高中數(shù)學(xué)_三角函數(shù)練習(xí)題匯總

三角函數(shù)練習(xí)

1.如果4cos222.求函數(shù)y61,求角的集合（）

cosx1的定義域（）

3.記cos(80)k，那么tan100___4.若sin(5.求y)13，則cos(232)=（）

cosx2cosx1的值域（）

3)6.求函數(shù)ycos(2x的單調(diào)減區(qū)間（）

7.計(jì)算12sin215的結(jié)果等于8.將函數(shù)ysinx的圖像上所有的點(diǎn)向右平行移動個單位長度，

4再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的3倍（縱坐標(biāo)不變），所得圖像的函數(shù)解析式是9.函數(shù)f(x)=3sin(x36),xR的最小正周期為6:8:1210.若△ABC的三個內(nèi)角滿足sinA:sinB:sinC11.函數(shù)f(x)sin（12.函數(shù)ysin(2x6，則△ABC為

x）cosx最小值是

)圖像的一條對稱軸方程是12x13.在同一平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)ysin的圖象和直線y12的

交點(diǎn)個數(shù)是14.若角的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(2，3)，則tan的值為．15.若sin23,tan0，則cos.16.代數(shù)式sin25ocos65ocos25osin115o．17.fxsinx3的最小正周期為

3，其中

0，則

=．

用心愛心專心

18.在ABC中，若

19.求證：

cos1sin3c=2bsinC,則B為_________.

1sincos

20.求下列函數(shù)的定義域（1）f(x)log

（2）f(x)lg(sin

（3）f(x)21.值

22.已知tan（1）

（2）sin

（3）4sin2

13sincos5cos2sinx(12cosx)

xcosx)

2cosx1tanx

已知tan(5)2,,求

cos(a)2sin(3a)3cos(a)sin(a)的

3，求下列各式的值

2sin3cos4sin9cos

cos

23.已知函數(shù)f(x)π2sin2x4πsinx2．

45（Ⅰ）求f(x)的定義域；（Ⅱ）若角在第一象限且cos

用心愛心專心

，求f()．

24.等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和記為Sn.已知a5

25.在△ABC中，cosA51355,a8248.

（Ⅰ）求通項(xiàng)an；（Ⅱ）若Sn=185，求n的值。

，cosB．

53（Ⅰ）求sinC的值；

（Ⅱ）設(shè)c6，求△ABC的面積．

26.已知函數(shù)f(x)2sin(x)sin（2x）.

（Ⅰ）求f(x)的最小正周期；（Ⅱ）求f(x)在區(qū)間

27.已知函數(shù)f(x)sinx3sinxcosx2cosx,xR①求函數(shù)f(x)的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間

②函數(shù)f(x)的圖像可以由函數(shù)ysin2x的圖像經(jīng)過怎樣的變化的到

22123,上的最大值和最小值.

28.已知函數(shù)f(x)sin(x),其中若cos3cossin23sin0,求0，||2

的值；

3

用心愛心專心

（Ⅱ）在（I）的條件下，若函數(shù)f(x)的圖像的相鄰兩條對稱軸之間的距離等于，求函數(shù)f(x)的解析式；并求最小正實(shí)數(shù)m，

4使得函數(shù)f(x)的圖像向左平移m個單位所對應(yīng)的函數(shù)是偶函數(shù)。29.知cosC18在△ABC中,角A、B、C所對的邊分別為a,b,c．已

（1）求sinC的值；

(Ⅱ)當(dāng)a=4,2sinA=sinC時,求b及c的長．

用心愛心專心

擴(kuò)展閱讀：高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)總結(jié)及習(xí)題

三角函數(shù)知識點(diǎn)總結(jié)及習(xí)題

1.①與（0°≤＜360°）終邊相同的角的集合（角與角的終邊重合）：|k360,kZ

②終邊在x軸上的角的集合：|k180,kZ

③終邊在y軸上的角的集合：|k18090,kZ

④終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合：|k90,kZ

⑤終邊在y=x軸上的角的集合：|k18045,kZ⑥終邊在yx軸上的角的集合：|k18045,kZ

2.角度與弧度的互換關(guān)系：360°=2180°=3．弧長公式：l||r.扇形面積公式：s扇形1lr12||r224．三角函數(shù)在各象限的符號：（一全正，二正弦，三正切，四余弦）

yy+y+-+-+-o-x-o+x+o-x正弦、余割余弦、正割正切、余切

5.三角函數(shù)的定義域：

三角函數(shù)定義域f(x)sinxx|xRf(x)cosxx|xRf(x)tanxx|xR且xk12,kZ

6、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：

sincostantancot1

sin2cos21

7、誘導(dǎo)公式：

cos2cos2sin22cos2112sin2

asinbcosa2b2sin()其中tanba

8.正弦、余弦、正切、余切函數(shù)的圖象的性質(zhì)：ysinxycosxytanxyAsinx（A、＞0）定義域R值域[1,1][1,1]R1x|xR且xk,kZ2RRA,A2周期性2奇偶性對稱軸方程對稱中心奇函數(shù)2奇函數(shù)無當(dāng)0,非奇非偶當(dāng)0,奇函數(shù)偶函數(shù)xk2xk（kZ）kx2（kZ）（k,0）kZ（kZ）1（k,02）kZ（k,0）kZ(xkkZ,0)上為增函數(shù)；上為減函數(shù)上為增函數(shù)；-3-

單調(diào)性上為上增函數(shù)；為增函數(shù)；上為減函數(shù)上為減函數(shù)上為減函數(shù)注意：①ysinx與ysinx的單調(diào)性正好相反；

ycosx與ycosx的單調(diào)性

也同樣相反.一般地，若yf(x)在[a,b]上遞增（減），則yf(x)在[a,b]上遞減（增）.②ysinx與的ycosx周期是.

③ysin(x)或ycos(x)（0）的周期T▲y2.

Oxytan

x的周期為2（T2T2，如圖，翻折無效）.

三角函數(shù)圖像

1||2f數(shù)y＝Asin（ωx＋φ）的振幅|A|，周期T，頻率，相位x;初

T2||相（即當(dāng)x＝0時的相位）．（當(dāng)A＞0，ω＞0時以上公式可去絕對值符號），

由y＝sinx的圖象上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)伸長（當(dāng)|A|＞1）或縮短（當(dāng)0＜|A|＜1）到原來的|A|倍，得到y(tǒng)＝Asinx的圖象，叫做振幅變換或叫沿y軸的伸縮變換．（用y/A替換y）

由y＝sinx的圖象上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)保持不變，橫坐標(biāo)伸長（0＜|ω|＜1）或縮短（|ω|＞1）到原來的|1|倍，得到y(tǒng)＝sinωx的圖象，叫做周期變換或叫做沿x軸的伸縮變換．(用

ωx替換x)

由y＝sinx的圖象上所有的點(diǎn)向左（當(dāng)φ＞0）或向右（當(dāng)φ＜0）平行移動｜φ｜個單位，得到y(tǒng)＝sin（x＋φ）的圖象，叫做相位變換或叫做沿x軸方向的平移．(用x＋φ替換x)

由y＝sinx的圖象上所有的點(diǎn)向上（當(dāng)b＞0）或向下（當(dāng)b＜0）平行移動｜b｜個單位，得到y(tǒng)＝sinx＋b的圖象叫做沿y軸方向的平移．（用y+(-b)替換y）

由y＝sinx的圖象利用圖象變換作函數(shù)y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）（x∈R）的圖象，要特別注意：當(dāng)周期變換和相位變換的先后順序不同時，原圖象延x軸量伸縮量的區(qū)別。

正弦定理和余弦定理

正弦定理：sinA＝sinB＝sinC＝2R，其中R是三角形外接圓的半徑．由正弦定理可以變形為：(1)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；(2)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；(3)sinA＝

abc

，sinB＝，sinC＝等形式，以解決不同的三角形問題．2R2R2R

ac

余弦定理：a2b2c22bccosA，b2a2c22accosB，c2a2b22abcosC

b2c2a2a2c2b2a2b2c2余弦定理可以變形為：cosA＝，cosB＝，cosC＝

2bc2ac2ab111

三角形面積的計(jì)算：SABC＝absinC＝bcsinA＝acsinB

222規(guī)律：

在三角形中，大角對大邊，大邊對大角；大角的正弦值也較大，正弦值較大的角也較大，即在△ABC中，A＞Ba＞bsinA＞sinB.途徑：

根據(jù)所給條件確定三角形的形狀，主要有兩種途徑：

(1)化邊為角；(2)化角為邊，并常用正弦(余弦)定理實(shí)施邊、角轉(zhuǎn)換．

三角函數(shù)復(fù)習(xí)題（一）

一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分）

π4

1．已知x∈(－2，0)，cosx＝5，則tan2x等于（）

7

A.24

724

B.－24C.7

24

D.－7

ππ

2．3cos12－sin12的值是（）

A.0B.－2C.2D.2

5310

3．已知α，β均為銳角，且sinα＝5，cosβ＝10，則α＋β的值為（）

π3π

A.4或43A.4

3ππB.4C.4

π

D.2kπ＋4(k∈Z)

1

D.4

4．sin15°cos30°sin75°的值等于（）

31

B.8C.8

π

5．若f(cosx)＝cos2x，則f(sin12)等于（）

A.12

B.－1C.－3

22

D.3

26．sin(x＋60°)＋2sin(x－60°)－3cos(120°－x)的值為（A.12

B.3

2C.1

D.0

7．已知sinα＋cosα＝1

3，α∈(0，π)，那么sin2α，cos2α的值分別為（A.8，1799B.－8179，9

C.－8179，－9

D.－8，±17

99

8．在△ABC中，若tanAtanB>1，則△ABC的形狀是（A.銳角三角形B.鈍角三角形C.直角三角形D.不能確定cos（ππ

9．化簡4＋α）－sin（4＋α）

的結(jié)果為（cos（π（π

4－α）＋sin4－α）A.tanαB.－tanαC.cotαD.－cotα

10．已知sinα＋sinβ＋sinγ＝0，cosα＋cosβ＋cosγ＝0，則cos(α－β)的值為（A.－1

2

B.1

2C.－1

D.1

二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分）sin70＋cos15011．sin80

cos70－sin150sin80的值等于_____________.

12．若1－tanA1＋tanA

＝4＋5，則cot(π

4＋A)＝_____________.

13．已知tanx＝4x＜2π)，則cos(2x－ππππ

3(π＜3)cos(3－x)－sin(2x－3)sin(3－x)＝_____.14．sin(ππ)－cos(ππ

4－3x)cos(3－3x6＋3x)sin(4＋3x)＝_____________.

15．已知tan(α＋β)＝2π1ππ

5，tan(β－4)＝4，則sin(α＋4)sin(4－α)的值為____________.16．已知5cos(α－β)＋7cosβα－βα

22＝0，則tan2tan2＝_____________.

三、解答題（本大題共5小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）

））

））

-6-

）π12ππ

17．（本小題滿分12分）已知cos(α－6)＝13，6＜α＜2，求cosα.

18．（本小題滿分14分）已知sin22α＋sin2αcosα－cos2α＝1，α∈(0，π

2)，求sinα、tanα.

19．（本小題滿分14分）在△ABC中，已知A、B、C成等差數(shù)列，求tanACtanAC

2＋tan2＋32tan2的值.

-7-

1217233

20．（本小題滿分15分）已知cosα＝－13，cos(α＋β)＝26，且α∈(π，2π)，α＋β∈(2π，2π)，求β.

三角函數(shù)復(fù)習(xí)題（二）

一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分）

1．下列函數(shù)中，最小正周期為π的偶函數(shù)是（）

A.y＝sin2x

x

B.y＝cos2

C.y＝sin2x＋cos2x

1－tan2xD.y＝

1＋tan2x

2．設(shè)函數(shù)y＝cos(sinx)，則（）

A.它的定義域是［－1，1］B.它是偶函數(shù)

C.它的值域是［－cos1，cos1］D.它不是周期函數(shù)

3．把函數(shù)y＝cosx的圖象上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小到原來的一半，縱坐標(biāo)擴(kuò)大到原來的兩倍，然后把圖象π

向左平移4個單位.則所得圖象表示的函數(shù)的解析式為（）A.y＝2sin2x

B.y＝－2sin2x

xπ

D.y＝2cos(2＋4)

π

C.y＝2cos(2x＋4)

π

4．函數(shù)y＝2sin(3x－4)圖象的兩條相鄰對稱軸之間的距離是（）

πA.3

2π

B.3C.π

4π

D.3

5．若sinα＋cosα＝m，且－2≤m＜－1，則α角所在象限是（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限3π6．函數(shù)y＝|cotx|sinx（0＜x≤2且x≠π）的圖象是（）

7．設(shè)y＝

cos2x

，則下列結(jié)論中正確的是（）

1＋sinx

A.y有最大值也有最小值B.y有最大值但無最小值

C.y有最小值但無最大值D.y既無最大值又無最小值π

8．函數(shù)y＝sin（4－2x)的單調(diào)增區(qū)間是（）

3πππ5π

A.［kπ－8，kπ＋8］(k∈Z)B.［kπ＋8，kπ＋8］(k∈Z)π3π3π7π

C.［kπ－8，kπ＋8］(k∈Z)D.［kπ＋8，kπ＋8］(k∈Z)1

9．已知0≤x≤π，且－2＜a＜0，那么函數(shù)f(x)＝cos2x－2asinx－1的最小值是（）

A.2a＋1

B.2a－1C.－2a－1

D.2a

π

10．求使函數(shù)y＝sin(2x＋θ)＋3cos(2x＋θ)為奇函數(shù)，且在［0，4］上是增函數(shù)的θ的一個值為（）5π

A.3

4π2πB.3C.3

π

D.3

二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分）

11．函數(shù)y＝

cosx

的值域是_____________.

1＋2cosx

cosx

12．函數(shù)y＝的定義域是_____________.

lg（1＋tanx）

13．如果x，y∈［0，π］，且滿足|sinx|＝2cosy－2，則x＝___________，y＝___________.

14．已知函數(shù)y＝2cosx，x∈［0，2π］和y＝2，則它們的圖象所圍成的一個封閉的平面圖形的面積是_____________15．函數(shù)y＝sinx＋cosx＋sin2x的值域是_____________.π

16．關(guān)于函數(shù)f(x)＝4sin(2x＋3)(x∈R)有下列命題：

①由f(x1)＝f(x2)＝0可得x1－x2必是π的整數(shù)倍；π

②y＝f(x)的表達(dá)式可改為y＝4cos(2x－6)；π

③y＝f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)（－6，0)對稱；π

④y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝－6對稱.

其中正確的命題的序號是_____________.

三、解答題（本大題共5小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17．（本小題滿分12分）如圖為函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的圖象的一部分，試求該函數(shù)的一個解析式.18．（本小題滿分14分）已知函數(shù)y＝(sinx＋cosx)2＋2cos2x.(x∈R)

(1)當(dāng)y取得最大值時，求自變量x的取值集合.

(2)該函數(shù)圖象可由y＝sinx(x∈R)的圖象經(jīng)過怎樣的平移和伸縮變換得到？

3π

19．(本小題滿分15分）已知函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，0≤φ≤π)是R上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于點(diǎn)M（4，π

0)對稱，且在區(qū)間［0，2］上是單調(diào)函數(shù)，求φ和ω的值.

正弦定理和余弦定理練習(xí)

1．(人教A版教材習(xí)題改編)在△ABC中，A＝60°，B＝75°，a＝10，則c等于()．A．52106C.

3

B．102D．56

解析由A＋B＋C＝180°，知C＝45°，由正弦定理得：acsinA＝sinC，

即

103＝c2.∴c＝1063.22

答案C

2．在△ABC中，若sinAcosBa＝b，則B的值為()．

A．30°B．45°C．60°D．90°解析由正弦定理知：

sinAsinA＝cosB

sinB，∴sinB＝cosB，∴B＝45°.答案B

3．(201*鄭州聯(lián)考)在△ABC中，a＝3，b＝1，c＝2，則A等于()．A．30°B．45°C．60°D．75°解析由余弦定理得：cosA＝b2＋c2－a22bc＝1＋4－31212＝2，

∵0＜A＜π，∴A＝60°.答案C

4．在△ABC中，a＝32，b＝23，cosC＝1

3，則△ABC的面積為()．

A．33B．23C．43D.3解析∵cosC＝1

3，0＜C＜π，

∴sinC＝22

3，

∴S1

△ABC＝2

absinC

＝123223223＝43.答案C

5．已知△ABC三邊滿足a2＋b2＝c2－3ab，則此三角形的最大內(nèi)角為________．解析∵a2＋b2－c2＝－3ab，a2＋b2－c2∴cosC＝32ab＝－2，

故C＝150°為三角形的最大內(nèi)角．答案150°

考向一利用正弦定理解三角形

【例1】在△ABC中，a＝3，b＝2，B＝45°.求角A，C和邊c.

[審題視點(diǎn)]已知兩邊及一邊對角或已知兩角及一邊，可利用正弦定理解這個三角形，但要注意解的判斷．a(chǎn)b32解由正弦定理得＝，＝，

sinAsinBsinAsin45°∴sinA＝

3.2

∵a＞b，∴A＝60°或A＝120°.

當(dāng)A＝60°時，C＝180°－45°－60°＝75°，6＋2bsinCc＝＝；

sinB2

當(dāng)A＝120°時，C＝180°－45°－120°＝15°，6－2bsinCc＝＝.

sinB2

(1)已知兩角一邊可求第三角，解這樣的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可．

(2)已知兩邊和一邊對角，解三角形時，利用正弦定理求另一邊的對角時要注意討論該角，這是解題的難點(diǎn)，應(yīng)引起注意．

π【訓(xùn)練1】(201*北京)在△ABC中，若b＝5，∠B＝，tanA＝2，則sinA＝________；a＝________.

4解析因?yàn)椤鰽BC中，tanA＝2，所以A是銳角，且

sinA

＝2，sin2A＋cos2A＝1，cosA

25

聯(lián)立解得sinA＝，

5ab

再由正弦定理得＝，

sinAsinB代入數(shù)據(jù)解得a＝210.答案

25

2105

考向二利用余弦定理解三角形

cosBb

【例2】在△ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對邊，且＝－.cosC2a＋c(1)求角B的大��；

(2)若b＝13，a＋c＝4，求△ABC的面積．[審題視點(diǎn)]由

cosBb

＝－，利用余弦定理轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系求解．cosC2a＋c

a2＋c2－b2

解(1)由余弦定理知：cosB＝，

2aca2＋b2－c2

cosC＝.

2ab

cosBb

將上式代入＝－得：

cosC2a＋ca2＋c2－b22abb222＝－，2aca＋b－c2a＋c整理得：a2＋c2－b2＝－ac.a2＋c2－b2－ac1∴cosB＝＝＝－.2ac2ac22

∵B為三角形的內(nèi)角，∴B＝π.

3(2)將b＝13，a＋c＝4，

2

B＝π代入b2＝a2＋c2－2accosB，

3得b2＝(a＋c)2－2ac－2accosB，1

1－，∴ac＝3.∴13＝16－2ac2133∴S△ABC＝acsinB＝.

24

(1)根據(jù)所給等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)利用余弦定理將角化邊進(jìn)行變形是迅速解答本題的關(guān)鍵．

(2)熟練運(yùn)用余弦定理及其推論，同時還要注意整體思想、方程思想在解題過程中的運(yùn)用．

A

【訓(xùn)練2】(201*桂林模擬)已知A，B，C為△ABC的三個內(nèi)角，其所對的邊分別為a，b，c，且2cos2＋

2cosA＝0.(1)求角A的值；

(2)若a＝23，b＋c＝4，求△ABC的面積．A

解(1)由2cos2＋cosA＝0，

2得1＋cosA＋cosA＝0，1

即cosA＝－，

22π

∵0＜A＜π，∴A＝.

3(2)由余弦定理得，

2π

a2＝b2＋c2－2bccosA，A＝，

3則a2＝(b＋c)2－bc，又a＝23，b＋c＝4，有12＝42－bc，則bc＝4，1

故S△ABC＝bcsinA＝3.

2

考向三利用正、余弦定理判斷三角形形狀

【例3】在△ABC中，若(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sinC，試判斷△ABC的形狀．[審題視點(diǎn)]首先邊化角或角化邊，再整理化簡即可判斷．解由已知(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sinC，得b2[sin(A－B)＋sinC]＝a2[sinC－sin(A－B)]，即b2sinAcosB＝a2cosAsinB，

即sin2BsinAcosB＝sin2AcosBsinB，所以sin2B＝sin2A，由于A，B是三角形的內(nèi)角．故0＜2A＜2π，0＜2B＜2π.故只可能2A＝2B或2A＝π－2B，π

即A＝B或A＋B＝.2

故△ABC為等腰三角形或直角三角形．

判斷三角形的形狀的基本思想是；利用正、余弦定理進(jìn)行邊角的統(tǒng)一．即將條件化為只含角的

三角函數(shù)關(guān)系式，然后利用三角恒等變換得出內(nèi)角之間的關(guān)系式；或?qū)�條件化為只含有邊的關(guān)系式，然后利用常見的化簡變形得出三邊的關(guān)系．【訓(xùn)練3】在△ABC中，若A．直角三角形C．鈍角三角形

abc＝＝；則△ABC是()．cosAcosBcosC

B．等邊三角形D．等腰直角三角形

解析由正弦定理得a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC(R為△ABC外接圓半徑)．∴

sinAsinBsinC

＝＝.cosAcosBcosC

即tanA＝tanB＝tanC，∴A＝B＝C.答案B

三角函數(shù)單元復(fù)習(xí)題（一）答案

一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分）

1．D2．C3．C4．B5．C6．D7．C8．A9．B10．A二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分）11．2－312．4＋513．－3

2－6514．415．【解析】∵tan(α＋πβ－π34)＝tan［(α＋β)－(4)］＝22

∴原式＝sin(α＋π＋π

4)cos(α4)

sin(α＋πα＋π4)cos(4)

tan(α＋π

4)＝

sin2(α＋ππ＝π＝66

493.4)＋cos2(α＋4)1＋tan2

(α＋4)16．【解析】由5cos(α－ββ

2)＋7cos2＝0得：

5cos（α－β＋αα－βα

22）＋7cos（2－2）＝0展開得：12cosα－ββ＋2sinα－ββ

2cos22sin2＝0，

兩邊同除以cosα－ββα－βα

2cos2得tan2tan2＝－6.

三、解答題（本大題共5小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17．（本小題滿分12分）已知cos(α－π12π＜π

6)＝13，6＜α2，求cosα.

【解】由于0＜α－πππ12

6＜3，cos(α－6)＝13所以sin(α－π

6)＝

1－cos2(α－π＝5

6)13

所以cosα＝cos［(α－ππ

123－56)＋6］＝2618．（本小題滿分14分）已知sin22α＋sin2αcosα－cos2α＝1，α∈(0，π

2)，

求sinα、tanα.

【解】∵sin22α＋sin2αcosα－cos2α＝1∴4sin2αcos2α＋2sinαcos2α－2cos2α＝0

即：cos2α(2sin2α＋sinα－1)＝0cos2α(sinα＋1)(2sinα－1)＝0又α∈(0，π

2)，∴cos2α>0，sinα＋1>0.故sinα＝1α＝π3

2，6，tanα＝3.

19．（本小題滿分14分）在△ABC中，已知A、B、C成等差數(shù)列，求tanACAC

2＋tan2＋3tan2tan2的值.

-16-

2πACπ

【解】因?yàn)锳、B、C成等差數(shù)列，A＋B＋C＝π，所以A＋C＝3，2＋2＝3ACtan2＋tan2

AC

∴tan(2＋2)＝3，由兩角和的正切公式，得AC＝3

1－tan2tan2ACACtan2＋tan2＝3－3tan2tan2ACAC

tan2＋tan2＋3tan2tan2＝3.

1217233

20．（本小題滿分15分）已知cosα＝－13，cos(α＋β)＝26，且α∈(π，2π)，α＋β∈(2π，2π)，求β.【分析】要求β就必須先求β的某一個三角函數(shù)值，對照已知與欲求的目標(biāo)，宜先求出cosβ的值，再由β的范圍得出β.

33

【解】∵π＜α＜2π，2π＜α＋β＜2π，∴0＜β＜π.

12172572

又∵cosα＝－13，cos(α＋β)＝26，∴sinα＝－13，sin(α＋β)＝－26172127252

故cosβ＝cos［(α＋β)－α］＝26（－13）＋（－26）（－13）＝－2.3而0＜β＜π，∴β＝4π.

23

【評注】本題中若求sinβ，則由sinβ＝2及0＜β＜π不能直接推出β＝4π，因此本類問題如何選擇三角函數(shù)值得考慮.

三角函數(shù)單元復(fù)習(xí)題（二）答案

一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分）

1．D2．B3．B4．A5．C6．C7．C8．D9．C10．C二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分）

1ππ

11．（－∞，3］∪［1，+∞)12．{x|－4＋2kπ＜x＜2kπ或2kπ＜x＜2＋2kπ(k∈Z)}5

13．x＝0或π，y＝014．4π15．{y｜－4≤y≤1＋2}16．②③

三、解答題（本大題共5小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17．（本小題滿分12分）如圖為函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的圖象的一部分，試求該函數(shù)的一個解析式.

【解】由圖可得：A＝3，T＝2｜MN｜＝π.

2π

從而ω＝T＝2，故y＝3sin(2x＋φ)π2π

將M（3，0）代入得sin(3＋φ)＝0

2π2π

取φ＝－3得y＝3sin(2x－3)

5π

【評注】本題若將N（6，0）代入y＝3sin(2x+φ)

5π5π5π2π

則可得：sin(3＋φ)＝0.若取φ＝－3，則y＝3sin(2x－3)＝－3sin(2x－3)，它與y＝3π

sin(2x－3)的圖象關(guān)于x軸對稱，故求解錯誤！因此，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)y＝3sin(2x＋φ)后，如何確2π

定φ，要看該點(diǎn)在曲線上的位置.如：M在上升的曲線上，就相當(dāng)于“五點(diǎn)法”作圖中的第一個點(diǎn)，故3＋φ5π

＝0；而N點(diǎn)在下降的曲線上，因此相當(dāng)于“五點(diǎn)法”作圖中的第三個點(diǎn)，故3＋φ＝π，由上可得φ的值2π均為－3.

18．（本小題滿分14分）已知函數(shù)y＝(sinx＋cosx)2＋2cos2x.(x∈R)

(1)當(dāng)y取得最大值時，求自變量x的取值集合.

(2)該函數(shù)圖象可由y＝sinx(x∈R)的圖象經(jīng)過怎樣的平移和伸縮變換得到？

π

【解】y＝1＋sin2x＋2cos2x＝sin2x＋cos2x＋2＝2sin(2x＋4)＋2.π

(1)要使y取得最大值，則sin(2x＋4)＝1.πππ

即：2x＋4＝2kπ＋2x＝kπ＋8(k∈Z)π

∴所求自變量的取值集合是{x｜x＝kπ＋8，k∈Z}.(2)變換的步驟是：

ππ

①把函數(shù)y＝sinx的圖象向左平移4個單位，得到函數(shù)y＝sin(x+4)的圖象；

1π

②將所得的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），得函數(shù)y＝sin(2x＋4）的圖象；π③再將所得的圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長到原來的2倍（橫坐標(biāo)不變），得函數(shù)y＝2sin(2x＋4)的圖象；

π

④最后將所得的圖象向上平移2個單位，就得到y(tǒng)＝2sin(2x＋4)+2的圖象.【說明】以上變換步驟不唯一！

3π

19．(本小題滿分15分）已知函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，0≤φ≤π)是R上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于點(diǎn)M（4，π

0)對稱，且在區(qū)間［0，2］上是單調(diào)函數(shù)，求φ和ω的值.【解】由f(x)是偶函數(shù)，得f(x)＝f(－x)即sin(ωx＋φ)＝sin(－ωx＋φ)

∴－cosφsinωx＝cosφsinωx對任意x都成立.π

且ω＞0，∴cosφ＝0，依題設(shè)0≤φ≤π，∴φ＝2

由f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)M（3π

4，0）對稱，得，取x＝0，得f(3π3π3π

4)＝－f(4)，∴f(4)＝0∴f(3π3ωππ3ωπ

4)＝sin(4＋2)＝cos4＝0，又ω＞0

∴3ωπ＝π2

42＋kπ，k＝0，1，2，，ω＝3(2k＋1)，k＝0，1，2，當(dāng)k＝0時，ω＝22x＋ππ

3，f(x)＝sin(32)在區(qū)間［0，2］上是減函數(shù)；當(dāng)k＝1時，ω＝2，f(x)＝sin(2x＋ππ

2)在區(qū)間［0，2］上是減函數(shù)；當(dāng)k≥2時，ω≥10f(x)＝sin(ωx＋ππ

3，2)在區(qū)間［0，2］上不是單調(diào)函數(shù)；所以，ω＝2

3或ω＝2.-19-

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