)窮小，但不是等價(jià)無(wú)窮��；（B）(x)與(x)是等價(jià)無(wú)窮��；

（C）(x)是比(x)高階的無(wú)窮��；（D）(x)是比(x)高階的無(wú)窮小.

x3.若

F(x)0(2tx)f(t)dt，其中f(x)在區(qū)間上(1,1)二階可導(dǎo)且

f(x)0，則（）.

（A）函數(shù)F(x)必在x0處取得極大值；（B）函數(shù)F(x)必在x0處取得極小值；

（C）函數(shù)F(x)在x0處沒(méi)有極值，但點(diǎn)(0,F(0))為曲線yF(x)的拐點(diǎn)；（D）函數(shù)F(x)在x0處沒(méi)有極值，點(diǎn)(0,F(0))也不是曲線yF(x)的拐點(diǎn)。4.

設(shè)f(x)是連續(xù)函數(shù)，且f(x)x210f(t)dt,則f(x)(x2x2（A）2（B）22（C）x1（D）x2.

二、填空題（本大題有4小題，每小題4分，共16分）25.lim(13x)sinxx0.

6.已知cosxx是f(x)的一個(gè)原函數(shù),則f(x)cosx.xdx7.

nlimn(cos2ncos22ncos2n1n).

12x2arcsinx1－11x2dx8.2.

三、解答題（本大題有5小題，每小題8分，共40分）

9.設(shè)函數(shù)yy(x)由方程

exysin(xy)1確定，求y(x)以及y(0).

)

1x7求dx.7x(1x)10.

xxe，　　x01設(shè)f(x)　求f(x)dx．322xx，0x111.

1012.設(shè)函數(shù)f(x)連續(xù)，，且x0g(x)并討論g(x)在x0處的連續(xù)性.

g(x)f(xt)dtlimf(x)Ax，A為常數(shù).求

1y(1)xy2yxlnx9的解.13.求微分方程滿足

四、解答題（本大題10分）

14.已知上半平面內(nèi)一曲線yy(x)(x0)，過(guò)點(diǎn)(0,1)，且曲線上任一點(diǎn)

M(x0,y0)處切線斜率數(shù)值上等于此曲線與x軸、y軸、直線xx0所圍成面積的2倍與該點(diǎn)縱坐標(biāo)之和，求此曲線方程.五、解答題（本大題10分）

15.過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)作曲線ylnx的切線，該切線與曲線ylnx及x軸圍

成平面圖形D.

(1)求D的面積A；(2)求D繞直線x=e旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積

V.

六、證明題（本大題有2小題，每小題4分，共8分）

16.設(shè)函數(shù)f(x)在0,1上連續(xù)且單調(diào)遞減，證明對(duì)任意的q[0,1]，

q1f(x)dxqf(x)dx00.

17.設(shè)函數(shù)f(x)在0,上連續(xù)，且0xf(x)dx0，0f(x)cosxdx0.

證明：在0,內(nèi)至少存在兩個(gè)不同的點(diǎn)1,2，使f(1)f(2)0.（提

F(x)示：設(shè)

0f(x)dx）

解答

一、單項(xiàng)選擇題(本大題有4小題,每小題4分,共16分)1、D2、A3、C4、C

二、填空題（本大題有4小題，每小題4分，共16分）

1cosx2　()c6e35..6.2x.7.2.8..

三、解答題（本大題有5小題，每小題8分，共40分）9.解：方程兩邊求導(dǎo)

xy)coxys(xy)(y)e(1yexyycos(xy)y(x)xyexcos(xy)

x0,y0，y(0)177x6dxdu10.解：ux　　1(1u)112原式du()du7u(1u)7uu11(ln|u|2ln|u1|)c712ln|x7|ln|1x7|C77

11.解：130f(x)dxxedx3x100x102xx2dx

xd(e)3031(x1)2dx02xx2(令x1sin)xeecosd　

4

12.解：由f(0)0，知g(0)0。

x1xtu2e31

g(x)f(xt)dt0xf(u)du0x(x0)

g(x)xf(x)f(u)duxx002(x0)

g(0)limx0f(u)dux2limx0xf(x)A2x2

AAA22，g(x)在x0處連續(xù)。

limg(x)limx0x0xf(x)f(u)dux02dy2ylnx13.解：dxx

yexdx2(exdx2lnxdxC)

11xlnxxCx293

111y(1)C,0yxlnxx399，

四、解答題（本大題10分）

14.解：由已知且，

將此方程關(guān)于x求導(dǎo)得y2yy

02特征方程：rr20

y2ydxyx

解出特征根：r11,r22.

其通解為

yC1exC2e2x

代入初始條件y(0)y(0)1，得

21yexe2x33故所求曲線方程為：

五、解答題（本大題10分）

C121,C233

1ylnx0(xx0)x015.解：（1）根據(jù)題意，先設(shè)切點(diǎn)為(x0,lnx0)，切線方程：

1yxxe0e由于切線過(guò)原點(diǎn)，解出，從而切線方程為：

1則平面圖形面積

A(eyey)dy01e12

（2）三角形繞直線x=e一周所得圓錐體體積記為V1，則

曲線ylnx與x軸及直線x=e所圍成的圖形繞直線x=e一周所得旋轉(zhuǎn)體體積為V2

1V11e23

V2(eey)2dy0

6D繞直線x=e旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積

六、證明題（本大題有2小題，每小題4分，共12分）

q1qqVV1V2(5e212e3)

116.證明：0qf(x)dxqf(x)dxf(x)dxq(f(x)dxf(x)dx)000q1q

(1q)f(x)dxqf(x)dx0

f(1)f(2)1[0,q]2[q,1]q(1q)f(1)q(1q)f(2)1故有：

q0

f(x)dxqf(x)dx00證畢。

x17.

F(x)f(t)dt,0x0證：構(gòu)造輔助函數(shù)：。其滿足在[0,]上連續(xù)，在(0,)上可導(dǎo)。F(x)f(x)，且F(0)F()0

0由題設(shè)，有

f(x)cosxdxcosxdF(x)F(x)cosx|sinxF(x)dx0000，

有0，由積分中值定理，存在(0,)，使F()sin0即F()0

綜上可知F(0)F()F()0,(0,).在區(qū)間[0,],[,]上分別應(yīng)用羅爾定理，知存在

1(0,)和2(,)，使F(1)0及F(2)0，即f(1)f(2)0.

F(x)sinxdx0

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