七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第五章知識(shí)點(diǎn)歸納

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第五章、相交線與平行線知識(shí)點(diǎn)歸納

1.▲同一平面內(nèi)不相重合的兩條直線之間的位置關(guān)系為_(kāi)______或________（要注意：是“同一平面內(nèi)”）

2.兩條直線相交所成的四個(gè)角中，相鄰的兩個(gè)角叫做，特點(diǎn)是兩個(gè)角共用一條

邊，另一條邊互為反向延長(zhǎng)線，性質(zhì)是；相對(duì)的兩個(gè)角叫做，特點(diǎn)是它們的兩條邊互為反向延長(zhǎng)線，有一公共點(diǎn)。性質(zhì)是。P3例；P82題；P97題；P352（2）；P353題3.▲兩條直線相交所成的四個(gè)角中，如果有一個(gè)角為90度，則稱這兩條直線互相。

其中一條直線叫做另外一條直線的，他們的交點(diǎn)稱為。直線a垂直于直線b，表示為。P3

4.做鈍角三角形的高：最長(zhǎng)的邊上的高只要向最長(zhǎng)邊引垂線即可，另外兩條邊上的高過(guò)邊所對(duì)的頂點(diǎn)向該邊的延長(zhǎng)線做垂線。（要懂得怎么畫(huà)）

5.▲垂直公理：有且只有與已知直線垂直�！咀⒁猓哼@里的“一點(diǎn)”可以是直線上，也可以是直線外】

6.▲連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，簡(jiǎn)單地說(shuō)成：垂線段最短；P67.點(diǎn)到直線的距離：。

8.兩條直線被第三條直線所截：（在兩條直線的同一旁，第三條直線的同一側(cè)）,

（在兩條直線內(nèi)部，位于第三條直線兩側(cè)），（在兩條直線內(nèi)部，位于第三條直線同側(cè)）。[選填：同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角]P7例、練習(xí)19.▲平行公理：有且只有一條直線與已知直線平行�！咀⒁猓哼@里的

“一點(diǎn)”是直線外的一點(diǎn)】10.如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行。即：如果b//a,c//a,那么P174題11.▲平行線的判定�！咀⒁猓河蓛山堑年P(guān)系推出兩直線的關(guān)系】

1），兩直線平行。

2），兩直線平行。

3），兩直線平行。P15例結(jié)論：在同一平面內(nèi)，如果兩條直線都垂直于同一條直線，那么這兩條直線平行。

P15練習(xí)；P177題；P368題。

12.▲平行線的性質(zhì)。【注意：已知兩直線的關(guān)系（平行）推出兩角的關(guān)系】

1）兩直線平行，。

2）兩直線平行，。

3）兩直線平行，。P21練習(xí)1，2；P236題13.★命題：“如果+題設(shè)，那么+結(jié)論�！盤22練習(xí)114.真命題、假命題（要理解�。。㏄2411題；P3712題15.平移的性質(zhì)：

1）把一個(gè)圖形整體沿某一直線方向移動(dòng)，會(huì)得到一個(gè)新的圖形，新圖形與原圖形的形狀和大小完全相等。

2）新圖形中的每一點(diǎn)，都是原圖形的某一點(diǎn)移動(dòng)后得到的，這兩個(gè)點(diǎn)是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，連接各組對(duì)應(yīng)點(diǎn)的線段平行且相等。P28歸納

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七年級(jí)數(shù)學(xué)(下)期末復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)整理

5.1相交線

1、鄰補(bǔ)角與對(duì)頂角

兩直線相交所成的四個(gè)角中存在幾種不同關(guān)系的角，它們的概念及性質(zhì)如下表：對(duì)頂角圖形21∠1與∠243∠3與∠4頂點(diǎn)有公共頂點(diǎn)邊的關(guān)系∠1的兩邊與∠2的兩邊互為反向延長(zhǎng)線大小關(guān)系對(duì)頂角相等即∠1=∠2鄰補(bǔ)角有公共頂點(diǎn)∠3與∠4有一條邊公共，另一邊互為反向延長(zhǎng)線。∠3+∠4=180°注意點(diǎn)：⑴對(duì)頂角是成對(duì)出現(xiàn)的，對(duì)頂角是具有特殊位置關(guān)系的兩個(gè)角；

⑵如果∠α與∠β是對(duì)頂角，那么一定有∠α=∠β；反之如果∠α=∠β，那么∠α與∠β不一定是對(duì)頂角

⑶如果∠α與∠β互為鄰補(bǔ)角，則一定有∠α+∠β=180°；反之如果∠α+∠β=180°，則∠α與∠β不一定是鄰補(bǔ)角。

⑶兩直線相交形成的四個(gè)角中，每一個(gè)角的鄰補(bǔ)角有兩個(gè)，而對(duì)頂角只有一個(gè)。

2、垂線

⑴定義，當(dāng)兩條直線相交所成的四個(gè)角中，有一個(gè)角是直角時(shí)，就說(shuō)這兩條直線互相垂直，其中的一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點(diǎn)叫做垂足。符號(hào)語(yǔ)言記作：

C如圖所示：AB⊥CD，垂足為O

BAO

D

⑵垂線性質(zhì)1：過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直(與平行公理相比較記)

⑶垂線性質(zhì)2：連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短。簡(jiǎn)稱：垂線段最短。

3、垂線的畫(huà)法：

⑴過(guò)直線上一點(diǎn)畫(huà)已知直線的垂線；⑵過(guò)直線外一點(diǎn)畫(huà)已知直線的垂線。

注意：①畫(huà)一條線段或射線的垂線，就是畫(huà)它們所在直線的垂線；②過(guò)一點(diǎn)作線段的垂線，垂足可在線段上，也可以在線段的延長(zhǎng)線上。

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畫(huà)法：⑴一靠：用三角尺一條直角邊靠在已知直線上，⑵二移：移動(dòng)三角尺使一點(diǎn)落在它的另一邊直角邊上，⑶三畫(huà)：沿著這條直角邊畫(huà)線，不要畫(huà)成給人的印象是線段的線。

4、點(diǎn)到直線的距離

直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長(zhǎng)度，叫做點(diǎn)到直線的距離記得時(shí)候應(yīng)該結(jié)合圖形進(jìn)行記憶。P

BOA

如圖，PO⊥AB，同P到直線AB的距離是PO的長(zhǎng)。PO是垂線段。PO是點(diǎn)P到直線AB所有線段中最短的一條。

現(xiàn)實(shí)生活中開(kāi)溝引水，牽牛喝水都是“垂線段最短”性質(zhì)的應(yīng)用。

5、如何理解“垂線”、“垂線段”、“兩點(diǎn)間距離”、“點(diǎn)到直線的距離”這些相近而又相異的概念

分析它們的聯(lián)系與區(qū)別

⑴垂線與垂線段區(qū)別：垂線是一條直線，不可度量長(zhǎng)度；垂線段是一條線段，可以度量長(zhǎng)度。聯(lián)系：具有垂直于已知直線的共同特征。(垂直的性質(zhì))

⑵兩點(diǎn)間距離與點(diǎn)到直線的距離區(qū)別：兩點(diǎn)間的距離是點(diǎn)與點(diǎn)之間，點(diǎn)到直線的距離是點(diǎn)與直線之間。聯(lián)系：都是線段的長(zhǎng)度；點(diǎn)到直線的距離是特殊的兩點(diǎn)(即已知點(diǎn)與垂足)間距離。

⑶線段與距離距離是線段的長(zhǎng)度，是一個(gè)量；線段是一種圖形，它們之間不能等同。

5.2平行線

1、平行線的概念：

在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線，直線a與直線b互相平行，記作a∥b。2、兩條直線的位置關(guān)系

在同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系只有兩種：⑴相交；⑵平行。因此當(dāng)我們得知在同一平面內(nèi)兩直線不相交時(shí)，就可以肯定它們平行；反過(guò)來(lái)也一樣（這里，我們把重合的兩直線看成一條直線）

判斷同一平面內(nèi)兩直線的位置關(guān)系時(shí)，可以根據(jù)它們的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)來(lái)確定：①有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，兩直線相交；②無(wú)公共點(diǎn)，則兩直線平行；

③兩個(gè)或兩個(gè)以上公共點(diǎn)，則兩直線重合（因?yàn)閮牲c(diǎn)確定一條直線）3、平行公理——平行線的存在性與惟一性

經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行

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4、平行公理的推論：

如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行

a

如左圖所示，∵b∥a，c∥ab∴b∥c注意符號(hào)語(yǔ)言書(shū)寫(xiě)，前提條件是兩直線都平行于第三條直線，才

c

會(huì)結(jié)論，這兩條直線都平行。

5、三線八角

兩條直線被第三條直線所截形成八個(gè)角，它們構(gòu)成了同位角、內(nèi)錯(cuò)角與同旁內(nèi)角。

l

如圖，直線a,b被直線l所截

2134a

①∠1與∠5在截線l的同側(cè)，同在被截直線a,b的上方，

65b78②∠5與∠3在截線l的兩旁（交錯(cuò)），在被截直線a,b之間（內(nèi)），叫做內(nèi)錯(cuò)角（位置在叫做同位角（位置相同）內(nèi)且交錯(cuò)）

③∠5與∠4在截線l的同側(cè)，在被截直線a,b之間（內(nèi)），叫做同旁內(nèi)角。

④三線八角也可以成模型中看出。同位角是“A”型；內(nèi)錯(cuò)角是“Z”型；同旁內(nèi)角是“U”型。

6、如何判別三線八角

判別同位角、內(nèi)錯(cuò)角或同旁內(nèi)角的關(guān)鍵是找到構(gòu)成這兩個(gè)角的“三線”，有時(shí)需要將有關(guān)的部分“抽出”或把無(wú)關(guān)的線略去不看，有時(shí)又需要把圖形補(bǔ)全。例如：

AD342

1567FBC89E

如圖，判斷下列各對(duì)角的位置關(guān)系：⑴∠1與∠2；⑵∠1與∠7；⑶∠1與∠BAD；⑷∠2與∠6；⑸∠5與∠8。

我們將各對(duì)角從圖形中抽出來(lái)（或者說(shuō)略去與有關(guān)角無(wú)關(guān)的線），得到下列各圖。

如圖所示，不難看出∠1與∠2是同旁內(nèi)角；∠1與∠7是同位角；∠1與∠BAD是同旁內(nèi)角；∠2與∠6是內(nèi)錯(cuò)角；∠5與∠8對(duì)頂角。

AAAD2AD26C1117BBBCFFB第3頁(yè)共7頁(yè)

AF

58C

EB

注意：圖中∠2與∠9，它們是同位角嗎？

不是，因?yàn)椤?與∠9的各邊分別在四條不同直線上，不是兩直線被第三條直線所截而成。

7、兩直線平行的判定方法

方法一兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行簡(jiǎn)稱：同位角相等，兩直線平行

方法二兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯(cuò)角相等，那么這兩條直線平行簡(jiǎn)稱：內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行

方法三兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角互補(bǔ)，那么這兩條直線平行簡(jiǎn)稱：同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行EA3B幾何符號(hào)語(yǔ)言：

4∵∠3＝∠21∴AB∥CD（同位角相等，兩直線平行）C∵∠1＝∠22D∴AB∥CD（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）F∵∠4＋∠2＝180°

∴AB∥CD（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）

請(qǐng)同學(xué)們注意書(shū)寫(xiě)的順序以及前因后果，平行線的判定是由角相等，然后得出平行。平行線的判定是寫(xiě)角相等，然后寫(xiě)平行。

注意：⑴幾何中，圖形之間的“位置關(guān)系”一般都與某種“數(shù)量關(guān)系”有著內(nèi)在的聯(lián)系，常由“位置關(guān)系”決定其“數(shù)量關(guān)系”，反之也可從“數(shù)量關(guān)系”去確定“位置關(guān)系”。上述平行線的判定方法就是根據(jù)同位角或內(nèi)錯(cuò)角“相等”或同旁內(nèi)角“互補(bǔ)”這種“數(shù)量關(guān)系”，判定兩直線“平行”這種“位置關(guān)系”。

⑵根據(jù)平行線的定義和平行公理的推論，平行線的判定方法還有兩種：①如果兩條直線沒(méi)有交點(diǎn)（不相交），那么兩直線平行。②如果兩條直線都平行于第三條直線，那么這兩條直線平行。

典型例題：判斷下列說(shuō)法是否正確，如果不正確，請(qǐng)給予改正：⑴不相交的兩條直線必定平行線。

⑵在同一平面內(nèi)不相重合的兩條直線，如果它們不平行，那么這兩條直線一定相交。⑶過(guò)一點(diǎn)可以且只可以畫(huà)一條直線與已知直線平行

解答：⑴錯(cuò)誤，平行線是“在同一平面內(nèi)不相交的兩條直線”�！霸谕�一平面內(nèi)”是一項(xiàng)重要條件，不能遺漏。⑵正確

⑶不正確，正確的說(shuō)法是“過(guò)直線外一點(diǎn)”而不是“過(guò)一點(diǎn)”。因?yàn)槿绻�這一點(diǎn)不在已知直線上，是作不出這條直線的平行線的。

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典型例題：如圖，根據(jù)下列條件，可以判定哪兩條直線平行，并說(shuō)明判定的根據(jù)是什么？AD

1

23BFCE

解答：⑴由∠2＝∠B可判定AB∥DE，根據(jù)是同位角相等，兩直線平行；⑵由∠1＝∠D可判定AC∥DF，根據(jù)是內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；

⑶由∠3＋∠F＝180°可判定AC∥DF，根據(jù)同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行。

5.3平行線的性質(zhì)

1、平行線的性質(zhì)：

性質(zhì)1：兩直線平行，同位角相等；性質(zhì)2：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；性質(zhì)3：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)。EA3B幾何符號(hào)語(yǔ)言：14∵AB∥CD

∴∠1＝∠2（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）C∵AB∥CD2D∴∠3＝∠2（兩直線平行，同位角相等）

F∵AB∥CD

∴∠4＋∠2＝180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）2、兩條平行線的距離

如圖，直線AB∥CD，EF⊥AB于E，EF⊥CD于F，則稱線段EF的長(zhǎng)度為兩平行線AB與CD間的距離。

GAEB

HDCF

注意：直線AB∥CD，在直線AB上任取一點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)G作CD的垂線段GH，則垂線段GH的長(zhǎng)度也就是直線AB與CD間的距離。

3、命題：

⑴命題的概念：

判斷一件事情的語(yǔ)句，叫做命題。⑵命題的組成

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每個(gè)命題都是題設(shè)、結(jié)論兩部分組成。題設(shè)是已知事項(xiàng)；結(jié)論是由已知事項(xiàng)推出的事項(xiàng)。命題常寫(xiě)成“如果，那么”的形式。具有這種形式的命題中，用“如果”開(kāi)始的部分是題設(shè)，用“那么”開(kāi)始的部分是結(jié)論。

有些命題，沒(méi)有寫(xiě)成“如果，那么”的形式，題設(shè)和結(jié)論不明顯。對(duì)于這樣的命題，要經(jīng)過(guò)分析才能找出題設(shè)和結(jié)論，也可以將它們改寫(xiě)成“如果，那么”的形式。注意：命題的題設(shè)（條件）部分，有時(shí)也可用“已知”或者“若”等形式表述；命題的結(jié)論部分，有時(shí)也可用“求證”或“則”等形式表述。

4、平行線的性質(zhì)與判定

①平行線的性質(zhì)與判定是互逆的關(guān)系兩直線平行同位角相等；兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等；兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)。

其中，由角的相等或互補(bǔ)（數(shù)量關(guān)系）的條件，得到兩條直線平行（位置關(guān)系）這是平行線的判定；由平行線（位置關(guān)系）得到有關(guān)角相等或互補(bǔ)（數(shù)量關(guān)系）的結(jié)論是平行線的性質(zhì)。

典型例題：已知∠1＝∠B，求證：∠2＝∠C

A

證明：∵∠1＝∠B（已知）

∴DE∥BC（同位角相等，

2E兩直線平行）D1∴∠2＝∠C（兩直線平行同位角相等）BC注意，在了DE∥BC，不需要再寫(xiě)一次了，得到了DE∥BC，這可以把它當(dāng)作條件來(lái)用了。

典型例題：如圖，AB∥DF，DE∥BC，∠1＝65°求∠2、∠3的度數(shù)

A

DE23

1CFB解答：∵DE∥BC（已知）

∴∠2＝∠1＝65°（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）∵AB∥DF（已知）∴AB∥DF（已知）

∴∠3＋∠2＝180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）∴∠3＝180°－∠2＝180°－65°＝115°

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5.4平移

1、平移變換

①把一個(gè)圖形整體沿某一方向移動(dòng)，會(huì)得到一個(gè)新的圖形，新圖形與原圖形的形狀和大小完全相同。

②新圖形的每一點(diǎn)，都是由原圖形中的某一點(diǎn)移動(dòng)后得到的，這兩個(gè)點(diǎn)是對(duì)應(yīng)點(diǎn)③連接各組對(duì)應(yīng)點(diǎn)的線段平行且相等2、平移的特征：

①經(jīng)過(guò)平移之后的圖形與原來(lái)的圖形的對(duì)應(yīng)線段平行（或在同一直線上）且相等，對(duì)應(yīng)角相等，圖形的形狀與大小都沒(méi)有發(fā)生變化。

②經(jīng)過(guò)平移后，對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連的線段平行（或在同一直線上）且相等。

典型例題：如圖，△ABC經(jīng)過(guò)平移之后成為△DEF，那么：

⑴點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)＿＿＿＿＿＿＿＿＿；⑵點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)＿＿＿＿＿＿。ADECFB⑶點(diǎn)＿＿＿＿＿的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)F；⑷線段AB的對(duì)應(yīng)線段是線段＿＿＿＿＿＿＿；⑸線段BC的對(duì)應(yīng)線段是線段＿＿＿＿＿＿＿；⑹∠A的對(duì)應(yīng)角是＿＿＿＿＿＿。⑺＿＿＿＿的對(duì)應(yīng)角是∠F。解答：

⑴D；⑵E；⑶C；⑷DE；⑸EF；⑹∠D；⑺∠ACB。

思維方式：利用平移特征：平移前后對(duì)應(yīng)線段相等，對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線段平行或在同一直線上解答。

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