數(shù)學(xué)必修2第三章知識(shí)點(diǎn)小結(jié)及典型習(xí)題

第三章直線(xiàn)與方程

1、直線(xiàn)傾斜角的概念：當(dāng)直線(xiàn)l與x軸相交時(shí),取x軸作為基準(zhǔn),x軸正向與直線(xiàn)l向上方向之間所成的角α叫做直線(xiàn)l的傾斜角.特別地,當(dāng)直線(xiàn)l與x軸平行或重合時(shí),規(guī)定α=0°.2、傾斜角α的取值范圍：0°≤α＜180°.當(dāng)直線(xiàn)l與x軸垂直時(shí),α=90°.

3、直線(xiàn)的斜率:⑴一條直線(xiàn)的傾斜角α(α≠90°)的正切值叫做這條直線(xiàn)的斜率,常用小寫(xiě)字母k表示,也就是k=tanα。

①當(dāng)直線(xiàn)l與x軸平行或重合時(shí),α=0°,k=tan0°=0;②當(dāng)直線(xiàn)l與x軸垂直時(shí),α=90°,k不存在.

當(dāng)0,90時(shí)，k0，k隨著α的增大而增大；當(dāng)90,180時(shí)，k0，k隨

著α的增大而增大；當(dāng)90時(shí)，k不存在。

由此可知,一條直線(xiàn)l的傾斜角α一定存在,但是斜率k不一定存在.

1(x1,y1)、P2(x2,y2)的直線(xiàn)的斜率公式：k⑵過(guò)兩點(diǎn)Py2y1(x1x2)

x2x1注意下面四點(diǎn)：

(1)當(dāng)x1x2時(shí)，公式右邊無(wú)意義，直線(xiàn)的斜率不存在，傾斜角為90°；

1、P2的順序無(wú)關(guān)；(2)k與P(3)以后求斜率可不通過(guò)傾斜角而由直線(xiàn)上兩點(diǎn)的坐標(biāo)直接求得；(4)求直線(xiàn)的傾斜角可由直線(xiàn)上兩點(diǎn)的坐標(biāo)先求斜率，再求傾斜角。

※三點(diǎn)共線(xiàn)的條件：如果所給三點(diǎn)中任意兩點(diǎn)的連線(xiàn)都有斜率且都相等，那么這三點(diǎn)共線(xiàn)；反之，三點(diǎn)共線(xiàn)，任意兩點(diǎn)連線(xiàn)的斜率不一定相等。解決此類(lèi)問(wèn)題要先考慮斜率是否存在。

4、直線(xiàn)方程（注意各種直線(xiàn)方程之間的轉(zhuǎn)化）

①直線(xiàn)的點(diǎn)斜式方程：yy0k(xx0)，k為直線(xiàn)的斜率，且過(guò)點(diǎn)x0,y0，適用條件是不垂直x軸。

注意：當(dāng)直線(xiàn)的斜率為0°時(shí)，k=0，直線(xiàn)的方程是yy0。

當(dāng)直線(xiàn)的斜率為90°時(shí)，直線(xiàn)的斜率不存在，它的方程不能用點(diǎn)斜式表示．但因l上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)都等于x0，所以它的方程是x=x0。

②斜截式：ykxb，k為直線(xiàn)的斜率，直線(xiàn)在y軸上的截距為b

③兩點(diǎn)式：

yy1xx1（x1x2,y1y2）直線(xiàn)兩點(diǎn)x1,y1，x2,y2y2y1x2x1④截矩式：

xy1，其中直線(xiàn)l與x軸交于點(diǎn)(a,0),與y軸交于點(diǎn)(0,b),即l與xab軸、y軸的截距分別為a,b。

⑤一般式：

AxByC0（A，B不全為0）

注意：①在平時(shí)解題或高考解題時(shí)，所求出的直線(xiàn)方程，一般要求寫(xiě)成斜截式或一般式。②各式的適用范圍③特殊的方程如：

平行于x軸的直線(xiàn)：yb（b為常數(shù)）；平行于y軸的直線(xiàn)：xa（a為常數(shù)）；5、直線(xiàn)系方程：即具有某一共同性質(zhì)的直線(xiàn)（1）平行直線(xiàn)系

平行于已知直線(xiàn)A0xB0yC00（A0,B0是不全為0的常數(shù)）的直線(xiàn)系：

A0xB0yC0（C為常數(shù)），所以平行于已知直線(xiàn)A0xB0yC00的直線(xiàn)方程可

設(shè)：A0xB0yC0,CC0

垂直于已知直線(xiàn)A0xB0yC00（A0,B0是不全為0的常數(shù)）的直線(xiàn)方程可設(shè)：

B0xA0yC0（C為常數(shù)）

（2）過(guò)定點(diǎn)的直線(xiàn)系①斜率為k的直線(xiàn)系：y②過(guò)兩條直線(xiàn)l1:y0kxx0，直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)x0,y0；

A1xB1yC10，l2:A2xB2yC20的交點(diǎn)的直線(xiàn)系方程為

A1xB1yC1A2xB2yC20（為參數(shù)），其中直線(xiàn)l2不在直線(xiàn)系中。

6、兩直線(xiàn)平行與垂直

（1）當(dāng)l1:yk1xb1，l2:yk2xb2時(shí)，

l1//l2k1k2,b1b2；l1l2k1k21

注意：利用斜率判斷直線(xiàn)的平行與垂直時(shí)，要注意斜率的存在與否。（2）當(dāng)l1:A1xB1yC10，l2:A2xB2yC20時(shí)，

l1//l2A1B2A2B10且B1C2B2C10；l1l2A1A2B1B20

例：設(shè)直線(xiàn)l1經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(m，1)、B(3，4)，直線(xiàn)l2經(jīng)過(guò)點(diǎn)C(1，m)、D(1，m+1)，當(dāng)(1)l1//l2(2)l1⊥l2時(shí)，分別求出m的值7、兩條直線(xiàn)的交點(diǎn)

當(dāng)l1:A1xB1yC10l2:A2xB2yC20相交時(shí)，

A1xB1yC10交點(diǎn)坐標(biāo)是方程組的一組解。A2xB2yC20方程組無(wú)解l1//l2；方程組有無(wú)數(shù)解l1與l2重合。

x1x2，28.中點(diǎn)坐標(biāo)公式：已知兩點(diǎn)P1(x1，y1)、P2(x2，y2)，則線(xiàn)段的中點(diǎn)M坐標(biāo)為(y1y2)例：已知點(diǎn)A(7，4)、B(5,6),求線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)的方程。29、兩點(diǎn)間距離公式：設(shè)A(x)Bxy1,y1，（2,）2是平面直角坐標(biāo)系中的兩個(gè)點(diǎn)，則

|AB|(x2x1)2(y2y1)10、點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式：一點(diǎn)Px0,y0到直線(xiàn)l:AxByC0的距離為dAx0By0CAB22

11、兩平行直線(xiàn)距離公式（1）兩平行直線(xiàn)距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線(xiàn)的距離進(jìn)行求解，即：先在任一直線(xiàn)上任取一點(diǎn)，再利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離進(jìn)行求解。

（2）兩平行線(xiàn)間的距離公式：已知兩條平行線(xiàn)直線(xiàn)l1和l2的一般式方程為l1：Ax+By+C1=0，l2：Ax+By+C2=0，則l1與l2的距離為d12鞏固練習(xí)：

1、圖中的直線(xiàn)l1，l2，l3的斜率分別為k1，k2，k3，則()．

A．k1＜k2＜k3B．k3＜k1＜k2C．k3＜k2＜k1D．k1＜k3＜k2

2、設(shè)直線(xiàn)l的方程為(m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1)y＝2m－6(m∈R，m≠－1)，根據(jù)下列條件分別求m的值：①l在x軸上的截距是－3；②斜率為1．3．已知△ABC的三頂點(diǎn)是A(－1，－1)，B(3，1)，C(1，6)．直線(xiàn)l平行于AB，交AC，BC分別于E，F(xiàn)，△CEF的面積是△CAB面積的

4、一直線(xiàn)被兩直線(xiàn)l1：4x＋y＋6＝0，l2：3x－5y－6＝0截得的線(xiàn)段的中點(diǎn)恰好是坐標(biāo)原點(diǎn)，求該直線(xiàn)方程．

5、直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)(1，2)和第一、二、四象限，若直線(xiàn)l的橫截距與縱截距之和為6，求直線(xiàn)l的方程．

6、已知點(diǎn)A(－2，1)，B(1，－2)，直線(xiàn)y＝2上一點(diǎn)P，使|AP|＝|BP|，則P點(diǎn)坐標(biāo)為．

7、若三點(diǎn)A(－2，3)，B(3，－2)，C(

1，m)共線(xiàn)，則m的值為2(第3題)

C1C2AB22

1．求直線(xiàn)l的方程．48、與直線(xiàn)2x＋3y＋5＝0平行，且在兩坐標(biāo)軸上截距的和為6的直線(xiàn)方程是。

9、直線(xiàn)l1：x＋a2y＋6＝0和直線(xiàn)l2:(a－2)x＋3ay＋2a＝0沒(méi)有公共點(diǎn)，則a的值是()．A．3B．－3C．1D．－1

10、如果AC＜0，且BC＜0，那么直線(xiàn)Ax＋By＋C＝0不通過(guò)()．A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限

11、直線(xiàn)l：(2m+1)x+(m+1)y7m4=0所經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)為。(m∈R)

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第二章點(diǎn)線(xiàn)面位置關(guān)系總復(fù)習(xí)

1、（1）平面含義：平面是無(wú)限延展的，沒(méi)有大小，厚薄之分。另外，注意平面的表示方法。（2）點(diǎn)與平面的關(guān)系：點(diǎn)A在平面內(nèi)，記作A；點(diǎn)A不在平面內(nèi)，記作A

點(diǎn)與直線(xiàn)的關(guān)系：點(diǎn)A的直線(xiàn)l上，記作：A∈l；點(diǎn)A在直線(xiàn)l外，記作Al；

直線(xiàn)與平面的關(guān)系：直線(xiàn)l在平面α內(nèi)，記作lα；直線(xiàn)l不在平面α內(nèi)，記作lα。2、四個(gè)公理與等角定理：

（1）公理1：如果一條直線(xiàn)上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線(xiàn)在此平面內(nèi).符號(hào)表示為

A

A∈LB∈LLααLA∈αB∈α

公理1作用：判斷直線(xiàn)是否在平面內(nèi).（只要找到直線(xiàn)的兩點(diǎn)在平面內(nèi)，則直線(xiàn)在平面內(nèi)）（2）公理2：過(guò)不在一條直線(xiàn)上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面。AB

αC

符號(hào)表示為：A、B、C三點(diǎn)不共線(xiàn)=>有且只有一個(gè)平面α，使A∈α、B∈α、C∈α。公理2的三個(gè)推論：（1）：經(jīng)過(guò)一條直線(xiàn)和這條直線(xiàn)外的一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面。

（2）：經(jīng)過(guò)兩條相交直線(xiàn)，有且只有一個(gè)平面。（3）：經(jīng)過(guò)兩條平行直線(xiàn)，有且只有一個(gè)平面。

公理2作用：確定一個(gè)平面的依據(jù)。（3）公理3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線(xiàn)。符號(hào)表示為：P∈α∩β=>α∩β=L，且P∈L公理3說(shuō)明：兩個(gè)不重合的平面只要有公共點(diǎn)，那么它們必定交于一條過(guò)該公共點(diǎn)的直線(xiàn)，且線(xiàn)唯一。β公理3作用：判定兩個(gè)平面是否相交的依據(jù)，是證明三線(xiàn)共點(diǎn)、三點(diǎn)共線(xiàn)的依據(jù)。即：①判定兩個(gè)平面相交的方法。Pα②說(shuō)明兩個(gè)平面的交線(xiàn)與兩個(gè)平面公共點(diǎn)之間的關(guān)系：交線(xiàn)必過(guò)公共點(diǎn)。L③可以判斷點(diǎn)在直線(xiàn)（交線(xiàn)）上，即證若干個(gè)點(diǎn)共線(xiàn)的重要依據(jù)。（4）公理4：平行于同一條直線(xiàn)的兩條直線(xiàn)互相平行。符號(hào)表示為：設(shè)a、b、c是三條直線(xiàn)a∥b

a∥c

c∥b

強(qiáng)調(diào)：公理4實(shí)質(zhì)上是說(shuō)平行具有傳遞性，在平面、空間這個(gè)性質(zhì)都適用。公理4作用：判斷空間兩條直線(xiàn)平行的依據(jù)。（表明空間中平行于一條已知直線(xiàn)的所有直線(xiàn)都互相平行）

（5）等角定理：空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ).3、（1）證明共面問(wèn)題：

方法1是先證明由某些元素確定一個(gè)平面，在證明其余元素也在這個(gè)平面內(nèi)。

方法2是先證明分別由不同元素確定若干個(gè)平面，再證明這些平面重合。

（2）證明三點(diǎn)共線(xiàn)問(wèn)題的方法：先確定其中兩點(diǎn)在某兩個(gè)平面的交線(xiàn)上，再證明第三點(diǎn)是這兩個(gè)平面的公共點(diǎn)，則第三個(gè)點(diǎn)在必然在這兩個(gè)平面的交線(xiàn)上。

（3）證明三線(xiàn)共點(diǎn)問(wèn)題的方法：先證明其中兩條直線(xiàn)交于一點(diǎn)，再證明第三條直線(xiàn)也經(jīng)過(guò)這個(gè)點(diǎn)。

4、異面直線(xiàn)：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線(xiàn)。（既不平行也不相交的兩條直線(xiàn)）①異面直線(xiàn)定義：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線(xiàn)②異面直線(xiàn)性質(zhì)：既不平行，又不相交。③異面直線(xiàn)判定：過(guò)平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的直線(xiàn)與平面內(nèi)不過(guò)該點(diǎn)的直線(xiàn)是異面直線(xiàn)④異面直線(xiàn)所成角：直線(xiàn)a、b是異面直線(xiàn)，經(jīng)過(guò)空間任意一點(diǎn)O，分別引直線(xiàn)a’∥a，b’∥b，則把直線(xiàn)a’和b’所成的銳角（或直角）叫做異面直線(xiàn)a和b所成的角。

兩條異面直線(xiàn)所成角的范圍是（0°，90°]，若兩條異面直線(xiàn)所成的角是直角，我們就說(shuō)這兩條異面直線(xiàn)互相垂直。（兩條直線(xiàn)互相垂直，有共面垂直與異面垂直兩種情形）說(shuō)明：（1）判定空間直線(xiàn)是異面直線(xiàn)方法：①根據(jù)異面直線(xiàn)的定義；②異面直線(xiàn)的判定定理

（2）在異面直線(xiàn)所成角定義中，空間一點(diǎn)O是任取的，而和點(diǎn)O的位置無(wú)關(guān)。（3）求異面直線(xiàn)所成角步驟：（一作、二證、三計(jì)算）

第一步作角：先固定其中一條直線(xiàn)，在這條直線(xiàn)取一點(diǎn)，過(guò)這個(gè)點(diǎn)作另一條直線(xiàn)的平行先；或兩條同時(shí)平移到某個(gè)特殊的位置，頂點(diǎn)選在特殊的位置上。第二步證明作出的角即為所求角。第三步利用三角形邊長(zhǎng)關(guān)系計(jì)算出角。（思路是把兩條異面直線(xiàn)所成的角轉(zhuǎn)化為兩條相交直線(xiàn)所成的角）5、空間中直線(xiàn)與直線(xiàn)、直線(xiàn)與平面、平面與平面之間的位置關(guān)系（1）空間兩條直線(xiàn)的位置關(guān)系有且只有三種：

相交直線(xiàn)：同一平面內(nèi)，有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；共面直線(xiàn)

平行直線(xiàn)：同一平面內(nèi)，沒(méi)有公共點(diǎn)；

異面直線(xiàn)：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，沒(méi)有公共點(diǎn)。（2）直線(xiàn)與平面的位置關(guān)系有且只有三種：①直線(xiàn)在平面內(nèi)有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)

②直線(xiàn)與平面相交有且只有一個(gè)公共點(diǎn)③直線(xiàn)在平面平行沒(méi)有公共點(diǎn)

指出：直線(xiàn)與平面相交或平行的情況統(tǒng)稱(chēng)為直線(xiàn)在平面外，可用aα來(lái)表示三種位置關(guān)系的符號(hào)表示：aαa∩α＝Aa∥α注意直線(xiàn)與平面的位置關(guān)系其他分類(lèi)：（1）按直線(xiàn)與平面的公共點(diǎn)數(shù)分類(lèi)：（自己補(bǔ)充）（2）按直線(xiàn)是否與平面平行分類(lèi)：

（3）按直線(xiàn)是否在平面內(nèi)分類(lèi)：

（3）平面與平面之間的位置關(guān)系有且只有兩種：（按有無(wú)公共點(diǎn)分類(lèi)）

①兩個(gè)平面平行沒(méi)有公共點(diǎn)；α∥β。

②兩個(gè)平面相交有一條公共直線(xiàn)；α∩β＝b。6、空間中的平行問(wèn)題（1）線(xiàn)線(xiàn)平行的判定方法：①線(xiàn)線(xiàn)平行的定義：兩條直線(xiàn)共面，但是無(wú)公共點(diǎn)②公理4：平行于同一條直線(xiàn)的兩條直線(xiàn)互相平行

a//aa//b③線(xiàn)面平行的性質(zhì)定理：a④線(xiàn)面垂直的性質(zhì)定理：

b5面面平行的性質(zhì)定理：○

//aba//bba//b（2）直線(xiàn)與平面平行的判定及其性質(zhì)線(xiàn)面平行的判定定理：平面外一條直線(xiàn)與此平面內(nèi)一條直線(xiàn)平行,則該直線(xiàn)與此平面平行。線(xiàn)線(xiàn)平行線(xiàn)面平行證明線(xiàn)面平行，只要在平面內(nèi)找一條直線(xiàn)b與直線(xiàn)a平行即可。一般情況下，我們會(huì)用到中位線(xiàn)定理、平行線(xiàn)段成比例問(wèn)題、平行公理等。

線(xiàn)面平行的性質(zhì)定理：如果一條直線(xiàn)和一個(gè)平面平行，經(jīng)過(guò)這條直線(xiàn)的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線(xiàn)和交線(xiàn)平行。線(xiàn)面平行線(xiàn)線(xiàn)平行性質(zhì)定理的作用：利用該定理可解決直線(xiàn)間的平行問(wèn)題線(xiàn)面平行的判定方法：a①線(xiàn)面平行的定義：直線(xiàn)與平面無(wú)公共點(diǎn)②判定定理：b

a////③面面平行的性質(zhì)：a//aa//b（3）平面與平面平行的判定及其性質(zhì)面面平行的判定定理：如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行

（線(xiàn)面平行面面平行），兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理與結(jié)論：

①如果兩個(gè)平行平面都和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線(xiàn)平行。（面面平行→線(xiàn)線(xiàn)平行）②如果兩個(gè)平面平行，那么某一個(gè)平面內(nèi)的直線(xiàn)與另一個(gè)平面平行。（面面平行→線(xiàn)面平行）面面平行的判定方法：

a//b//①面面平行的定義：兩個(gè)平面無(wú)公共點(diǎn)。②判定定理：ababP③線(xiàn)面垂直的性質(zhì)定理：

//

aa//④公理四的推廣：

a//////

7、空間中的垂直問(wèn)題線(xiàn)線(xiàn)、面面、線(xiàn)面垂直的定義①兩條異面直線(xiàn)的垂直：如果兩條異面直線(xiàn)所成的角是直角，就說(shuō)這兩條異面直線(xiàn)互相垂直。②線(xiàn)面垂直：如果一條直線(xiàn)和一個(gè)平面內(nèi)的任何一條直線(xiàn)垂直，就說(shuō)這條直線(xiàn)和這個(gè)平面垂直。

③平面和平面垂直：如果兩個(gè)平面相交，所成的二面角（從一條直線(xiàn)出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形）是直二面角（平面角是直角），就說(shuō)這兩個(gè)平面垂直。（1）線(xiàn)線(xiàn)垂直的判定方法：①線(xiàn)線(xiàn)垂直的定義：兩條直線(xiàn)所成的角是直角。（共面垂直、異面垂直）②線(xiàn)面垂直的性質(zhì)：a,bab②線(xiàn)面垂直的性質(zhì)：a,b//ab（2）線(xiàn)面垂直判定定理和性質(zhì)定理判定定理：如果一條直線(xiàn)和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)都垂直，那么這條直線(xiàn)垂直這個(gè)平面。判定線(xiàn)面垂直，只要在平面內(nèi)找到兩條相交直線(xiàn)與已知直線(xiàn)垂直即可（注意：兩條直線(xiàn)必須相交）

經(jīng)常用到的知識(shí)點(diǎn)有：

①等腰三角形三線(xiàn)合一（中線(xiàn)，角平分線(xiàn)，高），如果取等腰三角形底邊的中點(diǎn)，連接頂點(diǎn)與中點(diǎn)的線(xiàn)既是中線(xiàn)也是高，所以，這條線(xiàn)垂直于底邊；

②正方形的對(duì)角線(xiàn)是互相垂直的；③三角形勾股逆定理abc,可以推出a邊與b邊垂直；

④如果是要證異面垂直的兩條直線(xiàn)，一般采用線(xiàn)面垂直來(lái)證明一條線(xiàn)垂直于另一條線(xiàn)所在的平面，從而得到兩條異面直線(xiàn)垂直；

5采用三垂線(xiàn)定理或者其逆定理得到兩條直線(xiàn)垂直。○

性質(zhì)定理：如果兩條直線(xiàn)同垂直于一個(gè)平面，那么這兩條直線(xiàn)平行。

2線(xiàn)面垂直的判定方法：

abac①線(xiàn)面垂直的定義②線(xiàn)面垂直的判定定理：bcAa

bc③平行線(xiàn)垂直平面的傳遞性推論:

aa//bb

④面面平行的性質(zhì)結(jié)論：//,aa

5面面垂直的性質(zhì)定理：la○

aal（3）面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理判定定理：如果一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線(xiàn)，那么這兩個(gè)平面互相垂直。性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平面互相垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于他們的交線(xiàn)的直線(xiàn)垂直于另一個(gè)平面。

面面垂直的判定方法

①面面垂直的定義：兩個(gè)平面相交所成的二面角是直二面角

②面面垂直的判定定理：

aa

③面面平行的性質(zhì)結(jié)論：//,

8、空間角問(wèn)題空間角的計(jì)算步驟：一作，二證，三計(jì)算（1）直線(xiàn)與直線(xiàn)所成的角A①兩平行直線(xiàn)所成的角：規(guī)定為0。

B②兩條相交直線(xiàn)所成的角：兩條直線(xiàn)相交其中不大于直角的角，叫這兩條O

直線(xiàn)所成的角。

③兩條異面直線(xiàn)所成的角：過(guò)空間任意一點(diǎn)O，分別作與兩條異面直線(xiàn)a，b平行的直線(xiàn)a,b，形成兩條相交直線(xiàn)，這兩條相交直線(xiàn)所成的不大于直角的角叫做兩條異面直線(xiàn)所成的角，的范圍為（0°，90°]。注意：（1）異面直線(xiàn)所成的角θ：0°＜θ≤90°（銳角或者直角）

（2）計(jì)算中，通常把兩條異面直線(xiàn)所成的角轉(zhuǎn)化為兩條相交直線(xiàn)所成的角。（3）角AOB的度數(shù)并不等于直線(xiàn)AO與直線(xiàn)BO所成的角。（2）直線(xiàn)和平面所成的角

①平面的平行線(xiàn)與平面所成的角：規(guī)定為0。②平面的垂線(xiàn)與平面

所成的角：規(guī)定為90。

③平面的斜線(xiàn)與平面所成的角：平面的一條斜線(xiàn)和它在平面內(nèi)的射影所成的銳角，叫做這條直線(xiàn)和這個(gè)平面所成的角，取值范圍為（0°，90°）。

由①②③直線(xiàn)與平面所成的角的范圍為[0°，90°]。（0時(shí)，b∥或b）求斜線(xiàn)與平面所成角的思路類(lèi)似于求異面直線(xiàn)所成角：“一作，二證，三計(jì)算”。關(guān)鍵的步驟是“作角”（斜線(xiàn)和射影所成的角）求線(xiàn)面角的方法（求一條直線(xiàn)與平面所成的角，就是要找這條直線(xiàn)在平面上的射影，射影與它的直線(xiàn)所成的角即為線(xiàn)面角，即作垂線(xiàn)，找射影）

①定義：斜線(xiàn)和它在平面內(nèi)的射影的夾角叫做斜線(xiàn)和平面所成的角（或斜線(xiàn)和平面的夾角）②方法：作直線(xiàn)上任意一點(diǎn)到面的垂線(xiàn)，與線(xiàn)面交點(diǎn)相連，利用直角三角形有關(guān)知識(shí)求得三角形其中一角就是該線(xiàn)與平面的夾角。

③在解題時(shí)，注意挖掘題設(shè)中兩個(gè)主要信息：1、斜線(xiàn)上一點(diǎn)到面的垂線(xiàn)；2、過(guò)斜線(xiàn)上的一點(diǎn)或過(guò)斜線(xiàn)的平面與已知面垂直，由面面垂直性質(zhì)易得垂線(xiàn)。（3）二面角和二面角的平面角①二面角的定義：從一條直線(xiàn)出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線(xiàn)叫做二面角的棱，這兩個(gè)半平面叫做二面角的面。②二面角的平面角：以二面角的棱上任意一點(diǎn)為頂點(diǎn)，在兩個(gè)面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射．．．．．線(xiàn)，這兩條射線(xiàn)所成的角叫二面角的平面角。③直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角。

兩相交平面如果所組成的二面角是直二面角，那么這兩個(gè)平面垂直；反過(guò)來(lái)，如果兩個(gè)平面垂直，那么所成的二面角為直二面角

④二面角：二面角的平面角θ，0°≤θ≤180°求二面角的方法①定義法：在棱上選擇一個(gè)特殊點(diǎn)，過(guò)這個(gè)點(diǎn)分別在兩個(gè)半平面內(nèi)作垂直于棱的射線(xiàn)得到平面角

②垂面法：過(guò)棱上一點(diǎn)作棱的垂直平面，該平面與二面角的兩個(gè)半平面產(chǎn)生交線(xiàn)，這兩條交線(xiàn)所成的角為二面角的平面角

③垂線(xiàn)法：過(guò)二面角的一個(gè)面內(nèi)一點(diǎn)作另一個(gè)平面的垂線(xiàn)，過(guò)垂足作棱的垂線(xiàn)，利用線(xiàn)面垂直可找到二面角的平面角或其補(bǔ)角。

9、“轉(zhuǎn)化思想”，要熟練他們之間的轉(zhuǎn)換線(xiàn)線(xiàn)垂直線(xiàn)面垂直面面垂直

線(xiàn)線(xiàn)平行線(xiàn)面平行面面平行證明空間線(xiàn)面平行或垂直需要注意三點(diǎn)（1）由已知想性質(zhì)，由求證想判定。

（2）適當(dāng)添加輔助線(xiàn)（或面）是解題的常用方法之一。

（3）使用定理時(shí)要明確已知條件是否滿(mǎn)足定理?xiàng)l件，再由定理得出相應(yīng)結(jié)論。10、鞏固專(zhuān)項(xiàng)練習(xí)

1．如圖，在三棱錐S-ABC中，SA底面ABC，ABBC，DE垂直平分SC，且分別交AC于D，交SC于E，又SA=AB，SB=BC，求二面角E-BD-C的度數(shù)。2、在棱長(zhǎng)都為1的正三棱錐S－ABC中，側(cè)棱SA與底面ABC所成的角是________．

3、在正方體ABCD－A1B1C1D1中，

①BC1與平面AB1所成的角的大小是___________；②BD1與平面AB1所成的角的大小是___________；③CC1與平面BC1D所成的角的大小是___________；④BC1與平面A1BCD1所成的角的大小是___________；5BD1與平面BC1D所成的角的大小是___________�！�

4、已知空間內(nèi)一點(diǎn)O出發(fā)的三條射線(xiàn)OA、OB、OC兩兩夾角為60°，試求OA與平面BOC所成的角的大�。�

5、已知點(diǎn)S是正三角形ABC所在平面外的一點(diǎn)，且SASBSC，SG為SAB上的高，D、E、F分別是AC、BC、SC的中點(diǎn)，試判斷SG與平面DEF內(nèi)的位置關(guān)系，并給予證明

6、已知正方體ABCDA1B1C1D1，求證平面B1AD1//平面BC1D

7、已知直線(xiàn)PA垂直正方形ABCD所在的平面，A為垂足。求證：平面PAC平面PBD。

8、已知直線(xiàn)PA垂直于圓O所在的平面，A為垂足，AB為圓O的直徑，C是圓周上異于A、B的一點(diǎn)。求證：平面PAC平面PBC。9.若m、n是兩條不同的直線(xiàn)，α、β、γ是三個(gè)不同的平面，則下列命題中的真命題是()

A.若mβ，α⊥β，則m⊥αB.若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，則α∥βC.若m⊥β，m∥α，則α⊥βD.若α⊥γ，α⊥β，則β⊥γ

10、設(shè)P是△ABC所在平面外一點(diǎn)，P到△ABC各頂點(diǎn)的距離相等，而且P到△ABC各邊的距離也相等，那么△ABC()

A.是非等腰的直角三角形B.是等腰直角三角形

C.是等邊三角形D.不是A、B、C所述的三角形

11、把等腰直角△ABC沿斜邊上的高AD折成直二面角BADC，則BD與平面ABC所成角的正切值為())

A.2B.

23

C.1D.23

12、如圖，已知△ABC為直角三角形，其中∠ACB＝90°，M為AB的中點(diǎn)，PM垂直于△ACB所在平面，那么()

A、PA＝PB>PCB、PA＝PB16、如圖，已知PA矩形ABCD所在平面。M,N分別是AB,PC的中點(diǎn)。（）求證：1MN面PAD（2）求證：MNCD（3）若PDA45O,求證：MN面PCD

17、如圖所示，已知△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝CD＝1，AB⊥平面BCD，∠ADB＝60°，AEAF

E、F分別是AC、AD上的動(dòng)點(diǎn)，且＝＝λ(0參考答案

1、解：

在RtΔSAC中，SA=1，SC=2，∴∠ECA=30，在RtΔDEC中，∠DEC=90，

∴∠EDC=60∴所求的二面角為60。

5、分析1：如圖，觀察圖形，即可判定SG//平面DEF，要證明結(jié)論成立，只需證明SG與平面DEF內(nèi)的一條直線(xiàn)平行．觀察圖形可以看出：連結(jié)CG與DE相交于H，連結(jié)FH，

FH就是適合題意的直線(xiàn)．怎樣證明SG//FH？只需證明H是CG的中點(diǎn)．

證法1：連結(jié)CG交DE于點(diǎn)H，∵DE是ABC的中位線(xiàn)，∴DE//AB．在ACG中，D是AC的中點(diǎn)，且DH//AG，

∴H為CG的中點(diǎn)．∵FH是SCG的中位線(xiàn)，∴FH//SG．又SG平面DEF，F(xiàn)H平面DEF，∴SG//平面DEF．

分析2：要證明SG//平面DEF，只需證明平面SAB//平面DEF，要證明平面DEF//平面SAB，只需證明SA//DF，SB//EF而SA//DF，SB//EF可由題設(shè)直接推出．證法2：∵EF為SBC的中位線(xiàn)，∴EF//SB．

∵EF平面SAB，SB平面SAB，∴EF//平面SAB．同理：DF//平面SAB，EFDFF，

∴平面SAB//平面DEF，又∵SG平面SAB，∴SG//平面DEF．6、證明：∵ABCD-A1B1C1D1為正方體∴D1A//C1B，又C1B平面C1BD，故D1A//平面C1BD．同理D1B1//平面C1BD．

又D1AD1B1D1，∴平面AB1D1//平面C1BD．7、證明：

8、證明：

AB是圓O的直徑BCACC是圓周上異于A、B的一點(diǎn)PA平面ABCBCPABC平面ABCAC平面PAC，PA平面PACACPAA

9、C10、C11、B12、C

13、解析：如圖，取CD的中點(diǎn)F、SC的中點(diǎn)G，連接EF，EG，F(xiàn)G，EF交AC于點(diǎn)H，易知AC⊥EF，又GH∥SO，

BC平面PACBC平面PBC

平面PAC平面PBC。

∴GH⊥平面ABCD，

∴AC⊥GH，∴AC⊥平面EFG，故點(diǎn)P的軌跡是△EFG，其周長(zhǎng)為2＋6.答案：2＋6

14、①③④②；②③④①

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