八年級上冊期中考試知識點歸納(北師大版)

北師大版《數(shù)學(xué)》（八年級上冊）知識點總結(jié)

第一章勾股定理

1、勾股定理

（1）直角三角形兩直角邊a，b的平方和等于斜邊c的平方，即a2b2c2根據(jù)勾股定理可求AC，只要求出EC即可。解：在Rt△ACB中，AC2=AB2-BC2=2.52-1.52=4，∴AC=2

∵BD=0.5，∴CD=2

222.2222.25在RtECD中，ECEDCD25∴EC=1.5

（2）勾股定理的驗證：測量、數(shù)格子、拼圖法、面積法，如青朱出入圖、五巧板、玄圖、總統(tǒng)證法（通過面積的不同表示方法得到驗證，也叫等面積法或等積法）

（3）勾股定理的適用范圍：盡限于直角三角形2、勾股定理的逆定理

AEACEC215.05.

答：梯子頂端下滑了0.5米。點撥：要考慮梯子的長度不變。

例5.如圖所示的一塊地，AD=12m，CD=9m，∠ADC=90°，AB=39m，BC=36m，算術(shù)平方根定義如果一個非負(fù)數(shù)x的平方等于a，即x2a那么這個非負(fù)數(shù)x就叫做a的算術(shù)平方根，記為a，算術(shù)平方根為非負(fù)數(shù)a0正數(shù)的平方根有2個，它們互為相反數(shù)平方根0的平方根是0負(fù)數(shù)沒有平方根2.無理數(shù)的表示定義：如果一個數(shù)的平方等于a，即x2a，那么這個數(shù)就叫做a的平方根，記為a正數(shù)的立方根是正數(shù)立方根負(fù)數(shù)的立方根是負(fù)數(shù)0的立方根是0如果三角形的三邊長a，b，c有關(guān)系a2b2c2，那么這個三角形是直角三角形。3、勾股數(shù)：滿足a2b2c2的三個正整數(shù)a，b，c，稱為勾股數(shù)。常見的勾股數(shù)有：（6,8,10）（3,4,5）（5,12，,13）（9,12,15）（7,24,25）（9,40,41）

規(guī)律：（1），短直角邊為奇數(shù)，另一條直角邊與斜邊是兩個連續(xù)的自然數(shù)，兩邊之和是短直角邊的平方。即當(dāng)a為奇數(shù)且a＜b時，如果b+c=a2

那么a,b,c就是一組勾股數(shù).如（3,4,5）（5,12，,13）（7,24,25）（9,40,41）

（2）大于2的任意偶數(shù)，2n(n＞1)都可構(gòu)成一組勾股數(shù)分別是：2n,n2

-1,n2

+1如：（6,8,10）（8,15,17）（10,24,26）4、常見題型應(yīng)用：

（1）已知任意兩條邊的長度，求第三邊/斜邊上的高線/周長/面積（2）已知任意一條的邊長以及另外兩條邊長之間的關(guān)系，求各邊的長度//斜邊上的高線/周長/面積

（3）判定三角形形狀：a2

+b2

＞c2

銳角~，a2

+b2

=c2

直角~，a2

+b2

＜c2

鈍角~

判定直角三角形a..找最長邊；b.比較長邊的平方與另外兩條較短邊的平方和之間

的大小關(guān)系；c.確定形狀

（4）構(gòu)建直角三角形解題

例1.已知直角三角形的兩直角邊之比為3：4，斜邊為10。求直角三角形的兩直角邊。

解：設(shè)兩直角邊為3x，4x，由題意知：

(3x)2(4x)2100，9x216x2100，25x2100，x24

∴x=2，則3x=6，4x=8，故兩直角邊為6，8。中考突破

（1）中考典題

例.如圖（1）所示，一個梯子AB長2.5米，頂端A靠在墻AC上，這時梯子下端B與墻角C距離為1.5米，梯子滑動后停在DE位置上，如圖（2）所示，測得得BD=0.5米，求梯子頂端A下落了多少米？

AAECBCBD（1）（2）

思維入門指導(dǎo)：梯子頂端A下落的距離為AE，即求AE的長。已知AB和BC，

求這塊地的面積。

ADCB

思維入門指導(dǎo)：求面積時一般要把不規(guī)則圖形分割成規(guī)則圖形，若連結(jié)BD，似乎不得要領(lǐng)，連結(jié)AC，求出SABCSACD即可。

解：連結(jié)AC，在Rt△ADC中，

ADCB

AC2CD2AD212292225AC15

在△ABC中，AB2=1521AC2BC21523621521

AB2AC2BC2，ACB90°

SABCSACD12ACBC12ADCD

1

1536112927054216(m222)

答：這塊地的面積是216平方米。

點撥：此題綜合地應(yīng)用了勾股定理和直角三角形判定條件。

第二章實數(shù)

基本知識回顧

1.無理數(shù)的引入。無理數(shù)的定義無限不循環(huán)小數(shù)。

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定義：如果一個數(shù)x的立方等于a，即x3a，那么這個數(shù)x就叫做a的立方根，記為3a.

概念有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱實數(shù)分類有理數(shù)正數(shù)無理數(shù)或03.實數(shù)及其相關(guān)概念負(fù)數(shù)絕對值、相反數(shù)、倒數(shù)的意義同有理數(shù)實數(shù)與數(shù)軸上的點是一一對應(yīng)實數(shù)的運算法則、運算規(guī)律與有理數(shù)的運算法則運算規(guī)律相同。

一、實數(shù)的概念及分類

1、實數(shù)的分類

正有理數(shù)

有理數(shù)零有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)實數(shù)負(fù)有理數(shù)

正無理數(shù)

無理數(shù)無限不循環(huán)小數(shù)負(fù)無理數(shù)

2、無理數(shù)：無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù)。

在理解無理數(shù)時，要抓住“無限不循環(huán)”這一時之，歸納起來有四類：（1）開方開不盡的數(shù)，如7,32等；

（2）有特定意義的數(shù)，如圓周率π，或化簡后含有π的數(shù)，如π/3+8等；（3）有一定規(guī)律，但并不循環(huán)的數(shù)，如0.1010010001等；（4）某些三角函數(shù)值，如sin60o等二、實數(shù)的倒數(shù)、相反數(shù)和絕對值

1、相反數(shù)

實數(shù)與它的相反數(shù)時一對數(shù)（只有符號不同的兩個數(shù)叫做互為相反數(shù)，零的相反數(shù)是零），從數(shù)軸上看，互為相反數(shù)的兩個數(shù)所對應(yīng)的點關(guān)于原點對稱，如果a與b互為相反數(shù)，則有a+b=0，a=b，反之亦成立。

2、絕對值

在數(shù)軸上，一個數(shù)所對應(yīng)的點與原點的距離，叫做該數(shù)的絕對值。（|a|≥0）。零的絕對值是它本身，也可看成它的相反數(shù)，若|a|=a，則a≥0；若|a|=-a，則a≤0。3、倒數(shù)

如果a與b互為倒數(shù)，則有ab=1，反之亦成立。倒數(shù)等于本身的數(shù)是1和-1。零沒有倒數(shù)。

4、數(shù)軸

規(guī)定了原點、正方向和單位長度的直線叫做數(shù)軸（畫數(shù)軸時，要注意上述規(guī)定的三要素缺一不可）。

解題時要真正掌握數(shù)形結(jié)合的思想，理解實數(shù)與數(shù)軸的點是一一對應(yīng)的，并能靈活運用。

5、估算

利用非負(fù)數(shù)解題的常見類型例1.

已知x5|y3|0，求x22y的值。

解：x50，|y3|0，且x5|y3|0x50，|y3|0x50，y30

x5，y3

x22y25619

點撥：利用算術(shù)平方根，絕對值非負(fù)性解題。

三、平方根、算數(shù)平方根和立方根

1、算術(shù)平方根：一般地，如果一個正數(shù)x的平方等于a，即x2=a，那么這個正數(shù)x就叫做a的算術(shù)平方根。特別地，0的算術(shù)平方根是0。

表示方法：記作“a”，讀作根號a。

性質(zhì)：正數(shù)和零的算術(shù)平方根都只有一個，零的算術(shù)平方根是零。2、平方根：一般地，如果一個數(shù)x的平方等于a，即x2

=a，那么這個數(shù)x就叫做a的平方根（或二次方根）。

表示方法：正數(shù)a的平方根記做“a”，讀作“正、負(fù)根號a”。

性質(zhì)：一個正數(shù)有兩個平方根，它們互為相反數(shù)；零的平方根是零；負(fù)數(shù)沒有平方根。

開平方：求一個數(shù)a的平方根的運算，叫做開平方。注意a的雙重非負(fù)性：被開方數(shù)與結(jié)果均為非負(fù)數(shù)。即a≥0，3、立方根

一般地，如果一個數(shù)x的立方等于a，即x3=a那么這個數(shù)x就叫做a的立方根（或三次方根）。

表示方法：記作3a

性質(zhì)：一個正數(shù)有一個正的立方根；一個負(fù)數(shù)有一個負(fù)的立方根；零的立方根是零。

注意：3a3a，這說明三次根號內(nèi)的負(fù)號可以移到根號外面。四、實數(shù)大小的比較

1、實數(shù)比較大小：正數(shù)大于零，負(fù)數(shù)小于零，正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)；數(shù)軸上的兩個點所表示的數(shù)，右邊的總比左邊的大；兩個負(fù)數(shù)，絕對值大的反而小。

2、實數(shù)大小比較的幾種常用方法

（1）數(shù)軸比較：在數(shù)軸上表示的兩個數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大。（2）求差比較：設(shè)a、b是實數(shù)，

ab0ab,

ab0ab,

ab0ab

（3）求商比較法：設(shè)a、b是兩正實數(shù)，

ab1ab;ab1ab;ab1ab;（4）絕對值比較法：設(shè)a、b是兩負(fù)實數(shù)，則abab。

（5）平方法：設(shè)a、b是兩負(fù)實數(shù)，則a2b2ab。

（6）倒數(shù)法：設(shè)a、b是同正,如果1/a＞1/b，則a＜b;同負(fù)，如果1/a＞1/b，則a＞b

五、算術(shù)平方根有關(guān)計算（二次根式）

1、含有二次根號“”；被開方數(shù)a必須是非負(fù)數(shù)。

2、性質(zhì)：

（1）(a)2a(a0)（2）a2aa(a0)a(a0)

（3）abab(a0,b0)（abab(a0,b0)）（4）abab(a0,b0)（abab(a0,b0)）

3、運算結(jié)果若含有“a”形式，必須滿足：（1）被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式；（2）被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式六、實數(shù)的運算

（1）六種運算：加、減、乘、除、乘方、開方（2）實數(shù)的運算順序

先算乘方和開方，再算乘除，最后算加減，如果有括號，就先算括號里面的。（3）運算律

加法交換律abba

加法結(jié)合律(ab)ca(bc)乘法交換律abba乘法結(jié)合律(ab)ca(bc)乘法對加法的分配律a(bc)abac

例.計算：

（1）2121；

（2）3232；

（3）2323；

（4）5252.

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通過以上計算，觀察規(guī)律，寫出用n（n為正整數(shù)）表示上面規(guī)律的等式___________。

22解：211；3221；4321；5241

規(guī)律：

n1nn1n1

第三章圖形的平移與旋轉(zhuǎn)

一、平移

1、定義：在平面內(nèi)，將一個圖形整體沿某方向移動一定的距離，這樣的圖形運動稱為平移。

2、要素（或條件）：方向，即前后對應(yīng)點的射線方向；距離，即對應(yīng)點之間的距離

3、性質(zhì)：平移前后兩個圖形的形狀和大小不變（即全等圖形），對應(yīng)點連線平行（或在同一條直線上）且相等，對應(yīng)線段平行（或在同一條直線上）且相等，對應(yīng)角相等。4、平移作圖：

線段的平移作法：

作法1：將線段兩端點分別平移，然后將兩個平移后的點連成線段，即為原線段平移后的線段；

作法2：將線段一端點平移，然后過平移后的點作原線段的平行線，在該平行線適當(dāng)方向截取長度為指定線段長度，則所得線段為所求.

二、旋轉(zhuǎn)

1、定義：在平面內(nèi)，將一個圖形繞某一定點沿某個方向轉(zhuǎn)動一個角度，這樣的圖形運動稱為旋轉(zhuǎn)，這個定點稱為旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動的角叫做旋轉(zhuǎn)角。

2、要素（或條件）：旋轉(zhuǎn)中心（定點）、旋轉(zhuǎn)方向（順時針/逆時針）、旋轉(zhuǎn)角度（0~3600）

3、性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后兩個圖形是全等圖形，對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心的連線所成的角等于旋轉(zhuǎn)角。4、旋轉(zhuǎn)作圖：

（1）作圖步驟：觀察基本圖案（確定關(guān)鍵點）確定旋轉(zhuǎn)的三要素找到對應(yīng)點連接對應(yīng)點作答

（2）旋轉(zhuǎn)作圖的方法：1、把各關(guān)鍵點依次與旋轉(zhuǎn)中心連接2、按要求向順時針/逆時針旋轉(zhuǎn)相應(yīng)角度3、截取對應(yīng)線段4、連接對應(yīng)點

5、作答

三、簡單的圖案設(shè)計：

第四章四邊形性質(zhì)探索

一、四邊形的相關(guān)概念

1、四邊形：在同一平面內(nèi)，由不在同一直線上的四條線段首尾順次相接組成的圖形叫做四邊形。

2、四邊形具有不穩(wěn)定性

3、四邊形的內(nèi)角和定理及外角和定理

四邊形的內(nèi)角和定理：四邊形的內(nèi)角和等于360°。四邊形的外角和定理：四邊形的外角和等于360°。

推論：多邊形的內(nèi)角和定理：n邊形的內(nèi)角和等于(n-2)*180°；多邊形的外角和定理：任意多邊形的外角和等于360°。6、設(shè)多邊形的邊數(shù)為n，從n邊形的一個頂點出發(fā)能引（n-3）條對角線，將n邊形分成（n-2）個三角形。多邊形的對角線共有n(n3)條。

2二、平行四邊形1、平行四邊形的定義

兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。2、平行四邊形的性質(zhì)

（1）平行四邊形的對邊平行且相等。（2）平行四邊形相鄰的角互補，對角相等（3）平行四邊形的對角線互相平分。

（4）平行四邊形是中心對稱圖形，對稱中心是對角線的交點。常用點：（1）若一直線過平行四邊形兩對角線的交點，則這條直線被一組對邊截下的線段的中點是對角線的交點，并且這條直線二等分此平行四邊形的面積。

（2）推論：夾在兩條平行線間的平行線段相等。3、平行四邊形的判定

（1）定義：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形（2）定理1：兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形（3）定理2：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形（4）定理3：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形（5）定理4：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形4、兩條平行線之間的距離（平行線間的距離處處相等）

兩條平行線中，一條直線上的任意一點到另一條直線的距離，叫做這兩條平行線的距離。

5、平行四邊形的面積：S平行四邊形=底邊長×高=ah三、菱形1、菱形的定義

有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形2、菱形的性質(zhì)

（1）菱形的四條邊相等，對邊平行（2）菱形的相鄰的角互補，對角相等

（3）菱形的對角線互相垂直平分，并且每一條對角線平分一組對角（4）菱形既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形；對稱中心是對角線的交點（對稱中心到菱形四條邊的距離相等）；對稱軸有兩條，是對角線所在的直線。

3、菱形的判定

（1）定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形（2）定理1：四邊都相等的四邊形是菱形（3）定理2：對角線互相垂直的平行四邊形是菱形4、菱形的面積

S菱形=底邊長×高=兩條對角線乘積的一半四、矩形

1、矩形的定義

有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形。2、矩形的性質(zhì)

（1）矩形的對邊平行且相等（2）矩形的四個角相等，都是直角（3）矩形的對角線相等且互相平分

（4）矩形既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形；對稱中心是對角線的交點（對稱中心到矩形四個頂點的距離相等）；對稱軸有兩條，是對邊中點連線所在的直線。

3、矩形的判定

（1）定義：有一個角是直角的平行四邊形是矩形（2）定理1：有三個角是直角的四邊形是矩形（3）定理2：對角線相等的平行四邊形是矩形4、矩形的面積：S矩形=長×寬=ab五、正方形（3~10分）1、正方形的定義

有一組鄰邊相等并且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形。2、正方形的性質(zhì)

（1）正方形四條邊都相等，對邊平行（2）正方形的四個角都是直角

（3）正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每一條對角線平分一組對角

（4）正方形既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形；對稱中心是對角線的交點；對稱軸有四條，是對角線所在的直線和對邊中點連線所在的直線。

3、正方形的判定

判定一個四邊形是正方形的主要依據(jù)是定義，途徑有兩種：先證它是矩形，再證它是菱形。先證它是菱形，再證它是矩形。4、正方形的面積

設(shè)正方形邊長為a，對角線長為bS正方形=2a2b

2例1.菱形的周長為20cm，相鄰兩內(nèi)角的比為1：2，求菱形的面積？

解：如圖所示，菱形ABCD，由于周長為20cm，∴AB=5cm

ADBEC

又A：B2：1，A120°，B60°

過點A作BC的垂線，垂足為E，則∠BAE=30°

BE12AB52

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22AEAB2BE5255223

S菱形535253cm222

另一種解法：如圖所示，連結(jié)AC、BD，相交于點O。

ADOBC

BAD：ABC2：1ABC60°，又ABBC

∴△ABC是等邊三角形，∴AC=5

又OAOC，OA52

又AOBD，OBAB2OA2

22555223

BD532

S菱形125532523cm

點撥：菱形的兩種求面積的方法都比較常用，注意根據(jù)題中所給的條件靈活選擇。有時要與一些特殊角，比如30°、60°角的特殊性質(zhì)聯(lián)系起來。

六、梯形

（一）1、梯形的相關(guān)概念

一組對邊平行而另一組對邊不平行的四邊形叫做梯形。

梯形中平行的兩邊叫做梯形的底，通常把較短的底叫做上底，較長的底叫做下底。梯形中不平行的兩邊叫做梯形的腰。梯形的兩底的距離叫做梯形的高。

2、梯形的判定

（1）定義法：一組對邊平行而另一組對邊不平行的四邊形是梯形。（2）一組對邊平行且不相等的四邊形是梯形。

（二）直角梯形的定義：一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形。一般地，梯形的分類如下：一般梯形

梯形直角梯形特殊梯形

等腰梯形（三）等腰梯形1、等腰梯形的定義

兩腰相等的梯形叫做等腰梯形。2、等腰梯形的性質(zhì)

（1）等腰梯形的兩腰相等，兩底平行。

（2）等腰梯形同一底上的兩個角相等，同一腰上的兩個角互補,不同底的兩個角互補。

（3）等腰梯形的對角線相等。

（4）等腰梯形是軸對稱圖形，它只有一條對稱軸，即兩底的垂直平分線。3、等腰梯形的判定

（1）定義：兩腰相等的梯形是等腰梯形

（2）定理：在同一底上的兩個角相等的梯形是等腰梯形

（3）對角線相等的梯形是等腰梯形。（選擇題和填空題可直接用）（四）梯形的面積（1）如圖，S1梯形ABCD(CDAB)DE2（2）梯形中有關(guān)圖形的面積：

①SABDSBAC；②SAODSBOC；③SADCSBCD

七、有關(guān)中點四邊形問題的知識點：

（1）順次連接任意四邊形的四邊中點所得的四邊形是平行四邊形；（2）順次連接矩形的四邊中點所得的四邊形是菱形；（3）順次連接菱形的四邊中點所得的四邊形是矩形；（4）順次連接等腰梯形的四邊中點所得的四邊形是菱形；（5）順次連接對角線相等的四邊形四邊中點所得的四邊形是菱形；

（6）順次連接對角線互相垂直的四邊形四邊中點所得的四邊形是矩形；（7）順次連接對角線互相垂直且相等的四邊形四邊中點所得的四邊形是正方形；

八、中心對稱圖形1、定義

在平面內(nèi)，一個圖形繞某個點旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)前后的圖形互相重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點叫做它的對稱中心。

2、性質(zhì)

（1）關(guān)于中心對稱的兩個圖形是全等形。

（2）關(guān)于中心對稱的兩個圖形，對稱點連線都經(jīng)過對稱中心，并且被對稱中心平分。

（3）關(guān)于中心對稱的兩個圖形，對應(yīng)線段平行（或在同一直線上）且相等。3、判定

如果兩個圖形的對應(yīng)點連線都經(jīng)過某一點，并且被這一點平分，那么這兩個圖形關(guān)于這一點對稱。

例.作圖，作出△ABC繞O點旋轉(zhuǎn)180°后的圖形。

AOBC

解：作法：

（1）連結(jié)AO并延長在延長線上截取A’O=AO（2）連結(jié)BO并延長在延長線上截取B’O=BO（3）連結(jié)CO并延長在延長線上截取C’O=CO（4）順次連結(jié)A’B’，B’C’，C’A’�！鰽’B’C’即為所求。

AC’OBB’CA’

九、四邊形、矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形、直角梯形的關(guān)系：

例.如圖所示，梯形ABCD，AC=BD，這個梯形是等腰梯形嗎？說明理由。

ADBC

解：是等腰梯形，理由如下：

把AC平移到DE的位置，則四邊形ACED是平行四邊形∵DE=BD，∠1=∠2∴∠2=∠3，∴∠1=∠3

在△DBC和△ACB中，DB=AC，∠1=∠3，BC=CB∴△DBC≌△ACB（SAS）∴DC=AB

∴梯形ABCD是等腰梯形。

AD312BCE

例1.如圖所示，矩形ABCD中，AB=4，BC=8，將矩形沿AC折疊，點D落在點

D’處，則重疊部分△AEC的面積為多少？

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ADBECD’

解：∵CD’=CD=AB，∠CED’=∠AEB，∠D’=∠B=90°

CED"AEBCEAE，D"EBE

設(shè)BEx，則CE8x，則AE8x

在RtABE中，有42x2(8x)2

x3則SABE12436

1

SABC24816

SAEC10

點撥：設(shè)未知數(shù)列方程有時是解決幾何問題的重要方法。

擴(kuò)展閱讀：八年級上冊期中考試知識點歸納(北師大版)

北師大版《數(shù)學(xué)》（八年級上冊）知識點總結(jié)

第一章勾股定理

1、勾股定理

（1）直角三角形兩直角邊

a，b的平方和等于斜邊c

的平方，即a2b2c2

（2）勾股定理的驗證：測量、數(shù)格子、拼圖法、面積法，如青朱出入圖、五巧板、玄圖、總統(tǒng)證法（通過面積的不同表示方法得到驗證，也叫等面積法或等積法）

（3）勾股定理的適用范圍：僅限于直角三角形

2、勾股定理的逆定理

如果三角形的三邊長a，b，c有關(guān)系a2b2c2，

那么這個三角形是直角三角形。

3、勾股數(shù)：滿足a2b2c2的三個正整數(shù)a，b，

c，稱為勾股數(shù)。

常見的勾股數(shù)有：（6,8,10）（3,4,5）（5,12，,13）

（9,12,15）（7,24,25）（9,40,41）

規(guī)律：（1），短直角邊為奇數(shù)，另一條直角邊與斜邊

是兩個連續(xù)的自然數(shù)，兩邊之和是短直角邊的平方。即當(dāng)a為奇數(shù)且a＜b時，如果b+c=a2

那么a,b,c就是一組勾股數(shù).如（3,4,5）（5,12，,13）（7,24,25）（9,40,41）

（2）大于2的任意偶數(shù)，2n(n＞1)都可構(gòu)成一

組勾股數(shù)分別是：2n,n2-1,n2+1

米，梯子滑動后停在DE位置上，如圖（2）所示，測如：（6,8,10）（8,15,17）（10,24,26）

得得BD=0.5米，求梯子頂端A下落了多少米？

4、常見題型應(yīng)用：

AAE（1）已知任意兩條邊的長度，求第三邊/斜邊上

的高線/周長/面積

CBCBD（1）（2）

（2）已知任意一條的邊長以及另外兩條邊長

思維入門指導(dǎo)：梯子頂端A下落的距離為AE，即

之間的關(guān)系，求各邊的長度//斜邊上的高線/周長/面求AE的長。已知AB和BC，根據(jù)勾股定理可求AC，積

只要求出EC即可。

（3）判定三角形形狀：a2+b2＞c2銳角~，a2解：在Rt△ACB中，AC2=AB2-BC2=2.52-1.52=4，+b2=c2直角~，a2+b2＜c2鈍角~

∴AC=2

判定直角三角形a..找最長邊；b.比較長邊的∵BD=0.5，∴CD=2平方與另外兩條較短邊的平方和之間的大小關(guān)系；c.

確定形狀

在RtECD中，EC2ED2CD22.52222.25（4）構(gòu)建直角三角形解題

∴EC=1.5

例1.已知直角三角形的兩直角邊之比為3：4，斜邊為AEACEC215.05.

10。求直角三角形的兩直角邊。

答：梯子頂端下滑了0.5米。解：設(shè)兩直角邊為3x，4x，由題意知：點撥：要考慮梯子的長度不變。

例5.如圖所示的一塊地，AD=12m，CD=9m，∠

ADC=90°，AB=39m，BC=36m，求這塊地的面積。

(3x)2(4x)2100，9x216x2100，25x2100，x24A∴x=2，則3x=6，4x=8，故兩直角邊為6，8。

D中考突破

CB（1）中考典題

思維入門指導(dǎo)：求面積時一般要把不規(guī)則圖形分割成規(guī)則圖形，若連結(jié)BD，例.如圖（1）所示，一個梯子AB長2.5米，頂端似乎不得要領(lǐng)，連結(jié)AC，求出SABCSACD即可。

A靠在墻AC上，這時梯子下端B與墻角C距離為1.5

解：連結(jié)AC，在Rt△ADC中，

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ADCB

AC2CD2AD212292225

AC15

在△ABC中，AB2=1521

AC2BC21523621521

AB2AC2BC2，ACB90°

1

SABCSACD2ACBC12ADCD

11

21536212927054216(m2)

答：這塊地的面積是216平方米。

點撥：此題綜合地應(yīng)用了勾股定理和直角三角形判定條件。

第二章實數(shù)

基本知識回顧

1.無理數(shù)的引入。無理數(shù)的定義無限不循環(huán)小數(shù)。

算術(shù)平方根定義如果一個非負(fù)數(shù)x的平方等于a，即實數(shù)x2a負(fù)有理數(shù)那么這個非負(fù)數(shù)x就叫做a的算術(shù)平方根，記為a，0正無理數(shù)算術(shù)平方根為非負(fù)數(shù)a正數(shù)的平方根有2個，它們互為相反數(shù)無理數(shù)無限不循環(huán)小平方根0的平方根是0數(shù)2.無理數(shù)的表示負(fù)數(shù)沒有平方根定義：如果一個數(shù)的平方等于a，即x2a，那么這個數(shù)就負(fù)無理數(shù)叫做a的平方根，記為a2、無理數(shù)：無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù)。正數(shù)的立方根是正數(shù)立方根在理解無理數(shù)時，要抓住“無限不循環(huán)”這一時負(fù)數(shù)的立方根是負(fù)數(shù)0的立方根是0之，歸納起來有四類：定義：如果一個數(shù)x的立方等于a，即x3a，那么這個數(shù)（1）開方開不盡的數(shù)，如x7,32等；就叫做a的立方根，記為3a.）有特定意義的數(shù)，

（2如圓周率π，或化簡后含

概念有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱實數(shù)有π的數(shù)，如π/3+8等；正數(shù)（3）有一定規(guī)律，但并不循環(huán)的數(shù)，如分類有理數(shù)或00.1010010001等；無理數(shù)3.實數(shù)及其相關(guān)概念負(fù)數(shù)（4）某些三角函數(shù)值，如sin60o等絕對值、相反數(shù)、倒數(shù)的意義同有理數(shù)二、實數(shù)的倒數(shù)、相反數(shù)和絕對值實數(shù)與數(shù)軸上的點是一一對應(yīng)1、相反數(shù)實數(shù)的運算法則、運算規(guī)律與有理數(shù)的運算法則實數(shù)與它的相反數(shù)時一對數(shù)（只有符號不同的兩運算規(guī)律相同。個數(shù)叫做互為相反數(shù)，零的相反數(shù)是零），從數(shù)軸上

看，互為相反數(shù)的兩個數(shù)所對應(yīng)的點關(guān)于原點對稱，一、實數(shù)的概念及分類如果a與b互為相反數(shù)，則有a+b=0，a=b，反之

1、實數(shù)的分類亦成立。正有理數(shù)2、絕對值

有理數(shù)零有限小數(shù)和在數(shù)軸上，一個數(shù)所對應(yīng)的點與原點的距離，叫無限循環(huán)小數(shù)

第2頁共8頁做該數(shù)的絕對值。（|a|≥0）。零的絕對值是它本身，也可看成它的相反數(shù)，若|a|=a，則a≥0；若|a|=-a，則a≤0。

3、倒數(shù)

如果a與b互為倒數(shù)，則有ab=1，反之亦成立。倒數(shù)等于本身的數(shù)是1和-1。零沒有倒數(shù)。

4、數(shù)軸

規(guī)定了原點、正方向和單位長度的直線叫做數(shù)軸（畫數(shù)軸時，要注意上述規(guī)定的三要素缺一不可）。

解題時要真正掌握數(shù)形結(jié)合的思想，理解實數(shù)與數(shù)軸的點是一一對應(yīng)的，并能靈活運用。

5、估算

利用非負(fù)數(shù)解題的常見類型

例1.

已知x5|y3|0，求x22y的值。

解：

x50，|y3|0，且x5|y3|0x50，|y3|0x50，y30x5，y3

x22y25619

點撥：利用算術(shù)平方根，絕對值非負(fù)性解題。

三、平方根、算數(shù)平方根和立方根

1、算術(shù)平方根：一般地，如果一個正數(shù)x的平方等于a，即x2=a，那么這個正數(shù)x就叫做a的算術(shù)平方

根。特別地，0的算術(shù)平方根是0。

表示方法：記作“a”，讀作根號a。性質(zhì)：正數(shù)和零的算術(shù)平方根都只有一個，零的算術(shù)平方根是零。

2、平方根：一般地，如果一個數(shù)x的平方等于a，即x2=a，那么這個數(shù)x就叫做a的平方根（或二次方根）。表示方法：正數(shù)a的平方根記做“a”，讀作“正、負(fù)根號a”。

性質(zhì)：一個正數(shù)有兩個平方根，它們互為相反數(shù)；零的平方根是零；負(fù)數(shù)沒有平方根。

開平方：求一個數(shù)a的平方根的運算，叫做開平方。注意a的雙重非負(fù)性：被開方數(shù)與結(jié)果均為非負(fù)數(shù)。即a≥0，3、立方根

一般地，如果一個數(shù)x的立方等于a，即x3

=a那么這個數(shù)x就叫做a的立方根（或三次方根）。

表示方法：記作3a

性質(zhì)：一個正數(shù)有一個正的立方根；一個負(fù)數(shù)有一個負(fù)的立方根；零的立方根是零。

注意：3a3a，這說明三次根號內(nèi)的負(fù)號可以移到根號外面。

四、實數(shù)大小的比較

1、實數(shù)比較大�。赫龜�(shù)大于零，負(fù)數(shù)小于零，

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正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)；數(shù)軸上的兩個點所表示的數(shù)，右邊的總比左邊的大；兩個負(fù)數(shù)，絕對值大的反而小。

2、實數(shù)大小比較的幾種常用方法

（1）數(shù)軸比較：在數(shù)軸上表示的兩個數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大。

（2）求差比較：設(shè)a、b是實數(shù)，

ab0ab,ab0ab,

ab0ab

（3）求商比較法：設(shè)a、b是兩正實數(shù)，

ab1ab;a1bab;ab1ab;

（4）絕對值比較法：設(shè)a、b是兩負(fù)實數(shù)，則

abab。

（5）平方法：設(shè)a、b是兩負(fù)實數(shù)，則

a2b2ab。

（6）倒數(shù)法：設(shè)a、b是同正,如果1/a＞1/b，則a＜b;同負(fù)，如果1/a＞1/b，則a＞b

五、算術(shù)平方根有關(guān)計算（二次根式）

1、含有二次根號“”；被開方數(shù)a必須是非

負(fù)數(shù)。

2、性質(zhì)：

（1）(a)2a(a0)

2（2）aa

a(a0)

abab(a0,b0)

（1）（2）2121；；a(a0)

（（

3）

abab(a0,b0)）

3232（3）2323

（4）5252

移后的點連成線段，即為原線段平移后的線段；作法2：將線段一端點平移，然后過平移后的點

；.作原線段的平行線，在該平行線適當(dāng)方向截取長度為指定線段長度，則所得線段為所求.

（4）

aa通過以上計算，觀察規(guī)律，寫出用n（n為正整數(shù)）(a0,b0)

bb（abab(a0,b0)）

3、運算結(jié)果若含有“

a”形式，必須滿足：

（1）被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式；

（2）被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式

六、實數(shù)的運算

（1）六種運算：加、減、乘、除、乘方、開方（2）實數(shù)的運算順序

先算乘方和開方，再算乘除，最后算加減，如果有括號，就先算括號里面的。

（3）運算律

加法交換律abba加法結(jié)合律(ab)ca(bc)乘法交換律abba乘法結(jié)合律(ab)ca(bc)乘法對加法的分配律a(bc)abac

例.計算：

表示上面規(guī)律的等式___________。解

：

2211；32221；4321；5241

規(guī)律：n1nn1n1

第三章圖形的平移與旋轉(zhuǎn)

一、平移

1、定義：在平面內(nèi)，將一個圖形整體沿某方向移動一定的距離，這樣的圖形運動稱為平移。

2、要素（或條件）：方向，即前后對應(yīng)點的射線方向；距離，即對應(yīng)點之間的距離

3、性質(zhì)：平移前后兩個圖形的形狀和大小不變（即全等圖形），對應(yīng)點連線平行（或在同一條直線上）且相等，對應(yīng)線段平行（或在同一條直線上）且相等，對應(yīng)角相等。4、平移作圖：線段的平移作法：

作法1：將線段兩端點分別平移，然后將兩個平

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二、旋轉(zhuǎn)

1、定義：在平面內(nèi)，將一個圖形繞某一定點沿某個方向轉(zhuǎn)動一個角度，這樣的圖形運動稱為旋轉(zhuǎn)，這個定點稱為旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動的角叫做旋轉(zhuǎn)角。

2、要素（或條件）：旋轉(zhuǎn)中心（定點）、旋轉(zhuǎn)方向（順時針/逆時針）、旋轉(zhuǎn)角度（0~3600）

3、性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后兩個圖形是全等圖形，對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心的連線所成的角等于旋轉(zhuǎn)角。4、旋轉(zhuǎn)作圖：

（1）作圖步驟：觀察基本圖案（確定關(guān)鍵點）確定旋轉(zhuǎn)的三要素找到對應(yīng)點連接對應(yīng)點作答

（2）旋轉(zhuǎn)作圖的方法：1、把各關(guān)鍵點依次與旋轉(zhuǎn)中心連接

2、按要求向順時針/逆時針旋轉(zhuǎn)相應(yīng)角度

3、截取對應(yīng)線段4、連接對應(yīng)點5、作答

三、簡單的圖案設(shè)計：

第四章四邊形性質(zhì)探索

一、四邊形的相關(guān)概念

1、四邊形：在同一平面內(nèi)，由不在同一直線上的

四條線段首尾順次相接組成的圖形叫做四邊形。

2、四邊形具有不穩(wěn)定性

3、四邊形的內(nèi)角和定理及外角和定理四邊形的內(nèi)角和定理：四邊形的內(nèi)角和等于360°。

四邊形的外角和定理：四邊形的外角和等于360°。

推論：多邊形的內(nèi)角和定理：n邊形的內(nèi)角和等于(n-2)×180°；

多邊形的外角和定理：任意多邊形的外角和等于360°。

6、設(shè)多邊形的邊數(shù)為n，從n邊形的一個頂點出發(fā)能引（n-3）條對角線，將n邊形分成（n-2）個三

角形。多邊形的對角線共有n(n3)2條。

二、平行四邊形

1、平行四邊形的定義

兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。

2、平行四邊形的性質(zhì)

（1）平行四邊形的對邊平行且相等。（2）平行四邊形相鄰的角互補，對角相等（3）平行四邊形的對角線互相平分。（4）平行四邊形是中心對稱圖形，對稱中心是對角線的交點。

常用點：（1）若一直線過平行四邊形兩對角線的交點，則這條直線被一組對邊截下的線段的中點是對角線的交點，并且這條直線二等分此平行四邊形的面積。

（2）推論：夾在兩條平行線間的平行線段相等。3、平行四邊形的判定

（1）定義：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形

（2）定理1：兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形

（3）定理2：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形

（4）定理3：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形

（5）定理4：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形

4、兩條平行線之間的距離（平行線間的距離處處

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相等）

兩條平行線中，一條直線上的任意一點到另一條直線的距離，叫做這兩條平行線的距離。

5、平行四邊形的面積：S平行四邊形=底邊長×高=ah

三、菱形

1、菱形的定義

有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形2、菱形的性質(zhì)

（1）菱形的四條邊相等，對邊平行（2）菱形的相鄰的角互補，對角相等（3）菱形的對角線互相垂直平分，并且每一條對角線平分一組對角

（4）菱形既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形；對稱中心是對角線的交點（對稱中心到菱形四條邊的距離相等）；對稱軸有兩條，是對角線所在的直線。

3、菱形的判定

（1）定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形（2）定理1：四邊都相等的四邊形是菱形（3）定理2：對角線互相垂直的平行四邊形是菱形

4、菱形的面積

S菱形=底邊長×高=兩條對角線乘積的一半四、矩形1、矩形的定義有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形。2、矩形的性質(zhì)

（1）矩形的對邊平行且相等（2）矩形的四個角相等，都是直角（3）矩形的對角線相等且互相平分

（4）矩形既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形；對稱中心是對角線的交點（對稱中心到矩形四個頂點的距離相等）；對稱軸有兩條，是對邊中點連線所在的直線。

3、矩形的判定

（1）定義：有一個角是直角的平行四邊形是矩形（2）定理1：有三個角是直角的四邊形是矩形（3）定理2：對角線相等的平行四邊形是矩形

4、矩形的面積：S矩形=長×寬=ab五、正方形（3~10分）

1、正方形的定義

有一組鄰邊相等并且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形。

2、正方形的性質(zhì)

（1）正方形四條邊都相等，對邊平行（2）正方形的四個角都是直角

（3）正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，

每一條對角線平分一組對角

（4）正方形既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形；對稱中心是對角線的交點；對稱軸有四條，是對角線所在的直線和對邊中點連線所在的直線。

3、正方形的判定

判定一個四邊形是正方形的主要依據(jù)是定義，途徑有兩種：

先證它是矩形，再證它是菱形。先證它是菱形，再證它是矩形。4、正方形的面積

設(shè)正方形邊長為a，對角線長為bS2正方形=a2b2

例1.菱形的周長為20cm，相鄰兩內(nèi)角的比為1：2，求菱形的面積？

解：如圖所示，菱形ABCD，由于周長為20cm，∴AB=5cm

ADBEC

又A：B2：1，A120°，B60°

過點A作BC的垂線，垂足為E，則∠BAE=30°

BE152AB2第6頁共8頁

22AEABBE25255223

S菱形52352523cm2

另一種解法：如圖所示，連結(jié)AC、BD，相交于點O。

ADOBC

BAD：ABC2：1ABC60°，又ABBC∴△ABC是等邊三角形，∴AC=5

又OAOC，OA52又AOBD，OBAB2OA2

52525

223

BD53

S155325菱形3cm222

點撥：菱形的兩種求面積的方法都比較常用，注

意根據(jù)題中所給的條件靈活選擇。有時要與一些特殊角，比如30°、60°角的特殊性質(zhì)聯(lián)系起來。

六、梯形

（一）1、梯形的相關(guān)概念

一組對邊平行而另一組對邊不平行的四邊形叫做

梯形。

梯形中平行的兩邊叫做梯形的底，通常把較短的底叫做上底，較長的底叫做下底。梯形中不平行的兩邊叫做梯形的腰。梯形的兩底的距離叫做梯形的高。

2、梯形的判定

（1）定義法：一組對邊平行而另一組對邊不平行的四邊形是梯形。

（2）一組對邊平行且不相等的四邊形是梯形。（二）直角梯形的定義：一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形。

一般地，梯形的分類如下：一般梯形

梯形直角梯形特殊梯形

等腰梯形（三）等腰梯形1、等腰梯形的定義

兩腰相等的梯形叫做等腰梯形。2、等腰梯形的性質(zhì)

（1）等腰梯形的兩腰相等，兩底平行。（2）等腰梯形同一底上的兩個角相等，同一腰上的兩個角互補,不同底的兩個角互補。

（3）等腰梯形的對角線相等。

（4）等腰梯形是軸對稱圖形，它只有一條對稱軸，即兩底的垂直平分線。

3、等腰梯形的判定

（1）定義：兩腰相等的梯形是等腰梯形（2）定理：在同一底上的兩個角相等的梯形是等腰梯形

（3）對角線相等的梯形是等腰梯形。（選擇題和填空題可直接用）

（四）梯形的面積（1）如圖，

S梯形ABCD1(CDAB

2)DE（2）梯形中有關(guān)圖

形的面積：

①SABDSBAC；②SAODSBOC；

③SADCSBCD

七、有關(guān)中點四邊形問題的知識點：（1）順次連接任意四邊形的四邊中點所得的四邊形是平行四邊形；

（2）順次連接矩形的四邊中點所得的四邊形是菱形；（3）順次連接菱形的四邊中點所得的四邊形是矩形；（4）順次連接等腰梯形的四邊中點所得的四邊形是

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菱形；

（5）順次連接對角線相等的四邊形四邊中點所得的四邊形是菱形；

（6）順次連接對角線互相垂直的四邊形四邊中點所得的四邊形是矩形；

（7）順次連接對角線互相垂直且相等的四邊形四邊中點所得的四邊形是正方形；

八、中心對稱圖形

1、定義

在平面內(nèi)，一個圖形繞某個點旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)前后的圖形互相重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點叫做它的對稱中心。

2、性質(zhì)

（1）關(guān)于中心對稱的兩個圖形是全等形。（2）關(guān)于中心對稱的兩個圖形，對稱點連線都經(jīng)過對稱中心，并且被對稱中心平分。

（3）關(guān)于中心對稱的兩個圖形，對應(yīng)線段平行（或在同一直線上）且相等。

3、判定

如果兩個圖形的對應(yīng)點連線都經(jīng)過某一點，并且被這一點平分，那么這兩個圖形關(guān)于這一點對稱。例.作圖，作出△ABC繞O點旋轉(zhuǎn)180°后的圖形。AOBCADBC設(shè)BEx，則CE8x，則AE8x

222在RtABE中，有4x(8x)

解：是等腰梯形，理由如下：

x3

14362

把AC平移到DE的位置，則四邊形ACED是平則SABE

解：作法：

（1）連結(jié)AO并延長在延長線上截取A’O=AO（2）連結(jié)BO并延長在延長線上截取B’O=BO（3）連結(jié)CO并延長在延長線上截取C’O=CO（4）順次連結(jié)A’B’，B’C’，C’A’。△A’B’C’即為所求。

AC’OBB’CA’

九、四邊形、矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形、直角梯形的關(guān)系：

例.如圖所示，梯形ABCD，AC=BD，這個梯形是等腰梯形嗎？說明理由。

行四邊形

∵DE=BD，∠1=∠2∴∠2=∠3，∴∠1=∠3

在△DBC和△ACB中，DB=AC，∠1=∠3，BC=CB∴△DBC≌△ACB（SAS）∴DC=AB

∴梯形ABCD是等腰梯形。

AD312BCE

例1.如圖所示，矩形ABCD中，AB=4，BC=8，將矩形沿AC折疊，點D落在點D’處，則重疊部分△AEC的面積為多少？

ADBECD’

解：∵CD’=CD=AB，∠CED’=∠AEB，∠D’=∠

B=90°

CED"AEBCEAE，D"EBE

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SABC124816

SAEC10

點撥：設(shè)未知數(shù)列方程有時是解決幾何問題的重要方法。

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