高中數(shù)學選修2-2,2-3知識點、考點、典型例題

高中數(shù)學選修2----2知識點

第一章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用知識點：

一．導(dǎo)數(shù)概念的引入

1.導(dǎo)數(shù)的物理意義：瞬時速率。一般的，函數(shù)yf(x)在xxf(x0x)f(x0)0處的瞬時變化率是limx0x，

我們稱它為函數(shù)yf(x)在xx0處的導(dǎo)數(shù)，記作f(x0)或y|xx0，即f(xf(x0x)f(x0)0)=limx0x

2.導(dǎo)數(shù)的幾何意義：曲線的切線.通過圖像,我們可以看出當點Pn趨近于

P時，直線PT與曲線相切。容易知道，割線PPf(xn)f(x0)n的斜率是knx，當點Pn趨近于

P時，函數(shù)yf(x)在xx0處的導(dǎo)數(shù)就是切線PT的nx0斜率k，即kf(xn)f(x0)limx0xf(x0)

nx03.導(dǎo)函數(shù)：當x變化時，f(x)便是x的一個函數(shù)，我們稱它為f(x)的導(dǎo)函數(shù).yf(x)的導(dǎo)函數(shù)有時也記作y,

即f(x)f(xx)f(x)limx0x

考點：無知識點：

二.導(dǎo)數(shù)的計算

1）基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式:

1若f(x)c(c為常數(shù))，則f(x)0；2若f(x)x,則f(x)x1;

3若f(x)sinx,則f(x)cosx4若f(x)cosx,則f(x)sinx;5若f(x)ax,則f(x)axlna6若f(x)ex,則f(x)ex

7若f(x)logxa,則f(x)1xlna

8若f(x)lnx,則f(x)1x2）導(dǎo)數(shù)的運算法則

1.[f(x)g(x)]f(x)g(x)

2.[f(x)g(x)]f(x)g(x)f(x)g(x)

3.[f(x)f(x)g(x)f(x)g(x)g(x)][g(x)]23）復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)

yf(u)和ug(x),稱則y可以表示成為x的函數(shù),即yf(g(x))為一個復(fù)合函數(shù)yf(g(x))g(x)

考點：導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)及運算

★1、已知

fxx22xsin，則f"0

★2、若fxexsinx，則f"x★3.f(x)=ax3+3x2+2，

f(1)4，則a=（）

A.10193B.133C.163D.3★★4.過拋物線y=x2上的點M(1,124)的切線的傾斜角是（）A.30°B.45°C.60°D.90°

★★5.如果曲線y92x23與y2x3在xx0處的切線互相垂直，則x0=三.導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用

知識點：

1.函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù):

一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負有如下關(guān)系：

在某個區(qū)間(a,b)內(nèi)，如果f(x)0，那么函數(shù)yf(x)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；如果f(x)0，那么函數(shù)yf(x)在這個區(qū)間單調(diào)遞減.2.函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)

極值反映的是函數(shù)在某一點附近的大小情況.求函數(shù)yf(x)的極值的方法是:

(1)如果在x0附近的左側(cè)f(x)0,右側(cè)f(x)0,那么f(x0)是極大值;(2)如果在x0附近的左側(cè)f(x)0,右側(cè)f(x)0,那么f(x0)是極小值;4.函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)

函數(shù)極大值與最大值之間的關(guān)系.

求函數(shù)yf(x)在[a,b]上的最大值與最小值的步驟（1）求函數(shù)yf(x)在(a,b)內(nèi)的極值；

（2）將函數(shù)yf(x)的各極值與端點處的函數(shù)值f(a)，f(b)比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值.

四.生活中的優(yōu)化問題

利用導(dǎo)數(shù)的知識,,求函數(shù)的最大(小)值,從而解決實際問題

考點：1、導(dǎo)數(shù)在切線方程中的應(yīng)用

2、導(dǎo)數(shù)在單調(diào)性中的應(yīng)用

3、導(dǎo)數(shù)在極值、最值中的應(yīng)用4、導(dǎo)數(shù)在恒成立問題中的應(yīng)用一、題型一：導(dǎo)數(shù)在切線方程中的運用

★1.曲線yx3在P點處的切線斜率為k,若k=3，則P點為（）A.（－2，－8）B.（－1，－1）或（1，1）

11C.（2，8）D.（－2，－8）

★2.曲線y13x3x25，過其上橫坐標為1的點作曲線的切線，則切線的傾斜角為（）3A.6B.4C.3D.4

二、題型二：導(dǎo)數(shù)在單調(diào)性中的運用

★1.(05廣東卷)函數(shù)f(x)x33x21是減函數(shù)的區(qū)間為()A.(2,)B.(,2)C.(,0)D.(0,2)

★2．關(guān)于函數(shù)

f(x)2x36x27，下列說法不正確的是（）A．在區(qū)間（，0）內(nèi)，f(x)為增函數(shù)B．在區(qū)間（0，2）內(nèi)，f(x)為減函數(shù)

C．在區(qū)間（2，）內(nèi)，f(x)為增函數(shù)D．在區(qū)間（，0）

(2,)內(nèi),f(x)為增函數(shù)

★★3．(05江西)已知函數(shù)yxf(x)的圖象如右圖所示(其中f"(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù))，下面四個圖象中

yf(x)y的圖象大致是（）

1x-2-1O12-1

yyy2y4422O1x2x11-2-112-2O-112-2-1O1x-2-2-2-2-1O2x

ABCD

★★★4、（201*年山東21）（本小題滿分12分）

已知函數(shù)f(x)1nxax1ax1(aR).（Ⅰ）當a1時，求曲線yf(x)在點(2,f(2))處的切線方程；

（Ⅱ）當a≤12時，討論f(x)的單調(diào)性．三、導(dǎo)數(shù)在最值、極值中的運用：

★1.（05全國卷Ⅰ）函數(shù)

f(x)x3ax23x9，已知f(x)在x3時取得極值，則a=（）A．2

B.3

C.4D.5

★2．函數(shù)y2x33x212x5在[0,3]上的最大值與最小值分別是（）A.5,-15B.5,4C.-4,-15D.5,-16★★★3.（根據(jù)04年天津卷文21改編）已知函數(shù)f(x)ax3cxd(a0)是R上的奇函數(shù)，當x1時f(x)取

得極值－2.

（1）試求a、c、d的值；（2）求f(x)的單調(diào)區(qū)間和極大值；

★★★4.（根據(jù)山東201*年文21改編）設(shè)函數(shù)f(x)x2ex1ax3bx2，已知x2和x1為f(x)的極值

點。

（1）求a,b的值；（2）討論f(x)的單調(diào)性；

第二章推理與證明知識點：

1、歸納推理

把從個別事實中推演出一般性結(jié)論的推理,稱為歸納推理(簡稱歸納).簡言之,歸納推理是由部分到整體、由特殊到一般的推理。歸納推理的一般步驟：通過觀察個別情況發(fā)現(xiàn)某些相同的性質(zhì)；

從已知的相同性質(zhì)中推出一個明確表述的一般命題（猜想）；證明（視題目要求，可有可無）.

2、類比推理

由兩類對象具有某些類似特征和其中一類對象的某些已知特征，推出另一類對象也具有這些特征的推理稱為類比推理（簡稱類比）．

簡言之，類比推理是由特殊到特殊的推理.類比推理的一般步驟：

找出兩類對象之間可以確切表述的相似特征；

用一類對象的已知特征去推測另一類對象的特征，從而得出一個猜想；檢驗猜想。3、合情推理

歸納推理和類比推理都是根據(jù)已有的事實，經(jīng)過觀察、分析、比較、聯(lián)想，再進行歸納、類比，然后提出猜想的推理.

歸納推理和類比推理統(tǒng)稱為合情推理，通俗地說，合情推理是指“合乎情理”的推理.4、演繹推理

從一般性的原理出發(fā)，推出某個特殊情況下的結(jié)論，這種推理稱為演繹推理．簡言之，演繹推理是由一般到特殊的推理.演繹推理的一般模式“三段論”，包括⑴大前提-----已知的一般原理；⑵小前提-----所研究的特殊情況；

⑶結(jié)論-----據(jù)一般原理，對特殊情況做出的判斷．5、直接證明與間接證明

⑴綜合法：利用已知條件和某些數(shù)學定義、公理、定理等，經(jīng)過一系列的推理論證，最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立.要點：順推證法；由因?qū)Ч?

⑵分析法：從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋找使它成立的充分條件，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個明顯成立的條件（已知條件、定理、定義、公理等）為止.要點：逆推證法；執(zhí)果索因.

⑶反證法：一般地，假設(shè)原命題不成立，經(jīng)過正確的推理，最后得出矛盾，因此說明假設(shè)錯誤，從而證明了原命題成立.的證明方法.它是一種間接的證明方法.反證法法證明一個命題的一般步驟：(1)（反設(shè)）假設(shè)命題的結(jié)論不成立；

(2)（推理）根據(jù)假設(shè)進行推理,直到導(dǎo)出矛盾為止；(3)（歸謬）斷言假設(shè)不成立；

(4)（結(jié)論）肯定原命題的結(jié)論成立.6、數(shù)學歸納法

數(shù)學歸納法是證明關(guān)于正整數(shù)n的命題的一種方法.用數(shù)學歸納法證明命題的步驟;（1）（歸納奠基）證明當n取第一個值n*nk(kn0(n0N)時命題成立；

（2）（歸納遞推）假設(shè)*0,kN)時命題成立，推證當nk1時命題也成立.只要完成了這兩個步驟，就可以斷定命題對從n0開始的所有正整數(shù)n都成立.

考點：無

第三章數(shù)系的擴充與復(fù)數(shù)的引入知識點：

一:復(fù)數(shù)的概念

(1)復(fù)數(shù):形如abi(aR,bR)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，a和b分別叫它的實部和虛部.

(2)分類:復(fù)數(shù)abi(aR,bR)中,當b0,就是實數(shù);b0,叫做虛數(shù);當a0,b0時,叫做純虛數(shù).(3)復(fù)數(shù)相等:如果兩個復(fù)數(shù)實部相等且虛部相等就說這兩個復(fù)數(shù)相等.

(4)共軛復(fù)數(shù):當兩個復(fù)數(shù)實部相等,虛部互為相反數(shù)時,這兩個復(fù)數(shù)互為共軛復(fù)數(shù).

(5)復(fù)平面:建立直角坐標系來表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面,x軸叫做實軸，y軸除去原點的部分叫做虛軸。(6)兩個實數(shù)可以比較大小，但兩個復(fù)數(shù)如果不全是實數(shù)就不能比較大小。2．相關(guān)公式

⑴abicdiab,且cd⑵abi0ab0⑶zabia2b2

⑷zabi

z，z指兩復(fù)數(shù)實部相同，虛部互為相反數(shù)（互為共軛復(fù)數(shù)）.3．復(fù)數(shù)運算

⑴復(fù)數(shù)加減法：abicdiacbdi；⑵復(fù)數(shù)的乘法：abicdiacbdbcadi；

⑶復(fù)數(shù)的除法：abicdiabicdicdicdiacbdbcadiacbdbcadc2d2c2d2c2d2i

（類似于無理數(shù)除法的分母有理化虛數(shù)除法的分母實數(shù)化）4.常見的運算規(guī)律

(1)zz;(2)zz2a,zz2bi;

(3)zzz2z2a2b2;(4)zz;(5)zzzR

(6)i4n1i,i4n21,i4n3i,i4n41;

2(7)1i2i;(8)1i1ii,1i1i1ii,2i

(9)設(shè)13i是1的立方虛根，則120，3n1,3n2,3n321考點：復(fù)數(shù)的運算

★山東理科1若zcosisin（i為虛數(shù)單位），則z21的值可能是

（B）（C）（D）643243i

★山東文科1．復(fù)數(shù)的實部是（）

1+2i

（A）A．2

B．2

C．3

D．4

mAmn()1(n(1)1)mmn!n!An1)nmmnnn(n7、公式：CCmmCCnnm!m!(nAmm!m!(nm)!m)!Am

mmnn

nmCmnCn;

z★山東理科（2）設(shè)z的共軛復(fù)數(shù)是z，若z+z=4,zz＝8，則等于

z（A）i（B）-i(C)±1(D)±i

m1mmCCCnnn1

ab)CaCabCabCabCbnnnnn8、二項式定理：(rnrr9、二項式通項公式展開式的通項公式：TCab(r0，1n)r1nn0n1n12n22rnrrnn

高中數(shù)學選修2－3知識點

第一章計數(shù)原理知識點：Ammmm1mm1n1AnAmCnAnmAn1、分類加法計數(shù)原理：做一件事情，完成它有N類辦法，在第一類辦法中有M1種不同的方法，在第二類辦法中

有M2種不同的方法，……，在第N類辦法中有MN種不同的方法，那么完成這件事情共有M1+M2+……+MN種不同的方法。

2、分步乘法計數(shù)原理：做一件事，完成它需要分成N個步驟，做第一步有m1種不同的方法，做第二步有M2不同的方法，……，做第N步有MN不同的方法.那么完成這件事共有N=M1M2...MN種不同的方法。3、排列：從n個不同的元素中任取m(m≤n)個元素，按照一定順序．．．．．．排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列

4、排列數(shù)：從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素排成一列，稱為從n個不同元素中取出m個元素的一個排列.從n個不同元素中取出m個元素的一個排列數(shù)，用符號

Anm表示。

Amn(n1)(nm1)n!(nm)!(mn,n,mN)

5、公式：

，

Amm1nnAn1

6、組合：從n個不同的元素中任取m(m≤n)個元素并成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合。

考點：1、排列組合的運用

2、二項式定理的應(yīng)用

★★1．我省高中學校自實施素質(zhì)教育以來，學生社團得到迅猛發(fā)展。某校高一新生中的五名同學打算參加“春暉文學社”、“舞者輪滑俱樂部”、“籃球之家”、“圍棋苑”四個社團。若每個社團至少有一名同學參加，每名同學至少參加一個社團且只能參加一個社團，且同學甲不參加“圍棋苑”，則不同的參加方法的種數(shù)為（）A．72B．108C．180D．216

★★2．在(x1243x)的展開式中,x的冪的指數(shù)是整數(shù)的項共有

（）

A．3項B．4項C．5項D．6項

★★3．現(xiàn)有12件商品擺放在貨架上，擺成上層4件下層8件，現(xiàn)要從下層8件中取2件調(diào)整到上層，若其他商品的相對順序不變，則不同調(diào)整方法的種數(shù)是

A．420B．560C．840D．201*0

★★4．把編號為1，2，3，4的四封電子郵件分別發(fā)送到編號為1，2，3，4的四個網(wǎng)址，則至多有一封郵件的編號與網(wǎng)址的編號相同的概率為

★★5．(x1x)8的展開式中x2的系數(shù)為（）

A．-56B．56C．-336D．336

第二章隨機變量及其分布知識點：

1、隨機變量：如果隨機試驗可能出現(xiàn)的結(jié)果可以用一個變量X來表示，并且X是隨著試驗的結(jié)果的不同而變化，那么這樣的變量叫做隨機變量．隨機變量常用大寫字母X、Y等或希臘字母ξ、η等表示。

2、離散型隨機變量：在上面的射擊、產(chǎn)品檢驗等例子中，對于隨機變量X可能取的值，我們可以按一定次序一一列出，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量．

3、離散型隨機變量的分布列：一般的,設(shè)離散型隨機變量X可能取的值為x1,x2,.....,xi,......,xn

X取每一個值xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，則稱表為離散型隨機變量X的概率分布，簡稱分布列

4、分布列性質(zhì)①pi≥0,i=1，2，；②p1+p2++pn=1．5、二項分布：如果隨機變量X的分布列為：

期望方差兩點分布Eξ=pDξ=pq，q=1-p超幾何分布服從參數(shù)為N,M,n的超幾何分布EnMD（X）=np（1-p）*（N-n）/（N-1）N（不要求）二項分布，ξ～B（n,p）Eξ=npDξ=qEξ=npq，（q=1-p）幾何分布，p(ξ=k)=g(k，p)1pDqp2

其中0

從上表看到,正態(tài)總體在(2,2)以外取值的概率只有4.6%,在(3,3)以外取值的概率只有0.3%由于這些概率很小,通常稱這些情況發(fā)生為小概率事件.也就是說,通常認為這些情況在一次試驗中幾乎是不可能發(fā)生的.

考點：1、概率的求解

2、期望的求解3、正態(tài)分布概念

★★★1．(本小題滿分12分)某項考試按科目A、科目B依次進行，只有當科目A成績合格時，才可以繼續(xù)參加科目B的考試。每個科目只允許有一次補考機會，兩個科目成績均合格方可獲得該項合格證書，現(xiàn)在某同學將要

1xyn其中b1x2n(x2)考點：無

xySP(xx)(yy),

aybxSS(xx)2x21，每次考科目B成績合格的概率均為。假設(shè)他在這32項考試中不放棄所有的考試機會，且每次的考試成績互不影響，記他參加考試的次數(shù)為X。(1)求X的分布列和均值；

參加這項考試，已知他每次考科目A成績合格的概率均為(2)求該同學在這項考試中獲得合格證書的概率。

★★★2（本小題滿分12分）

濟南市有大明湖、趵突泉、千佛山、園博園4個旅游景點，一位客人瀏覽這四個景點的概率分別是0.3，0.4，

0.5，0.6，且客人是否游覽哪個景點互不影響，設(shè)表示客人離開該城市時游覽的景點數(shù)與沒有游覽的景點數(shù)之差的絕對值。

（1）求=0對應(yīng)的事件的概率；（2）求的分布列及數(shù)學期望。★★★3.袋子中裝有8個黑球，2個紅球，這些球只有顏色上的區(qū)別。

（1）隨機從中取出2個球，表示其中紅球的個數(shù)，求的分布列及均值。

（2）現(xiàn)在規(guī)定一種有獎摸球游戲如下：每次取球一個，取后不放回，取到黑球有獎，第一個獎100元，第二個獎200元，，第k個獎k100元，取到紅球則要罰去前期所有獎金并結(jié)束取球，按照這種規(guī)則，取球多少次比較適宜？說明理由。

第三章統(tǒng)計案例知識點：

1、獨立性檢驗

假設(shè)有兩個分類變量X和Y，它們的值域分另為{x1,x2}和{y1,y2}，其樣本頻數(shù)列聯(lián)表為：x1x2總計

y1aca+c

y2bdb+d

總計a+bc+da+b+c+d

若要推斷的論述為H1：“X與Y有關(guān)系”，可以利用獨立性檢驗來考察兩個變量是否有關(guān)系，并且能較精確地給出這種判斷的可靠程度。具體的做法是，由表中的數(shù)據(jù)算出隨機變量K^2的值（即K的平方）K2=n(ad-bc)2

/[(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)]，其中n=a+b+c+d為樣本容量，K2的值越大，說明“X與Y有關(guān)系”成立的可能性越大。K2≤3.841時，X與Y無關(guān)；K2>3.841時，X與Y有95%可能性有關(guān)；K2>6.635時X與Y有99%可能性有關(guān)2、回歸分析

abx回歸直線方程y

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高二數(shù)學選修2－1

第一章：命題與邏輯結(jié)構(gòu)知識點：

1、命題：用語言、符號或式子表達的，可以判斷真假的陳述句.真命題：判斷為真的語句.假命題：判斷為假的語句.2、“若p，則q”形式的命題中的p稱為命題的條件，q稱為命題的結(jié)論.

3、對于兩個命題，如果一個命題的條件和結(jié)論分別是另一個命題的結(jié)論和條件，則這兩個命題稱為互逆命題.其中一個命題稱為原命題，另一個稱為原命題的逆命題.若原命題為“若p，則q”，它的逆命題為“若q，則p”.

4、對于兩個命題，如果一個命題的條件和結(jié)論恰好是另一個命題的條件的否定和結(jié)論的否定，則這兩個命題稱為互否命題.中一個命題稱為原命題，另一個稱為原命題的否命題.若原命題為“若p，則q”，則它的否命題為“若p，則q”.5、對于兩個命題，如果一個命題的條件和結(jié)論恰好是另一個命題的結(jié)論的否定和條件的否定，則這兩個命題稱為互為逆否命題.其中一個命題稱為原命題，另一個稱為原命題的逆否命題.

若原命題為“若p，則q”，則它的否命題為“若q，則p”.6、四種命題的真假性：

原命題逆命題否命題真真真真假假假真真假假假

四種命題的真假性之間的關(guān)系：

1兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；

逆否命題

真真真假

2兩個命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關(guān)系．

7、若pq，則p是q的充分條件，q是p的必要條件．若pq，則p是q的充要條件（充分必要條件）．

8、用聯(lián)結(jié)詞“且”把命題p和命題q聯(lián)結(jié)起來，得到一個新命題，記作pq．當p、當p、q都是真命題時，pq是真命題；q兩個命題中有一個命題是假命題時，pq是假命題．

用聯(lián)結(jié)詞“或”把命題p和命題q聯(lián)結(jié)起來，得到一個新命題，記作pq．

當p、q兩個命題中有一個命題是真命題時，pq是真命題；當p、q兩個命題都是假命題時，pq是假命題．

對一個命題p全盤否定，得到一個新命題，記作p．

若p是真命題，則p必是假命題；若p是假命題，則p必是真命題．

9、短語“對所有的”、“對任意一個”在邏輯中通常稱為全稱量詞，用“”表示．含有全稱量詞的命題稱為全稱命題．

全稱命題“對中任意一個x，有px成立”，記作“x，px”．短語“存在一個”、“至少有一個”在邏輯中通常稱為存在量詞，用“”表示．含有存在量詞的命題稱為特稱命題．

特稱命題“存在中的一個x，使px成立”，記作“x，px”．

10、全稱命題p：x，px，它的否定p：x，px．全稱命題的否定是特稱命題．

考點：1、充要條件的判定

2、命題之間的關(guān)系

典型例題：

★1．下面四個條件中，使ab成立的充分而不必要的條件是A．a(chǎn)b1B．a(chǎn)b1

C．a(chǎn)2b2

n

D．a(chǎn)3b3

★2．已知命題P：n∈N，2＞1000，則P為A．n∈N，2n≤1000B．n∈N，2n＞1000

C．n∈N，2≤1000

n

D．n∈N，2＜1000

n

★３．"x1"是"|x|1"的

A．充分不必要條件Ｂ．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分又不必要條件

第二章：圓錐曲線知識點：

1、平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離之和等于常數(shù)（大于F1F2）的點的軌跡稱為橢圓．這兩個定點稱為橢圓的焦點，兩焦點的距離稱為橢圓的焦距．2、橢圓的幾何性質(zhì)：焦點的位置焦點在x軸上

焦點在y軸上

圖形

xa22

ya22標準方程

yb221ab0

xb221ab0

范圍

axa且bybbxb且aya

1a,0、2a,010,a、20,a1b,0、2b,0

頂點

10,b、20,b

軸長焦點焦距對稱性離心率

短軸的長2b長軸的長2a

F1c,0、F2c,0

22F10,c、F20,c

2F1F22ccab

關(guān)于x軸、y軸、原點對稱

eca1ba220e1

準線方程

xa2cya2c

3、設(shè)是橢圓上任一點，點到F1對應(yīng)準線的距離為d1，點到F2對應(yīng)準線的距離為

d2，則

F1d1F2d2e．

4、平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離之差的絕對值等于常數(shù)（小于F1F2）的點的軌跡稱為雙曲線．這兩個定點稱為雙曲線的焦點，兩焦點的距離稱為雙曲線的焦距．5、雙曲線的幾何性質(zhì)：焦點的位置

焦點在x軸上

焦點在y軸上

圖形

標準方程

xa22

ya22yb221a0,b0

xb221a0,b0

范圍頂點軸長焦點焦距對稱性離心率

xa或xa，yR

ya或ya，xR

1a,0、2a,010,a、20,a

虛軸的長2b實軸的長2a

F1c,0、F2c,0

22F10,c、F20,c

2F1F22ccab

關(guān)于x軸、y軸對稱，關(guān)于原點中心對稱

eca1ba22e1

a2準線方程

xa2cba

x

ycab

x

漸近線方程yy6、實軸和虛軸等長的雙曲線稱為等軸雙曲線．

7、設(shè)是雙曲線上任一點，點到F1對應(yīng)準線的距離為d1，點到F2對應(yīng)準線的距離為d2，則

F1d1F2d2e．

8、平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l的距離相等的點的軌跡稱為拋物線．定點F稱為拋物線的焦點，定直線l稱為拋物線的準線．9、過拋物線的焦點作垂直于對稱軸且交拋物線于、兩點的線段，稱為拋物線的“通徑”，即2p．10、拋物線的幾何性質(zhì)：

y22pxy22pxx22pyx22py

標準方程

圖形

p0p0p0p0

頂點

0,0

y軸

對稱軸x軸

焦點

pF,02pF,0

2pF0,

2pF0,

2準線方程xp2xp2yp2yp2

離心率e1

范圍x0x0

y0y0

考點：1、圓錐曲線方程的求解

2、直線與圓錐曲線綜合性問題

3、圓錐曲線的離心率問題

典型例題：

★★1．設(shè)雙曲線的左準線與兩條漸近線交于A,B兩點，左焦點在以AB為直徑的圓內(nèi)，

則該雙曲線的離心率的取值范圍為

A．(0,2)

2222B．(1,2)C．(22,1)D．(2，)

★★★2．設(shè)橢圓

xayb1(ab0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2。點P(a,b)滿足

|PF2||F1F2|.（Ⅰ）求橢圓的離心率e；

（Ⅱ）設(shè)直線PF2與橢圓相交于A，B兩點，若直線PF2與圓(x1)2(y交于M，N兩點，且|MN|58|AB|，求橢圓的方程。

23)16相

第三章：空間向量知識點：

1、空間向量的概念：

1在空間，具有大小和方向的量稱為空間向量．

2向量可用一條有向線段來表示．有向線段的長度表示向量的大小，箭頭所指的方向表示

向量的方向．

，記作．3向量的大小稱為向量的模（或長度）

4模（或長度）為0的向量稱為零向量；模為1的向量稱為單位向量．5與向量a長度相等且方向相反的向量稱為a的相反向量，記作a．6方向相同且模相等的向量稱為相等向量．

2、空間向量的加法和減法：

它遵循平行1求兩個向量和的運算稱為向量的加法，

四邊形法則．即：在空間以同一點為起點的兩個已

知向量a、b為鄰邊作平行四邊形C，則以起點的對角線C就是a與b的和，這種求向量和的方

法，稱為向量加法的平行四邊形法則．

2求兩個向量差的運算稱為向量的減法，它遵循三角

形法則．即：在空間任取一點，作a，b，則ab．

3、實數(shù)與空間向量a的乘積a是一個向量，稱為向量的數(shù)乘運算．當0時，a與

a方向相同；當0時，a與a方向相反；當0時，a為零向量，記為0．a(chǎn)的長度是a的長度的倍．

4、設(shè)，為實數(shù)，a，b是空間任意兩個向量，則數(shù)乘運算滿足分配律及結(jié)合律．

分配律：abab；結(jié)合律：aa．

5、如果表示空間的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量稱為共線向量或平行向量，并規(guī)定零向量與任何向量都共線．

6、向量共線的充要條件：對于空間任意兩個向量a，bb0，a//b的充要條件是存在

實數(shù)，使ab．

7、平行于同一個平面的向量稱為共面向量．

8、向量共面定理：空間一點位于平面C內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對x，y，使

或?qū)�空間任一定點，有或若四點，，xyC；xyC；

，C共面，則xyzCxyz1．

9、已知兩個非零向量a和b，在空間任取一點，作a，b，則稱為向量a，b的夾角，記作a,b．兩個向量夾角的取值范圍是：a,b0,．

10、對于兩個非零向量a和b，若a,b，則向量a，b互相垂直，記作ab．

2aa11、已知兩個非零向量和b，則abcosa,b稱為，b的數(shù)量積，記作ab．即

ababcosa,b．零向量與任何向量的數(shù)量積為0．

12、ab等于a的長度a與b在a的方向上的投影bcosa,b的乘積．13若a，b為非零向量，e為單位向量，則有1eaaeacosa,e；aba與b同向2，aaa，a2abab0；3ababa與b反向ab4cosa,b；5abab．

abaa；

14量數(shù)乘積的運算律：1abba；2ababab；

3abcacbc．

15、空間向量基本定理：若三個向量a，b，c不共面，則對空間任一向量p，存在實數(shù)

組x,y,z，使得pxaybzc．

16、三個向量a，b，c不共面，則所有空間向量組成的集合是

ppxaybzc,x,y,zR．這個集合可看作是由向量a，b，c生成的，

a,b,c稱為空間的一個基底，a，b，c稱為基向量．空間任意三個不共面的向量都可以

構(gòu)成空間的一個基底．

17、設(shè)e1，e2，e3為有公共起點的三個兩兩垂直的單位向量（稱它們?yōu)閱挝徽�交基底），以e1，e2，e3的公共起點為原點，分別以e1，e2，e3的方向為x軸，y軸，z軸的正

方向建立空間直角坐標系xyz．則對于空間任意一個向量p，一定可以把它平移，使它的

起點與原點重合，得到向量p．存在有序?qū)崝?shù)組

x,y,z，使得

px1ey2e．把zex，y，z稱作向量p在單位正交基底e1，e2，e3下的坐標，記3作px,y,z．此時，向量p的坐標是點在空間直角坐標系xyz中的坐標x,y,z．18、設(shè)ax1,y1,z1，bx2,y2,z2，則1abx1x2,y1y2,z1z2．2abx1x2,y1y2,z1z2．

3ax1,y1,z1．

4abx1x2y1y2z1z2．

5若a、b為非零向量，則abab0x1x2y1y2z1z20．

6若b0，則a//babx1x2,y1y2,z1z2．

7aaax1y1z1．

x1x2y1y2z1z2xyz212121222ab8cosa,babxyz222222．

9x1,y1,z1，x2,y2,z2，則dx2x12y2y12z2z12．

19、在空間中，取一定點作為基點，那么空間中任意一點的位置可以用向量來表示．向量稱為點的位置向量．

20、空間中任意一條直線l的位置可以由l上一個定點以及一個定方向確定．點是直線

l上一點，向量a表示直線l的方向向量，則對于直線l上的任意一點，有ta，這樣

點和向量a不僅可以確定直線l的位置，還可以具體表示出直線l上的任意一點．

21、空間中平面的位置可以由內(nèi)的兩條相交直線來確定．設(shè)這兩條相交直線相交于點

，它們的方向向量分別為a，b．為平面上任意一點，存在有序?qū)崝?shù)對x,y，使得xayb，這樣點與向量a，b就確定了平面的位置．

22、直線l垂直，取直線l的方向向量a，則向量a稱為平面的法向量．

ba23、若空間不重合兩條直線a，的方向向量分別為，b，則a//ba//b，abRababab0．

24、若直線a的方向向量為a，平面的法向量為n，且a，則a//a//

anan0，aaa//nan．

25、若空間不重合的兩個平面，的法向量分別為a，b，則//a//bab，abab0．

26、設(shè)異面直線a，b的夾角為，方向向量為a，b，其夾角為，則有

abcoscos．

ab27、設(shè)直線l的方向向量為l，平面的法向量為n，l與所成的角為，l與n的夾角

ln為，則有sincos．

ln28、設(shè)n1，n2是二面角l的兩個面，的法向量，則向量n1，n2的夾角（或其

n1n2補角）就是二面角的平面角的大小．若二面角l的平面角為，則cos．

n1n229、點與點之間的距離可以轉(zhuǎn)化為兩點對應(yīng)向量的模計算．

30、在直線l上找一點，過定點且垂直于直線l的向量為n，則定點到直線l的距離

n為dcos,n．n31、點是平面外一點，是平面內(nèi)的一定點，n為平面的一個法向量，則點到

n平面的距離為dcos,n．n考點：1、利用空間向量證明線線平行、線線垂直

2、利用空間向量證明線面平行、線面垂直、面面平行、面面垂直

3、利用空間向量證明線線角、線面角、面面角問題

典型例題：

★★1．已知正方體ABCDA1B1C1D1中，E為C1D1的中點，則異面直線AE與BC所成角

的余弦值為。

★★★2．在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD為平行四邊形，∠ACB=90，ＥＡ⊥平面ＡＢＣＤ，EF∥ＡＢ，ＦＧ∥ＢＣ，ＥＧ∥ＡＣ.ＡＢ=２ＥＦ.

（Ⅰ）若Ｍ是線段ＡＤ的中點，求證：ＧＭ∥平面ＡＢＦＥ;（Ⅱ）若ＡＣ＝ＢＣ=２ＡＥ,求二面角Ａ-ＢＦ-Ｃ的大�。�★★★3.如圖，在五棱錐PABCDE中，PA平面ABCDE，

AB//CD，AC//ED，AE//BC，ABC45,AB22,BC2AE4，三角形PAB是等腰三角形。

（Ⅰ）求證：平面PCD平面PAC；

（Ⅱ）求直線PB與平面PCD所成角的大�。唬á螅┣笏睦忮FPACDE的體積。

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