高中數(shù)學(xué)必修4-基本初等函數(shù)小結(jié)

《第一章基本初等函數(shù)》小結(jié)

一．教學(xué)目標(biāo)1．知識(shí)目標(biāo)

（1）任意角的概念、弧度制、任意角的三角函數(shù)的概念、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、誘導(dǎo)公式；

（2）三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)；（3）已知三角函數(shù)值求角．２．能力目標(biāo)

（１）理解任意角的概念、弧度的意義；能正確地進(jìn)行弧度與角度的換算；

（２）掌握任意角的正弦、余弦、正切的定義，并會(huì)利用與單位圓有關(guān)的三角函數(shù)線表示正弦、余弦和正切；了解任意角的余切、正割、余割的定義；掌握同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式；掌握正弦、余弦的誘導(dǎo)公式；并能應(yīng)用它們進(jìn)行簡(jiǎn)單的求值、化簡(jiǎn)、證明；

（３）會(huì)用與單位圓有關(guān)的三角函數(shù)線畫(huà)出正弦函數(shù)、余切函數(shù)的圖象，并在此基礎(chǔ)上由誘導(dǎo)公式畫(huà)出余弦函數(shù)的圖象；理解周期函數(shù)與最小正周期的意義；并通過(guò)它們的圖象理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的性質(zhì)；會(huì)用“五點(diǎn)法”畫(huà)出正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和函數(shù)

ysin(x)的簡(jiǎn),,A的物理意義；（4）會(huì)用已知三角函數(shù)值求角，并會(huì)用arcsina\\、arccosa\\、arctana\\表示。3．情感目標(biāo)

（1）滲透“變換”、“化歸”思想；（2）培養(yǎng)邏輯推理能力；

（３）引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想，學(xué)會(huì)用數(shù)形結(jié)合來(lái)思考和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題；（４）培養(yǎng)學(xué)生探求意識(shí)．二．教學(xué)重點(diǎn)

任意角三角函數(shù)的概念，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，誘導(dǎo)公式，正弦函數(shù)的性質(zhì)與圖象，函數(shù)ysin(x)的圖象和正弦函數(shù)圖象的關(guān)系．

三．教學(xué)難點(diǎn)

弧度制和周期函數(shù)的概念，正弦型函數(shù)ysin(x)的圖象變換，綜合應(yīng)用公式進(jìn)行求值\\、化簡(jiǎn)、證明等。

四．教學(xué)方法引導(dǎo)啟發(fā)式

應(yīng)用“整體化”教學(xué)思想，引導(dǎo)學(xué)生從“整體”到“局部”再到“整體”的逐步認(rèn)識(shí)，強(qiáng)化知識(shí)點(diǎn)的理解掌握，進(jìn)而達(dá)到應(yīng)用的目的。

五．教學(xué)準(zhǔn)備

圖表一：知識(shí)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖

任意角的概念任意角的三角函數(shù)三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)角度制與弧度制扇形的弧長(zhǎng)與面積任意角的三角函數(shù)符號(hào)同角三角函數(shù)的關(guān)系式誘導(dǎo)公式三角函數(shù)的求值、化簡(jiǎn)、證明

圖表二：三角函數(shù)定義、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式、三角函數(shù)值的正負(fù)

1．sin2．sin2xr應(yīng)用舉例任意角yrcos2tansinyx

cos1tancos

3．++--+--+

------++--sincostan圖表三：誘導(dǎo)公式函數(shù)角sincoscoscostantantantan2ksinsinsin(2k1)cos2cossincot圖表四：三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)函數(shù)圖像正弦函數(shù)余弦函數(shù)正切函數(shù)定義域值域R[-1,1]最大值為1，最小值為-1最小正周期2奇函數(shù)2R{x|x2k,kZ}[-1,1]最大值為1，最小值為-1最小正周期2偶函數(shù)2R無(wú)最值最小正周期奇函數(shù)2周期性奇偶性單調(diào)性在[2k,2k]在[(2k1),2k]上是增函數(shù)；在[2k,(2k1)]上是減函數(shù)（kZ）在(k,2k)上是增函數(shù)；在[上是增函數(shù)；22k,322k]上是減函數(shù)（kZ）

六．教學(xué)過(guò)程：教學(xué)環(huán)節(jié)復(fù)習(xí)引入教學(xué)內(nèi)容師生互動(dòng)設(shè)計(jì)意圖知識(shí)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖復(fù)習(xí)深入復(fù)習(xí)具體內(nèi)容一1．任意角的概念；2．角度制與弧度制；3．扇形的面積；1．教師提出問(wèn)題：大家回憶本使學(xué)生對(duì)本章知章學(xué)習(xí)內(nèi)容，仔細(xì)考慮、歸納總識(shí)結(jié)構(gòu)有一個(gè)宏結(jié)出這一章觀掌握。的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖。2．教師引導(dǎo)提示，由學(xué)生回答。2．教師給出圖表一。讓學(xué)生根據(jù)教師教師提出問(wèn)題，組織學(xué)生思考并回答;1．角的概念推廣后，拔角的范圍從0到360推廣到一個(gè)什么樣的范圍？都包括什么樣的角？00的問(wèn)題通過(guò)思考回憶各知識(shí)點(diǎn)。使學(xué)生根據(jù)教師的問(wèn)題進(jìn)一步體會(huì)理解知識(shí)點(diǎn)的由來(lái)，以便靈活記憶。培養(yǎng)學(xué)生的識(shí)圖能力，進(jìn)一步強(qiáng)化由圖像直觀分析總結(jié)函數(shù)性質(zhì)的能力。2．第一、二、三、四象限角及終邊落在軸、軸的角的集合各是什么？3．弧度制的定義是什么？角度制與弧度制如何轉(zhuǎn)換？弧度制下的公式是什么？1．教師提問(wèn)：任意角的三角函數(shù)的定義是什么？學(xué)生回答；2．教師引導(dǎo)學(xué)生由上述定義回答同角三角函數(shù)關(guān)系式、三角函數(shù)的正負(fù)、誘導(dǎo)公式；二．1．任意角的三角函數(shù)的定義；3．給出圖表二。2．同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式；4．進(jìn)一步拓展只是給出：3．各三角函數(shù)值在四個(gè)象限的正1tan2sce222負(fù)；1cotcsc4．誘導(dǎo)公式；tancot1三．三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)sincsc1cossec11．教師板演并要求學(xué)生利用“五點(diǎn)法”話出政弦函數(shù)的簡(jiǎn)圖；要求學(xué)生根據(jù)圖像分析回答該函數(shù)的值域、最值、區(qū)的最值時(shí)x的集合；2．給出圖表四。3．讓學(xué)生自己觀察分析余弦函數(shù)、正切函數(shù)的性質(zhì)。歸納總結(jié)1．把握由“整體”到“局部”再到“整體”知識(shí)的綜合應(yīng)用的復(fù)習(xí)思路；2．化歸思想的應(yīng)用。教師總結(jié)：1．在掌握知識(shí)的同時(shí)，還應(yīng)注意到該章知識(shí)的復(fù)習(xí)思路。即由“整體”到“局部”再到“整體”。2．這一張還突出應(yīng)用了化歸思想，這是一種重要的數(shù)學(xué)思想。主要表現(xiàn)在：（1）把未知化歸為已知；（2）把特殊劃歸為一般；（3）等價(jià)化歸等培養(yǎng)學(xué)生把握整章知識(shí)的能力，同時(shí)注意滲透數(shù)學(xué)思想和方法。讓學(xué)生感受本章知識(shí)的應(yīng)用應(yīng)用舉例題例題組一：1.若角的終邊落在直線y3x上，求sin和cos的值。1．已知tan3，求下列各式的值：4sin2cos（1）5cos3sin（2）(sin2cos)3．計(jì)算：cos256cos253tan(254)2學(xué)生板演，教師對(duì)學(xué)生在解題思路和規(guī)范方面進(jìn)行指導(dǎo)4．證明：1tan1cot22AA(1tanA1cotA)2題組二：1.已知函數(shù)y3sin(2x3)試確定該函數(shù)的值域、單調(diào)增區(qū)間、最大值及取得最大值時(shí)x的集合。2．觀察正弦函數(shù)的圖像，寫(xiě)出使2sinx10的x的集合。3．求適合13tanx0(xR)的集合。4．思考題：利用圖像變換討論由ysinx得圖像怎樣得到y(tǒng)3sin(2x（寫(xiě)出你能想到的方法）4)的圖像針對(duì)思考題要求學(xué)生從相位、周期、振幅入手考慮它們的圖像關(guān)系。1.使學(xué)生進(jìn)一步鞏固和應(yīng)用所學(xué)知識(shí).2.培養(yǎng)學(xué)生的探究意識(shí)，布置作業(yè)P

擴(kuò)展閱讀：高中數(shù)學(xué)必修1知識(shí)點(diǎn)總結(jié)：第二章_基本初等函數(shù)

高中數(shù)學(xué)必修一“基本初等函數(shù)”知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

一、指數(shù)函數(shù)

1、根式的概念

①如果xna,aR,xR,n1，且nN，那么x叫做a的n次方根．當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，a的n次方根用符號(hào)na表示；n當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，正數(shù)a的正的n次方根用符號(hào)②式子na表示，負(fù)的n次方根用符號(hào)na表示；0的n次方根是0；負(fù)數(shù)a沒(méi)有n次方根．

a叫做根式，這里n叫做根指數(shù)，a叫做被開(kāi)方數(shù)．當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，a為任意實(shí)數(shù)；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，a0．

n③根式的性質(zhì)：(2、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的概念

a)a；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，aa；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，nnnna(a0)．a(chǎn)|a|a(a0)n①正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是：amnnam(a0,m,nN,且n1)．0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0．

mn②正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是：a1m1()nn()m(a0,m,nN,且n1)．0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒(méi)有意義．

aa指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)

注意口訣：底數(shù)取倒數(shù)，指數(shù)取相反數(shù)．

3、指數(shù)函數(shù)

函數(shù)名稱定義函數(shù)指數(shù)函數(shù)yax(a0且a1)叫做指數(shù)函數(shù)0a1yaxa1y圖象yaxyy1y1(0,1)(0,1)O定義域值域xROx(0,)圖象過(guò)定點(diǎn)(0,1)，即當(dāng)x過(guò)定點(diǎn)奇偶性單調(diào)性0時(shí)，y1．在R上是減函數(shù)非奇非偶在R上是增函數(shù)ax1(x0)函數(shù)值的變化情況ax1(x0)ax1(x0)ax1(x0)ax1(x0)ax1(x0)a變化對(duì)圖象的影響

在第一象限內(nèi)，a越大圖象越高；在第二象限內(nèi)，a越大圖象越低．（重點(diǎn)記）高中數(shù)學(xué)必修一“基本初等函數(shù)”知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

4、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)：（初中學(xué)過(guò)）

①arasars(a0,r,sR)②(ar)sars(a0,r,sR)③(ab)rarbr(a0,b0,rR)

二、對(duì)數(shù)函數(shù)

5、對(duì)數(shù)的定義①若axN(a0,且a1)，則x叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記作xlogaN，其中a叫做底數(shù)，N叫做真數(shù)．

②負(fù)數(shù)和零沒(méi)有對(duì)數(shù)．

③對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化：xloga6、幾個(gè)重要的對(duì)數(shù)恒等式：（特殊）

NaxN(a0,a1,N0)．

loga10，logaa1，logaabb．

對(duì)數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)

（5）對(duì)數(shù)函數(shù)

函數(shù)名稱定義函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)ylogax(a0且a1)叫做對(duì)數(shù)函數(shù)0a11xa1y圖象x1ylogaxyylogax(1,0)O(1,0)xOx定義域值域過(guò)定點(diǎn)奇偶性單調(diào)性在(0,)上是增函數(shù)(0,)R圖象過(guò)定點(diǎn)(1,0)，即當(dāng)x1時(shí)，y0．非奇非偶在(0,)上是減函數(shù)logax0(x1)函數(shù)值的變化情況logax0(x1)logax0(x1)logax0(0x1)logax0(x1)logax0(0x1)a變化對(duì)圖象的影響

在第一象限內(nèi)，a越大圖象越靠低；在第四象限內(nèi)，a越大圖象越靠高．高中數(shù)學(xué)必修一“基本初等函數(shù)”知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

7、常用對(duì)數(shù)與自然對(duì)數(shù)

常用對(duì)數(shù)：lgN，即log108、對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)如果a①加法：logaN；自然對(duì)數(shù)：lnN，即loge．N（其中e2.71828）

0,a1,M0,N0，那么

MlogaNloga(MN)②減法：logaMlogaNlogaMlogaMn(nR)④alogaNN

MN

③數(shù)乘：nloga⑤logabMnnlogbNlogaM(b0,nR)⑥換底公式：logaN(b0,且b1)blogba9、反函數(shù)的概念

設(shè)函數(shù)

yf(x)的定義域?yàn)锳，值域?yàn)镃，從式子yf(x)中解出x，得式子x(y)．如果對(duì)于y在C中的任何一個(gè)

(y)，x在A中都有唯一確定的值和它對(duì)應(yīng)，那么式子x(y)表示x是y的函數(shù)，函數(shù)x(y)叫做函數(shù)

值，通過(guò)式子xyf(x)的反函數(shù)，記作xf1(y)，習(xí)慣上改寫(xiě)成yf1(x)．

10、反函數(shù)的求法

①確定反函數(shù)的定義域，即原函數(shù)的值域；②從原函數(shù)式③將xyf(x)中反解出xf1(y)；

f1(y)改寫(xiě)成yf1(x)，并注明反函數(shù)的定義域．

11、反函數(shù)的性質(zhì)①原函數(shù)

②函數(shù)

yf(x)與反函數(shù)yf1(x)的圖象關(guān)于直線yx對(duì)稱．

yf(x)的定義域、值域分別是其反函數(shù)yf1(x)的值域、定義域．

yf(x)的圖象上，則P"(b,a)在反函數(shù)yf1(x)的圖象上．③若P(a,b)在原函數(shù)④一般地，函數(shù)

yf(x)要有反函數(shù)則它必須為單調(diào)函數(shù)．三、冪函數(shù)12、冪函數(shù)的定義一般地，函數(shù)13、冪函數(shù)的圖象

yx叫做冪函數(shù)，其中x為自變量，是常數(shù)．高中數(shù)學(xué)必修一“基本初等函數(shù)”知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

14、冪函數(shù)的性質(zhì)

①圖象分布：冪函數(shù)圖象分布在第一、二、三象限，第四象限無(wú)圖象．冪函數(shù)是偶函數(shù)時(shí)，圖象分布在第一、二象限(圖象關(guān)于是奇函數(shù)時(shí)，圖象分布在第一、三象限(圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱)；是非奇非偶函數(shù)時(shí)，圖象只分布在第一象限．②過(guò)定點(diǎn)：所有的冪函數(shù)在(0,)都有定義，并且圖象都通過(guò)點(diǎn)(1,1)．③單調(diào)性：如果y軸對(duì)稱)；

0，則冪函數(shù)的圖象過(guò)原點(diǎn)，并且在[0,)上為增函數(shù)．如果0，則冪函數(shù)的圖象在(0,)上為減函數(shù)，

y軸．

在第一象限內(nèi)，圖象無(wú)限接近x軸與

④奇偶性：當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，冪函數(shù)為奇函數(shù)，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，冪函數(shù)為偶函數(shù)．當(dāng)qpqpq（其中p,q互質(zhì)，p和qZp），若

p為奇

數(shù)q為奇數(shù)時(shí)，則函數(shù)．

yx是奇函數(shù)，若

p為奇數(shù)q為偶數(shù)時(shí)，則yx是偶函數(shù)，若p為偶數(shù)q為奇數(shù)時(shí)，則yx是非奇非偶

qp⑤圖象特征：冪函數(shù)方，當(dāng)yx,x(0,)，當(dāng)1時(shí)，若0x1，其圖象在直線yx下方，若x1，其圖象在直線yx上

1時(shí)，若0x1，其圖象在直線yx上方，若x1，其圖象在直線yx下方．

〖補(bǔ)充知識(shí)〗二次函數(shù)

15、二次函數(shù)解析式的三種形式①一般式：

f(x)ax2bxc(a0)②頂點(diǎn)式：f(x)a(xh)2k(a0)③兩根式：f(x)a(xx1)(xx2)(a0)

16、求二次函數(shù)解析式的方法

①已知三個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，宜用一般式．

②已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)或與對(duì)稱軸有關(guān)或與最大（�。┲涤嘘P(guān)時(shí)，常使用頂點(diǎn)式．③若已知拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，且橫線坐標(biāo)已知時(shí)，選用兩根式求

17、二次函數(shù)圖象的性質(zhì)

f(x)更方便．

①二次函數(shù)

b4acb2b)．f(x)axbxc(a0)的圖象是一條拋物線，對(duì)稱軸方程為x,頂點(diǎn)坐標(biāo)是(,2a2a4a2bbb]上遞減，,)上遞增，②當(dāng)a0時(shí)，拋物線開(kāi)口向上，函數(shù)在(,在[當(dāng)x2a2a2a4acb2時(shí)，fmin(x)4a．

；當(dāng)a04acb2bbb]上遞增，在[,)上遞減，當(dāng)x時(shí)，拋物線開(kāi)口向下，函數(shù)在(,時(shí)，fmax(x)2a2a2a4a③二次函數(shù)

f(x)ax2bxc(a0)當(dāng)b24ac0時(shí)，圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)．高中數(shù)學(xué)必修一“基本初等函數(shù)”知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

表1定義域值域指數(shù)函數(shù)yaxa0,a1xR對(duì)數(shù)數(shù)函數(shù)ylogaxa0,a1x0,yRy0,圖象過(guò)定點(diǎn)(0,1)減函數(shù)增函數(shù)x(,0)時(shí)，y(0,1)x(0,)時(shí)，y(1,)過(guò)定點(diǎn)(1,0)減函數(shù)增函數(shù)x(,0)時(shí)，y(1,)性質(zhì)x(0,1)時(shí)，y(0,)x(1,)時(shí)，y(,0)x(0,1)時(shí)，y(,0)x(1,)時(shí)，y(0,)x(0,)時(shí)，y(0,1)ab表2ababab冪函數(shù)yx(R)pq00111p為奇數(shù)q為奇數(shù)奇函數(shù)p為奇數(shù)q為偶數(shù)p為偶數(shù)q為奇數(shù)

偶函數(shù)

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