高中數(shù)學 14種函數(shù)圖像和性質知識解析 新人教A版必修1

高中不得不掌握的函數(shù)圖像與常用性質

高中常用函數(shù)有14種，它們是:1.正比例函數(shù)；2.反比例函數(shù)；3.根式函數(shù)；4一次函數(shù)；5.二次函數(shù)；6雙勾函數(shù).；7..雙拋函數(shù)；8.指數(shù)函數(shù)；9對數(shù)函數(shù)；10.三角函數(shù)；11分段函數(shù).；12.絕對值函數(shù)；13.超越函數(shù)；14.抽象函數(shù)。而函數(shù)的性質常見的有：1.定義域；2.值域；3.單調性；4.奇偶性；5.周期性；6.對稱性；7.有界性；8.反函數(shù)；9.連續(xù)性.高中都是從函數(shù)解析式入手畫出函數(shù)圖像，再利用函數(shù)圖像研究其性質，下面我們就函數(shù)的圖像和性質做歸納總結。1.正比例函數(shù)解析式圖像定義域：值域：單調性：奇偶性：反函數(shù)：

2.反比例函數(shù)解析式圖像性質定義域：值域：單調性：奇偶性：反函數(shù)：對稱性：定義域：值域：單調性：對稱性：3根式函數(shù)解析式圖像定義域：值域：單調性：奇偶性：反函數(shù)：4一次函數(shù)解析式圖像定義域：值域：1

性質性質性質用心愛心專心

單調性：反函數(shù)：5二次函數(shù)解析式圖像定義域：值域：單調性：對稱性：定義域：值域：單調性：對稱性：6.雙勾函數(shù)解析式圖像定義域：值域：單調性：奇偶性：對稱性：定義域：值域：單調性：奇偶性：對稱性：7.雙拋函數(shù)解析式圖像定義域：值域：單調性：奇偶性：對稱性：定義域：性質性質性質用心愛心專心

值域：單調性：奇偶性：對稱性：8.指數(shù)函數(shù)解析式圖像定義域：值域：單調性：9.對數(shù)函數(shù)解析式圖像定義域：值域：單調性：10.三角函數(shù)解析式圖像單調性：周期性：奇偶性：有界性：對稱性：定義域：值域：單調性：周期性：奇偶性：有界性：對稱性：定義域：值域：單調性：周期性：奇偶性：有界性：對稱性：定義域：值域：單調性：周期性：奇偶性：有界性：對稱性：11.分段函數(shù)

分段函數(shù)是在其定義域的不同子集上，分別用幾個不同的式子來表示對應關系的函數(shù)，它是一類較特殊的函數(shù)。其圖像的畫法是按定義域的劃分分別作圖。其性質主要是考察求值域和單調性。求值域時一定要首先看x0屬于定義域的哪個子集，然后再代入相應的關系式�？�

用心愛心專心

3

性質性質性質定義域：值域：

察單調性主要是整個定義域為增函數(shù)還是減函數(shù)，相當于是恒成立問題。（1）設函數(shù)f(x)（x1)(x1)，則使得f(x)1的自變量x取值范圍是

4x1(x1)(2)已知f(x)1(x0)則不等式x(x2)f(x2)5的解集是＿＿

1(x0)（2a）x1(x1)是R上的增函數(shù)，則a的取值范圍是＿＿xa(x1)（3）已知f(x)13.絕對值函數(shù)一般有yf(x)和yf(x)g(x)兩種類型，只需按絕對值的定義轉化為分段函數(shù)即可畫出圖像；其主要考察值域和單調性。如設

f(x)x24x5求f(x)5的解集。

14.超越函數(shù)超越函數(shù)主要是由1-11種基本初等函數(shù)中的兩種組合在一起的，例如

f(x)sinx、f(x)lnx2x1；其常見的題型是利用11種函數(shù)性質解題，特別是利x用可導性、對稱性、單調性、奇偶性來判斷圖像。15.抽象函數(shù)

抽象函數(shù)是指沒有給出函數(shù)的具體解析式，只給出了其它一些條件（如定義域、單調性、周期性、奇偶性、解析遞推式等）的函數(shù)。其常見的抽象函數(shù)的模型有：

f(xy)f(x)f(y)f(x)kx,

xf(x)f(xy)f(x)f(y)，f()f(x)x2

yf(y)f(xy)f(x)f(y),f(xy)f(x)f(x)axf(y)xf(xy)f(x)f(y),f()f(x)f(y)f(x)logax

yf(xy)f(x)f(y)f(x)tanx.解抽象函數(shù)常用

1f(x)f(y)T)＿21、借用模型函數(shù)類比探究,如已知f(x)是R上的奇函數(shù)，且周期為T，則f(2、利用函數(shù)的性質進行探究，如已知f(x)是R上的函數(shù)且滿足

3f(x2)f(x1)f(x)，若f(1)lg,f(2)lg15,求f(201*)。

23、利用其它方法，如賦值法、遞推法、反證法等進行探究。如已知f(x)是在（-3，3）上的奇函數(shù)，當0

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函數(shù)的單調性與最大（�。┲担�1）

設計理念

新課標指出：“感知數(shù)學，體驗數(shù)學”是人類生活的一部分，是人類生活勞動和學習不可缺少的工具。課程內(nèi)容應與學生生活實際緊密聯(lián)系，從而讓學生感悟到生活中處處有數(shù)學，進而有利于數(shù)學學習的生活化、情境化。因此我在教學“交通與數(shù)學”這一節(jié)內(nèi)容的過程中，從實際生活中的實例出發(fā)，讓學生感受到交通與數(shù)學的密切聯(lián)系，體會到教學在實際生活中的應用，并學會運用所學的知識解決實際生活中的簡單的問題。這樣就充分體現(xiàn)學生的主體地位，充分提供讓學生獨立思考的機會。

本節(jié)內(nèi)容是在學生已經(jīng)學習和掌握了一位數(shù)乘三位數(shù)的乘法計算和搭配方法等數(shù)學知識的基礎上進行教學的。其目的在于引導學生將學過的知識與生活實際聯(lián)系起來，綜合運用，提高解決問題的能力。因此，在教學中我嘗試以“交通”為主線，設計密切聯(lián)系學生實際生活的學習情境；在整個設計中，我始終引導學生在生活情境中提出問題，解決問題，這些都是和學生息息相關的生活問題，因此學生始終能保持較高的學習興趣，樂于將自己的想法與他人交流，積極性很高。

教學內(nèi)容：

本節(jié)課是《普通高中課程標準實驗教科書.數(shù)學1》（人教版A）第一章第三節(jié)第一課時（1.3.1）《單調性與最大（�。┲怠�。

教學目標：

1、理解函數(shù)單調性的概念，并能判斷一些簡單函數(shù)在給定區(qū)間上的單調性；

2、啟發(fā)學生發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，培養(yǎng)學生分析問題、認識問題和解決問題的能力；3、通過觀察猜想推理證明這一重要的思想方法，進一步培養(yǎng)學生的邏輯推理能力和創(chuàng)新意識。

4、通過數(shù)形結合的數(shù)學思想，對學生進行辯證唯物主義的思想教育。學情與教材分析：

本節(jié)課是1.3.1第一課時。根據(jù)實際情況，將1.3.1劃分為三節(jié)課（函數(shù)的單調性，函數(shù)單調性的應用，函數(shù)的最大（小）值），這是第一節(jié)課“函數(shù)的單調性”。函數(shù)的單調性是函數(shù)的最重要的基本性質之一，它不僅是求函數(shù)最大值與最小值的基礎，同時在研究函數(shù)及

實際生活中的函數(shù)問題都有著廣泛的應用，所以要重點研究函數(shù)的單調性。

學生對函數(shù)已有初步認識，掌握函數(shù)三種表示方法，了解一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等的圖象和性質。僅就圖象角度直觀描述函數(shù)單調性的特征，學生并不感到困難。困難在于，把具體的、直觀形象的函數(shù)單調性特征抽象出來，用數(shù)學的符號語言描述，即把某區(qū)間上“隨x的增大，y也增大”（單調增）這一特征用該區(qū)間上“任意的x1x2有

f(x1)f(x2)”（單調增）進行刻畫，其中最難理解的是為什么要在區(qū)間上“任意”取兩

個大小不等的x1,x2，本節(jié)課將通過對函數(shù)的圖象及性質的分析，讓學生理解并掌握這一概念。

教學準備：

制作課件，使用多媒體上課。為了有效實現(xiàn)教學目標，借助計算機繪制函數(shù)圖象，同時輔以坐標計算、跟蹤點等手段觀察函數(shù)的數(shù)字變化特征。

教學過程

一、創(chuàng)設情境，提出問題（約3分鐘）

德國有一位著名的心理學家艾賓浩斯，對人類的記憶牢固程度進行了有關研究.他經(jīng)過測試，得到了以下一些數(shù)據(jù)：

時間間剛記憶完20分鐘后60分鐘后8-9小時后1天后隔t畢記憶量y100(百分比)58.244.235.833.727.825.421.12天后6天后一個月后以上數(shù)據(jù)表明，記憶量y是時間間隔t的函數(shù)。艾賓浩斯根據(jù)這些數(shù)據(jù)描繪出了著名的“艾賓浩斯遺忘曲線”，如圖：

y10080604020o123t

思考1:當時間間隔t逐漸增大你能看出對應的函數(shù)值y有什么變化趨勢？通過這個試驗，你打算以后如何對待剛學過的知識?

設計意圖：聯(lián)系學生的學習實際，通過幾何直觀，引導學生關注圖象所反映出的特征。思考2:“艾賓浩斯遺忘曲線”從左至右是逐漸下降的，對此，我們?nèi)绾斡脭?shù)學觀點進行解釋？

設計意圖：引導學生先利用圖象描述變化規(guī)律，下降，從幾何直觀角度認識函數(shù)的單調性，再從數(shù)值變化角度描述變化規(guī)律。

二、知識探究（一）（約12分鐘）考察下列兩個函數(shù):

（1）f(x)=x；(2)f(x)=x（x≥0）2yyoxox

讓學生動手畫出圖象，觀察、思考

思考1：這兩個函數(shù)的圖像分別是什么？二者有何共同特征？學情預設：通過前面的學習，學生能較快地觀察到這兩個圖象的變化趨勢，上升。思考2：如果一個函數(shù)的圖像從左至右逐漸上升，那么當自變量x從小到大依次取值時，函數(shù)值y的變化情況如何？

設計意圖：引導學生從數(shù)值變化角度描述變化規(guī)律，圖象上升，也就是“隨x的增大，

y也增大”

思考3：如圖為函數(shù)f(x)在定義域I內(nèi)某個

yyf(x)f(x2)f(x1)區(qū)間D上的圖像，對于該區(qū)間上任意兩個自變量

x1和

x2，當

x1x2

思考4：我們把具有上述特點的函數(shù)稱為增函數(shù)，那么怎樣定義“函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)”？

學情預設：這個問題具有較高的思維要求，需要“跳一跳才能摘到果子”。教學上，可以讓學生開展討論、交流。通過學生的活動，逐步認識增函數(shù)的刻畫方法。

強調關鍵詞句：定義域I內(nèi)某個區(qū)間D上，任意，都有。對于函數(shù)定義域I內(nèi)某個區(qū)間D上的任意兩個自變量有f(

x1x1和

x2的值，若當

x1

x2)

x2),則函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)還是減函數(shù)？

設計意圖：由于有了增函數(shù)的經(jīng)驗，學生很快得到減函數(shù)的圖象變化規(guī)律。思考4：如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，則稱函數(shù)f(x)在這一區(qū)間具

有（嚴格的）單調性，區(qū)間D叫做函數(shù)f(x)的單調區(qū)間.那么二次函數(shù)在R上具有單調性嗎？函數(shù)f(x)=（x-1）的單調區(qū)間如何？

設計意圖：通過這一思考問題，進一步強化函數(shù)的單調性是函數(shù)的局部性質，在整個定義域上不一定具有，函數(shù)的單調區(qū)間是函數(shù)定義域上的一個子集。

四、理論遷移（約20分鐘）例1如圖是定義在閉區(qū)間[-5，6]上的函數(shù)y=f(x)的圖象，根據(jù)圖象說出y=f(x)的單調區(qū)間，以及在每一單調區(qū)間上，函數(shù)y=f(x)是增函數(shù)還是減函數(shù).

設計意圖：通過例題的講解，加強學生通過直觀圖象判斷函數(shù)單調性的能力，加深對函數(shù)的單調性是函數(shù)的局部性質的理解。

例2物理學中的玻意耳定律告訴我們，對于一定量的氣體，當其體積V減小時，壓強p將增大，試用函數(shù)的單調性證明。

設計意圖：通過例題的講解，加深學生對定義的理解和知識的應用。同時，引導學生歸納判定函數(shù)在某個區(qū)間上的單調性的方法步驟。

知識鏈接：如何比較兩個代數(shù)式的大��？（1）作差法（2）作商法

x12y-3-5o136x練習：試確定函數(shù)f(x)=

x在區(qū)間

0,上的單調性。

設計意圖：進一步加深學生對定義的理解和知識的應用。五、小結（約2分鐘）

利用定義確定或證明函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間D上的單調性的一般步驟：1.取數(shù):任取

x1,x2∈D，且x1

4.定號:判斷差f(x)f(x)的正負;

125.小結:指出函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間D上的單調性.

設計意圖：再次歸納判定函數(shù)在某個區(qū)間上的單調性的方法步驟，加深印象。六、作業(yè)：P324P392（1）設計思路：

本節(jié)課的教學是以函數(shù)的單調性的概念為主線，它始終貫穿于整個課堂教學過程。對函數(shù)的單調性概念的深入而正確的理解往往是學生認知過程的難點，因此，在課堂上突出對概念的分析不僅僅是為了分析函數(shù)單調性的定義，而是想讓學生對如何學會、弄懂一個概念有初步的認識，并且在今后的學習中有所用；使用函數(shù)單調性定義證明具體函數(shù)的單調性又是一個難點，使用函數(shù)的單調性定義證明是對函數(shù)單調性概念的深層理解，給出一定的步驟是必要的，有利于學生理解概念，也可以對學生掌握證明方法、形成證明思路有所幫助。另外，這也是以后學習的不等式證明方法中比較法的基本思路，現(xiàn)在提出要求，對今后的教學作一定的輔墊。

1、函數(shù)的單調性是函數(shù)和一個重要性質，函數(shù)在在高中數(shù)學中占有很重要的位置。如何突破這個既重要又抽象的內(nèi)容，其實質就是將直觀的圖象語言轉化為抽象的數(shù)學符號語言，通過具有一定思考價值的問題，激發(fā)學生的求知欲持久的好奇心。本節(jié)課力圖讓學生把具體的、直觀形象的函數(shù)單調性特征抽象出來，用數(shù)學的符號語言描述，并通過對比總結得到研究的方法，讓學生去體會這種研究方法，便能將其遷移到其他數(shù)學學習中去。

2、在本節(jié)課的教學中我努力實踐以下兩點；

（1）在課堂活動中通過同伴合作、自主探究培養(yǎng)學生積極主動、勇于探索的學習方式。（2）在教學過程中努力做到生生對話、師生對話、并且在對話之后重視體會、總結、反思，力圖在培養(yǎng)和發(fā)展學生數(shù)學素養(yǎng)的同時讓學生掌握一些學習、研究數(shù)學的方法。

3、通過課堂教學活動向學生滲透從特殊到一般、數(shù)形結合的數(shù)學思想方法。

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