我們知道，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，解方程是無能為力的，只有把實(shí)數(shù)集擴(kuò)充到復(fù)數(shù)集才能解決。對于復(fù)數(shù)a＋bi（a、b都是實(shí)數(shù)）來說，當(dāng)b=0時，就是實(shí)數(shù)；當(dāng)b≠0時叫虛數(shù)，當(dāng)a=0，b≠0時，叫做純虛數(shù)。可是，歷史上引進(jìn)虛數(shù)，把實(shí)數(shù)集擴(kuò)充到復(fù)數(shù)集可不是件容易的事，那么，歷史上是如何引進(jìn)虛數(shù)的呢？

　　16世紀(jì)意大利米蘭學(xué)者卡當(dāng)（1501—1576）在1545年發(fā)表的《重要的藝術(shù)》一書中，公布了三次方程的一般解法，被后人稱之為“卡當(dāng)公式”。他是第一個把負(fù)數(shù)的平方根寫到公式中的數(shù)學(xué)家，并且在討論是否可能把10分成兩部分，使它們的乘積等于40時，他把答案寫成=40，盡管他認(rèn)為和這兩個表示式是沒有意義的、想象的、虛無飄渺的，但他還是把10分成了兩部分，并使它們的乘積等于40。給出“虛數(shù)”這一名稱的是法國數(shù)學(xué)家笛卡爾（1596—1650），他在《幾何學(xué)》（1637年發(fā)表）中使“虛的數(shù)’‘與“實(shí)的數(shù)”相對應(yīng)，從此，虛數(shù)才流傳開來。

　　數(shù)系中發(fā)現(xiàn)一顆新星──虛數(shù)，于是引起了數(shù)學(xué)界的一片困惑，很多大數(shù)學(xué)家都不承認(rèn)虛數(shù)。德國數(shù)學(xué)家菜不尼茨（1664—1716）在1702年說：“虛數(shù)是神靈遁跡的精微而奇異的隱避所，它大概是存在和虛妄兩界中的兩棲物”。瑞士數(shù)學(xué)大師歐拉（1707—1783）說；“一切形如，習(xí)的數(shù)學(xué)武子都是不可能有的，想象的數(shù)，因?yàn)樗鼈兯�表示的是�?fù)數(shù)的平方根。對于這類數(shù)，我們只能斷言，它們既不是什么都不是，也不比什么都不是多些什么，更不比什么都不是少些什么，它們純屬虛幻�！比欢�，真理性的東西一定可以經(jīng)得住時間和空間的考驗(yàn)，最終占有自己的一席之地。法國數(shù)學(xué)家達(dá)蘭貝爾（1717—1783）在1747年指出，如果按照多項(xiàng)式的四則運(yùn)算規(guī)則對虛數(shù)進(jìn)行運(yùn)算，那么它的結(jié)果總是的形式（a、b都是實(shí)數(shù)）（說明：現(xiàn)行教科書中沒有使用記號＝－i，而使用=一1）。法國數(shù)學(xué)家棣莫佛（1667—1754）在1730年發(fā)現(xiàn)公式了，這就是著名的探莫佛定理。歐拉在1748年發(fā)現(xiàn)了有名的關(guān)系式，并且是他在《微分公式》（1777年）一文中第一次用i來表示一1的平方根，首創(chuàng)了用符號i作為虛數(shù)的單位。“虛數(shù)”實(shí)際上不是想象出來的，而它是確實(shí)存在的。挪威的測量學(xué)家成塞爾（1745—1818）在1779年試圖給于這種虛數(shù)以直觀的幾何解釋，并首先發(fā)表其作法，然而沒有得到學(xué)術(shù)界的重視。

　　德國數(shù)學(xué)家高斯（1777—1855）在1806年公布了虛數(shù)的圖象表示法，即所有實(shí)數(shù)能用一條數(shù)軸表示，同樣，虛數(shù)也能用一個平面上的點(diǎn)來表示。在直角坐標(biāo)系中，橫軸上取對應(yīng)實(shí)數(shù)a的點(diǎn)A，縱軸上取對應(yīng)實(shí)數(shù)b的點(diǎn)B，并過這兩點(diǎn)引平行于坐標(biāo)軸的直線，它們的交點(diǎn)C就表示復(fù)數(shù)a＋bi。象這樣，由各點(diǎn)都對應(yīng)復(fù)數(shù)的平面叫做“復(fù)平面”，后來又稱“高斯平面”。高斯在1831年，用實(shí)數(shù)組（a，b）代表復(fù)數(shù)a＋bi，并建立了復(fù)數(shù)的某些運(yùn)算，使得復(fù)數(shù)的某些運(yùn)算也象實(shí)數(shù)一樣地“代數(shù)化”。他又在1832年第一次提出了“復(fù)數(shù)”這個名詞，還將表示平面上同一點(diǎn)的兩種不同方法──直角坐標(biāo)法和極坐標(biāo)法加以綜合。統(tǒng)一于表示同一復(fù)數(shù)的代數(shù)式和三角式兩種形式中，并把數(shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)—一對應(yīng)，擴(kuò)展為平面上的點(diǎn)與復(fù)數(shù)—一對應(yīng)。高斯不僅把復(fù)數(shù)看作平面上的點(diǎn)，而且還看作是一種向量，并利用復(fù)數(shù)與向量之間—一對應(yīng)的關(guān)系，闡述了復(fù)數(shù)的幾何加法與乘法。至此，復(fù)數(shù)理論才比

　　較完整和系統(tǒng)地建立起來了。

　　經(jīng)過許多數(shù)學(xué)家長期不懈的努力，深刻探討并發(fā)展了復(fù)數(shù)理論，才使得在數(shù)學(xué)領(lǐng)域游蕩了200年的幽靈──虛數(shù)揭去了神秘的面紗，顯現(xiàn)出它的本來面目，原來虛數(shù)不虛呵。虛數(shù)成為了數(shù)系大家庭中一員，從而實(shí)數(shù)集才擴(kuò)充到了復(fù)數(shù)集。

　　隨著科學(xué)和技術(shù)的進(jìn)步，復(fù)數(shù)理論已越來越顯出它的重要性，它不但對于數(shù)學(xué)本身的發(fā)展有著極其重要的意義，而且為證明機(jī)翼上升力的基本定理起到了重要作用，并在解決堤壩滲水的問題中顯示了它的威力，也為建立巨大水電站提供了重要的理論依據(jù)。

　　多考資料；

　　《趣味數(shù)學(xué)史話》張開新

　　選自《中學(xué)生數(shù)學(xué)》2001年4月上

　　鴿籠原理

　　一、一個匈牙利數(shù)學(xué)家小時的故事

　　路易·波薩（Louis Pósa）是匈牙利的年青數(shù)學(xué)家，1988年時約40歲。他在14歲時就已能夠發(fā)表有相當(dāng)深度的數(shù)學(xué)論文。大學(xué)還沒有讀完，就已獲得科學(xué)博士的頭銜。

　　他的媽媽是一個數(shù)學(xué)家。小時他受母親的影響，很愛思考問題。母親看他對數(shù)學(xué)有興趣，也鼓勵他在這方面發(fā)展。她給他一些數(shù)學(xué)游戲，或數(shù)學(xué)玩具啟發(fā)他獨(dú)立思考問題。在母親的循循善誘之下，他在讀小學(xué)時已經(jīng)自己拿高中的數(shù)學(xué)書來看了。真正訓(xùn)練他成為一個數(shù)學(xué)家的是匈牙利鼎鼎有名的大數(shù)學(xué)家。

　　厄杜斯在數(shù)論、圖論等數(shù)學(xué)分支有很深入的研究，他把一生獻(xiàn)給數(shù)學(xué)，從來沒有想到結(jié)婚，只和自己的母親為伴，他經(jīng)常離開自己的祖國到外國去作研究和演講。在東歐國家里像厄杜斯能這樣隨意離開自己的國家進(jìn)出西方世界的數(shù)學(xué)家并不太多。他到處以數(shù)學(xué)會友，他在數(shù)學(xué)方面的多產(chǎn)，以及在解決問題上有巧妙的方法，使他在世界數(shù)學(xué)界上享有甚高的聲譽(yù)。對于他的祖國來講，他重要的貢獻(xiàn)不單是在數(shù)學(xué)的研究，而是他一回到自己的國家就專心致志地培養(yǎng)年青一代的數(shù)學(xué)家，告訴他們外國目前數(shù)學(xué)家注意的問題，擴(kuò)大他們的視野。

　　我這里要講他怎么樣發(fā)現(xiàn)路易·波薩的才能的故事。

　　有一次他從國外回來后，聽到朋友講起有一個很聰明的小東西，在小學(xué)能解決許多困難的數(shù)學(xué)問題，于是就登門拜訪這小鬼的家庭。

　　波薩的家人很高興請厄杜斯教授共進(jìn)晚餐。在喝湯的時候，厄杜斯想考一考坐在他旁邊的12歲小孩的能力，于是就問他這樣的一個問題：

　　“如果你手頭上有n+1個整數(shù)，而這些整數(shù)是小于或等于2n，那么你一定會有一對數(shù)是互素的。你知道這是什么原因嗎？”

　　這小鬼不到半分鐘的思考，就很快給出這個問題的解答。他的解答又是那么巧妙，使得厄杜斯教授嘆服。認(rèn)為這是一個難得的“英才”，應(yīng)該好好地培養(yǎng)。

　　厄杜斯以后系統(tǒng)地教這小鬼數(shù)學(xué)，不到兩年的時間波薩就成為一個“小數(shù)學(xué)家”了，而且發(fā)現(xiàn)在圖論一些深湛的定理。

　　二、波薩怎樣解決厄杜斯提的問題

　　對于許多離開學(xué)校很久的讀者，我想做一點(diǎn)解釋厄杜斯提出的問題。

　　首先我們解釋：一對數(shù)是互素是什么意思？

　　我們知道如果把自然數(shù)1，2，3，4，5，…照大小排起來，從2開始像2，3，5，7，11，13，17，19，23，…，等數(shù)都有這樣特別的性質(zhì)：除1和本身以外，再找不到比它小的數(shù)能整除它。

　　具有這樣特殊性質(zhì)的數(shù)我們稱它為素?cái)?shù)（Prime number）。

　　我們小學(xué)時不是學(xué)習(xí)過把整數(shù)因子分解嗎？那就是把整數(shù)用素?cái)?shù)的乘積來表示。例如50＝2×5×5，108=2×2×3×3×3＝22×33。

　　兩個自然數(shù)稱為互素（Coprime），如果把它們表示成素?cái)?shù)乘積時，找不到它們有公共的素因數(shù)。例如{8，11}一對數(shù)是互素。10和108不是互素，因?yàn)樗鼈冇泄�共的素因�?shù)2。

　　現(xiàn)在讓我們來理解厄杜斯的問題。先對一些特殊的情況來考慮：

　　當(dāng)n=2時，我們手頭上有3個整數(shù)，這些整數(shù)是小于或等于4，可以選出的只是{2，3，4}，不包含1，很明顯的看出{2，3}或{3，4}是互素的。

　　n=3時，在小于或等于6的整數(shù)找4個整數(shù)組（不要包含1），可能找出的有{2，3，4，5}，{2，3，4，6}，{3，4，5，6}，{2，4，5，6}等等。你一個個檢查一定會在每組中找出最少一對互素的數(shù)。

　　可以看出隨著n增大時，構(gòu)造n＋1個不同數(shù)的數(shù)組的個數(shù)就會增加很大。如果我們是這樣一個一個地對這些數(shù)組來檢查證明，這真會成為：“吾生也有涯，而數(shù)無涯”，那時候皓首不但窮盡不了，最后真是要“嗚呼哀哉”了！

　　如果讀者中有人說：“我有苦干和拚命干的精神！”我還是要勸他不要用這樣的苦干法，應(yīng)該學(xué)會“巧干”，這才是最重要的。不然的話，人家小孩子用不到半分鐘就解決了的問題，而我們苦干再加上拚命干卻花一生還沒法子解決，這不是太浪費(fèi)生命嗎？

　　我現(xiàn)在準(zhǔn)備介紹波薩對這問題的解法�？墒俏蚁Ｍ�讀者先自己想想看怎么樣解決這問題。如果你能找到和下面不同的解決方法，請來信告訴我。如果你花過一些時間還想不出，那么就請讀下去，你這時就會欣賞波薩解決方法的巧妙，而最重要的你會學(xué)懂“鴿籠原理”，說不定以后你成為業(yè)余數(shù)學(xué)家或者專業(yè)數(shù)學(xué)家還會用到這個原理呢！

　　波薩是這樣考慮問題：取n個盒子，在第一個盒子我們放1和2，在第二個盒子我們放3和4，第三個盒子是放5和6，依此類推直到第n個盒子放2n-1和2n這兩個數(shù)。

　　現(xiàn)在我們在n個盒子里隨意抽出n＋1個數(shù)。我們馬上看到一定有一個盒子是被抽空的。因此在這n+1個數(shù)中曾有兩個數(shù)是連續(xù)數(shù)，很明顯的連續(xù)數(shù)是互素的。因此這問題就解決了！

　　你說這個解法是不是很容易明白又非常巧妙呢？！

　　三、鴿籠原理

　　波薩在證明過程中用到在數(shù)學(xué)上稱為鴿籠原理（PigeonholePrinciple）的東西。這原理是這樣說的：如果把n+1個東西放進(jìn)n個盒子里，有一些盒子必須包含最少2個東西。

　　有高六層的鴿籠，每一層有四個間隔，所以總共有6×4＝24個鴿籠。現(xiàn)在我放進(jìn)25只鴿進(jìn)去，你一定看到有一個鴿籠會有2只鴿要擠在一起。

　　鴿籠原理就是這么簡單，3歲以上的小孩子都會明白。

　　可是這原理在數(shù)學(xué)上卻是有很重要的應(yīng)用。

　　在19世紀(jì)時一個名叫狄利克雷（Dirichlet 1805—1859）的數(shù)學(xué)家，在研究數(shù)論的問題時最早很巧妙運(yùn)用鴿籠原理去解決問題。后來德國數(shù)學(xué)家敏古斯基（Minkowski 1864—1909）也運(yùn)用這原理得到一些結(jié)果。

　　到了20世紀(jì)初期杜爾（A．Thue 1863—1922）在不知道狄利克雷和敏古斯基的工作情況下，很機(jī)巧地利用鴿籠原理來解決不定方程的有理數(shù)解的問題，有12篇論文是用到這個原理。

　　后來西根（C．L．Siegel，1896—？）利用杜爾的結(jié)果發(fā)現(xiàn)了現(xiàn)在稱為西根引理的東西，這引理（Lemma）是在研究超越數(shù)時是最基本必用的工具。

　　因此讀者不要小看這個看來簡單的原理，你如果善于運(yùn)用是能幫助你解決一些數(shù)學(xué)難題的。

　　四、鴿籠原理的日常運(yùn)用

　　我這里舉一些和日常生活有關(guān)的一些問題，你可以看到數(shù)學(xué)在這里的運(yùn)用。

　�。�1）月黑風(fēng)高穿襪子

　　有一個晚上你的房間的電燈忽然間壞了，伸手不見五指，而你又要出去，于是你就摸床底下的襪子。你有三雙分別為紅、白、藍(lán)顏色的襪子，可是你平時做事隨便，一脫襪就亂丟，在黑暗中不能知道哪一雙是顏色相同的。

　　你想拿最少數(shù)目的襪子出去，在外面借街燈配成同顏色的一雙。這最少數(shù)目應(yīng)該是多少？

　　如果你懂得鴿籠原理，你就會知道只需拿出去四只襪子就行了。

　　為什么呢？因?yàn)槿绻�我們有三個涂上紅、白、藍(lán)的盒子，里面各放進(jìn)相對顏色的襪子，只要我們抽出4只襪子一定有一個盒子是空的，那么這空的盒子取出的襪子是可以拿來穿。

　�。�2）手指紋和頭發(fā)

　　據(jù)說世界上沒有兩個人的手指紋是一樣的，因此警方在處理犯罪問題時很重視手指紋，希望通過手指紋來破案或檢定犯人。

　　可是你知道不知道：在12億中國人當(dāng)中，最少有兩個人的頭發(fā)是一樣的多？

　　道理是很簡單，人的頭發(fā)數(shù)目是不會超過12億這么大的數(shù)目字！假定人最多有N根頭發(fā)�，F(xiàn)在我們想像有編上號碼1，2，3，4，…一直到N的房子。

　　誰有多少頭發(fā)，誰就進(jìn)入那編號和他的頭發(fā)數(shù)相同的房子去。因此張樂平先生的“三毛”應(yīng)該進(jìn)入“3號房子”。

　　現(xiàn)在假定每間房巳進(jìn)入一個人，那么還剩下“九億減N”個人，這數(shù)目不會等于零，我們現(xiàn)在隨便挑一個放進(jìn)一間和他頭發(fā)數(shù)相同的房子，他就會在里面遇到和他有相同頭發(fā)數(shù)目的同志了。

　�。�3）戲院觀眾的生日

　　在一間能容納1500個座位的戲院里，證明如果戲院坐滿人時，一定最少有五個觀眾是同月同日生。

　　現(xiàn)在假定一年有三百六十五天。想像有一個很大的鴿子籠，這籠有編上“一月一日”，“一月二日”，至到“十二月三十一日”為止的標(biāo)志的間隔。

　　假定現(xiàn)在每個間隔都塞進(jìn)四個人，那么 4×365=1460個是進(jìn)去鴿子籠子里去，還剩下1500-1460=40人。只要任何一人進(jìn)入鴿子籠，就有五個人是有相同的生日了。

　　五、鴿籠原理在數(shù)學(xué)上的運(yùn)用

　　現(xiàn)在我想舉一些數(shù)學(xué)上的問題說明鴿籠原理的運(yùn)用。

　�。�1）斐波那契數(shù)的一個性質(zhì)

　　斐波那契數(shù)列是這樣的數(shù)列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…。從1，1以后的各項(xiàng)是前面兩項(xiàng)的數(shù)的和組成。

　　在18世紀(jì)時法國大數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家拉格朗日（J．L．La-grange）發(fā)現(xiàn)這斐波那契數(shù)有這樣有趣的性質(zhì)：

　　如果你用2來除各項(xiàng)，并寫下它的余數(shù)，你會看到這樣的情形1，1，0，1，1，0，1，1，0，…

　　如果用3來除各項(xiàng)，寫下它的余數(shù)，你就得到

　　1，1，2，0，2，2，1，0，1，1，2，0，2，2，1，0，…

　　如果用4來除各項(xiàng)，寫下它的余數(shù)，你就會得到

　　1，1，2，3，1，0，1，1，2，3，1，0，…

　　現(xiàn)在觀察用2除所得的數(shù)列，從開頭算起每隔三段，后面的數(shù)列就重復(fù)前面的數(shù)列。用3除所得的數(shù)列，從開頭算起每隔八段，后面的數(shù)列就重復(fù)前面的數(shù)列樣子。對于以4除所得的余數(shù)數(shù)列也有同樣的情況：每隔六段，后面的數(shù)列就重復(fù)前面的數(shù)列樣子。

　　拉格朗日發(fā)現(xiàn)不管你用什么數(shù)字去除，余數(shù)數(shù)列會出現(xiàn)有規(guī)律的重復(fù)現(xiàn)象。

　　為什么會有這樣的現(xiàn)象呢？

　　如果我們用一個整數(shù)K來除斐波那契數(shù)列的數(shù)，它可能的余數(shù)是0，1，2，…，K－1。

　　由于在斐波那契數(shù)的每一項(xiàng)是前面兩項(xiàng)的和，它被K除后的余數(shù)是等于前兩項(xiàng)被K除余數(shù)的和。（注意：如果這和是大過K，我們?nèi)∷�被K除后的余數(shù)）只要有一對相鄰的余數(shù)重復(fù)出現(xiàn)，那么以后的數(shù)列從那對數(shù)開始就會重復(fù)出現(xiàn)了。不同對相鄰余數(shù)可能的數(shù)目有K2個，因此由鴿籠原理，我們知道只要適當(dāng)大的項(xiàng)數(shù)，一定會有一對相鄰余數(shù)重復(fù)。因此斐波那契數(shù)列的余數(shù)數(shù)列會有周期重復(fù)現(xiàn)象。

　�。�2）五個大頭釘在等邊三角板里的位置

　　有一個每邊長2單位的正三角形（即三邊都相等的三角形）的三角板。

　　你隨便在上面釘上五個大頭釘，一定會有一對大頭釘?shù)木嚯x是小過一單位。

　　你不相信的話，可以做幾次實(shí)驗(yàn)看看是否一直是如此。我現(xiàn)在要用鴿籠原理來解決這個問題。

　　在三角板的每邊取中點(diǎn)，然后用線段連結(jié)這些中點(diǎn)，把這正三角形分成四個全等的小正三角形圖�，F(xiàn)在在每一個小三角形里任何兩點(diǎn)的距離是不會超過1個單位。

　　由于我們有五個大頭釘，不管怎么樣放一定有兩個要落進(jìn)同一個小正三角形里，因此這兩個大頭釘?shù)木嚯x是不會超過一個單位。

　　六、動腦筋 想想看

　　（1）給出任意12個數(shù)字，證明當(dāng)用11來除時，一定有一對數(shù)的余數(shù)是相同。

　�。�2）如果在一個每邊都是2單位的正三角形板上隨便釘上17個大

　�。�3）如果在一個每邊都是2單位的正方形板上隨便釘上5根釘，

　　（4）我們一定能夠在一個每邊都是2單位長的正方形板上適當(dāng)?shù)尼斏?根釘，使它們之中不存在有兩根釘?shù)木嚯x是小于1單位。

　　（5）（英國數(shù)學(xué)奧林匹克1975年的問題）在一個半徑為1單位的圓板上釘7個釘，使得沒有兩個釘?shù)木嚯x是大過或等于1，那么這7個釘一定會有一個位置恰好是在圓心上。

　　（6）任意6個人在一起，一定會有其中兩種情形之一發(fā)生：第一種情形──有3個人互相認(rèn)識。第二種情形──有3個人，他們之間完全不認(rèn)識。

　�。�7）（a）你能不能在從1到200的整數(shù)里挑選出100個自然數(shù)，使到任何其中之一不能整除剩下的99個數(shù)。

　�。╞）證明如果在從1到200間隨便取101個自然數(shù)，那么一定最少有兩個自然數(shù)，其中之一能整除另外的數(shù)。

　�。�8）隨便給出10個10位數(shù)的數(shù)字，我們一定能把它分成兩部分，使到每一部分的整數(shù)的和是等于其他一部分的整數(shù)的和。

　　高一數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)從學(xué)會到會學(xué)二

　　為大家提供“高一數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)從學(xué)會到會學(xué)二”一文，供大家參考使用：

　　高一數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)從學(xué)會到會學(xué)二

　　善于歸納總結(jié)知識間的聯(lián)系

　　學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)并非我做題就可以取得好的成績，而是要將精力花在歸納總結(jié)上。特別對課本或課堂上出現(xiàn)的例題，只要善于總結(jié)，就可以了解這一小節(jié)數(shù)學(xué)內(nèi)容有哪幾種題型，每種題目的一般解法和思路是什么，從而提高運(yùn)用所學(xué)知識分析解題的能力。同時，每學(xué)完一個單元，要建立本單元的知識框架，將本章的主要思路、推理方法及運(yùn)用技巧等轉(zhuǎn)變成自己的實(shí)際技能。

　　學(xué)會發(fā)現(xiàn)問題，并重視質(zhì)疑在學(xué)習(xí)中�？吹匠煽兒每赐瑢W(xué)，總是有很多問題問老師，而成績差的同學(xué)卻提不出什么問題。提出疑問不僅是發(fā)現(xiàn)真知的起點(diǎn)，而且是發(fā)明創(chuàng)造的開端。提高學(xué)習(xí)成績的過程就是發(fā)現(xiàn)，提出并解決疑問的過程。大膽向老師質(zhì)疑，不是笨的反映，而是在追求真知、積極進(jìn)取的表現(xiàn)。在聽課中，不但要“知其然”，還要“知其所以然”，這樣疑問也就在不斷產(chǎn)生，再加以分析思考使問題得以解決，學(xué)習(xí)也就得到了長進(jìn)。

　　以上就是“高一數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)從學(xué)會到會學(xué)二”的所有內(nèi)容，希望對大家有所幫助!

　　高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)需重視的五個問題

　　一、應(yīng)用性問題

　　教學(xué)大綱指出：要增強(qiáng)用數(shù)學(xué)的意識，一方面通過背景材料，進(jìn)行觀察、比較、分析、綜合、抽象和推理，得出數(shù)學(xué)概念和規(guī)律，另一方面更重要的是能夠運(yùn)用已有的知識將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題，建立數(shù)學(xué)模型。近幾年的數(shù)學(xué)高考加大了應(yīng)用性試題的考查力度，數(shù)量上穩(wěn)定為兩小一大;質(zhì)量上更加貼近生產(chǎn)和生活實(shí)際，體現(xiàn)科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，更加貼近中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)際。解答應(yīng)用性試題，要重視兩個環(huán)節(jié)，一是閱讀、理解問題中陳述的材料;二是通過抽象，轉(zhuǎn)換成為數(shù)學(xué)問題，建立數(shù)學(xué)模型。函數(shù)模型、數(shù)列模型、不等式模型、幾何模型、計(jì)數(shù)模型是幾種最常見的數(shù)學(xué)模型，要注意歸納整理，用好這幾種數(shù)學(xué)模型。

　　二、最值和定值問題

　　最值和定值是變量在變化過程中的兩個特定狀態(tài)，最值著眼于變量的最大?。定值著眼于變量在變化過程中的某個不變量。近幾年的數(shù)學(xué)高考試題中，出現(xiàn)過各種各樣的最值問題和定值問題，選用的知識載體多種多樣，代數(shù)、三角、立體幾何、解析幾何都曾出現(xiàn)過有關(guān)最值或定值的試題，有些應(yīng)用問題也常以最大?。設(shè)問的方式。分析和解決最值問題和定值問題的思路和方法也是多種多樣的。命制最值問題和定值問題能較好體現(xiàn)數(shù)學(xué)高考試題的命題原則。應(yīng)對最值問題和定值問題，最重要的是認(rèn)真分析題目的情景，合理選用解題的方法。

　　三、參數(shù)問題

　　參數(shù)兼有常數(shù)和變數(shù)的雙重特征，是數(shù)學(xué)中的“活潑”元素，曲線的參數(shù)方程，含參數(shù)的曲線方程，含參變系數(shù)的函數(shù)式、方程、不等式等，都與參數(shù)有關(guān)。函數(shù)圖象與幾何圖形的各種變換也與參數(shù)有關(guān)，有的探究性問題也與參數(shù)有關(guān)。參數(shù)具有很強(qiáng)的“親和力”，能廣泛選用知識載體，能有效考查數(shù)形結(jié)合、分類討論、運(yùn)動變換等數(shù)學(xué)思想方法。應(yīng)對參數(shù)問題要把握好兩個環(huán)節(jié)，一是搞清楚參數(shù)的意義特別是具有幾何意義的參數(shù)，一定要運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法處理好圖形的幾何特征與相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系的相互聯(lián)系及相互轉(zhuǎn)換。二是要重視參數(shù)的取值的討論，或是用待定系數(shù)法確定參數(shù)的值，或是用不等式的變換確定參數(shù)的取值范圍。

　　四、代數(shù)證明題

　　近幾年的數(shù)學(xué)高考注意控制立體幾何試題的難度，推理論證能力的考查重點(diǎn)轉(zhuǎn)移到代數(shù)與解析幾何證明題。函數(shù)的性質(zhì)及相關(guān)函數(shù)的證明題;數(shù)列的性質(zhì)及相關(guān)數(shù)列的證明題;不等式的證明題，尤其是與函數(shù)或數(shù)列相綜合的不等式的證明題等，都頻頻出現(xiàn)在近幾年的數(shù)學(xué)高考試題之中。應(yīng)對代數(shù)證明題，一是要全面審視各相關(guān)因素的關(guān)系，注意題目的整體結(jié)構(gòu);二是要完整、準(zhǔn)確表述推理論證的過程，對于具有幾何意義的代數(shù)證明題，要妥善處理幾何直觀、數(shù)式變換及推理論證的關(guān)系，注意防止簡單運(yùn)用“如圖可知”替代推理論證。

　　五、探究性問題

　　近幾年的數(shù)學(xué)高考貫徹了“多考一點(diǎn)想，少考一點(diǎn)算”的命題意圖，加大試題的思維量，控制試題的運(yùn)算量，突出對數(shù)學(xué)的“核心能力”——思維能力的考查。有些試題設(shè)計(jì)了新穎的情景，有些試題設(shè)計(jì)了靈活的設(shè)問方式，有些試題設(shè)計(jì)了新的題型結(jié)構(gòu)或必要條件的問題等?這樣的試題有助于克服死記硬背和機(jī)械照搬，優(yōu)化考查功能。應(yīng)對探究性問題要審慎處理“閱讀理解”和“整體設(shè)計(jì)”兩個環(huán)節(jié)，首先要把題目讀懂，全面、準(zhǔn)確把握題目提供的所有信息和題目提出的所有要求，在此基礎(chǔ)上分析題目的整體結(jié)構(gòu)，找好解題的切入點(diǎn)，對解題的主要過程有一個初步的設(shè)計(jì)，再落筆解題。在思維受阻時，及時調(diào)整解題方案。切忌一知半解就動手解題。

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　　坐標(biāo)系的由來

　　傳說中有這么一個故事：

　　有一天，笛卡爾（1596—1650，法國哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家）生病臥床，但他頭腦一直沒有休息，在反復(fù)思考一個問題：幾何圖形是直觀的，而代數(shù)方程則比較抽象，能不能用幾何圖形來表示方程呢？這里，關(guān)鍵是如何把組成幾何的圖形的點(diǎn)和滿足方程的每一組“數(shù)”掛上鉤。他就拼命琢磨。通過什么樣的辦法、才能把“點(diǎn)”和“數(shù)”聯(lián)系起來。突然，他看見屋頂角上的一只蜘蛛，拉著絲垂了下來，一會兒，蜘蛛又順著絲爬上去，在上邊左右拉絲。蜘蛛的“表演”，使笛卡爾思路豁然開朗。他想，可以把蜘蛛看做一個點(diǎn)，它在屋子里可以上、下、左、右運(yùn)動，能不能把蜘蛛的每個位置用一組數(shù)確定下來呢？他又想，屋子里相鄰的兩面墻與地面交出了三條線，如果把地面上的墻角作為起點(diǎn)，把交出來的三條線作為三根數(shù)軸，那么空間中任意一點(diǎn)的位置，不是都可以用這三根數(shù)軸上找到的有順序的三個數(shù)來表示嗎？反過來，任意給一組三個有順序的數(shù)，例如3、2、1，也可以用空間中的一個點(diǎn) P來表示它們（如圖 1）。同樣，用一組數(shù)（a， b）可以表示平面上的一個點(diǎn)，平面上的一個點(diǎn)也可以用一組二個有順序的數(shù)來表示（如圖2）。于是在蜘蛛的啟示下，笛卡爾創(chuàng)建了直角坐標(biāo)系。

　　圖1

　　圖2

　　無論這個傳說的可靠性如何，有一點(diǎn)是可以肯定的，就是笛卡爾是個勤于思考的人。這個有趣的傳說，就象瓦特看到蒸汽沖起開水壺蓋發(fā)明了蒸汽機(jī)一樣，說明笛卡爾在創(chuàng)建直角坐標(biāo)系的過程中，很可能是受到周圍一些事物的啟發(fā)，觸發(fā)了靈感。

　　直角坐標(biāo)系的創(chuàng)建，在代數(shù)和幾何上架起了一座橋梁。它使幾何概念得以用代數(shù)的方法來描述，幾何圖形可以通過代數(shù)形式來表達(dá)，這樣便可將先進(jìn)的代數(shù)方法應(yīng)用于幾何學(xué)的研究 高中地理。

　　笛卡爾在創(chuàng)建直角坐標(biāo)系的基礎(chǔ)上，創(chuàng)造了用代數(shù)方法來研究幾何圖形的數(shù)學(xué)分支——解析幾何。他的設(shè)想是：只要把幾何圖形看成是動點(diǎn)的運(yùn)動軌跡，就可以把幾何圖形看成是由具有某種共同特性的點(diǎn)組成的。比如，我們把圓看成是一個動點(diǎn)對定點(diǎn)O作等距離運(yùn)動的軌跡，也就可以把圓看作是由無數(shù)到定點(diǎn)O的距離相等的點(diǎn)組成的。我們把點(diǎn)看作是留成圖形的基本元素，把數(shù)看成是組成方程的基本元素，只要把點(diǎn)和數(shù)掛上鉤，也就可以把幾何和代數(shù)掛上鉤。

　　把圖形看成點(diǎn)的運(yùn)動軌跡，這個想法很重要！它從指導(dǎo)思想上，改變了傳統(tǒng)的幾何方法。笛卡爾根據(jù)自己的這個想法，在《幾何學(xué)》中，最早為運(yùn)動著的點(diǎn)建立坐標(biāo)，開創(chuàng)了幾何和代數(shù)掛鉤的解析幾何。在解析幾何中，動點(diǎn)的坐標(biāo)就成了變數(shù)，這是數(shù)學(xué)第一次引進(jìn)變數(shù)。

　　恩格斯高度評價笛卡爾的工作，他說：“數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)折點(diǎn)是笛卡爾的變數(shù)。有了變數(shù)，運(yùn)動進(jìn)入了數(shù)學(xué)，有了變數(shù)，辯證法進(jìn)入了數(shù)學(xué)�！�

　　坐標(biāo)方法在日常生活中用得很多。例如象棋、國際象棋中棋子的定位；電影院、劇院、體育館的看臺、火車車廂的座位及高層建筑的房間編號等都用到坐標(biāo)的概念。

　　隨著同學(xué)們知識的不斷增加，坐標(biāo)方法的應(yīng)用會更加廣泛。

　　高三數(shù)學(xué)教學(xué)進(jìn)度及復(fù)習(xí)計(jì)劃

　　一、目的

　　為了能做到有計(jì)劃、有步驟、有地完成學(xué)科教學(xué)，正確把握整個的節(jié)奏，明確不同階段的任務(wù)及其目標(biāo)，做到針對性強(qiáng)，使得各方面的具體要求落實(shí)到位，特制定此計(jì)劃，并作出具體要求。

　　二、計(jì)劃

　　1、第一輪復(fù)習(xí)順序：

　　（1）集合與簡易邏輯→不等式→函數(shù)→導(dǎo)數(shù)（含積分）→數(shù)列（含數(shù)學(xué)歸納法、推理與證明）。

　�。�2）三角函數(shù)→向量→立體幾何→解析幾何。

　�。�3）排列與組合→概率與統(tǒng)計(jì)→復(fù)數(shù)→算法與框圖。

　　2、第一輪復(fù)習(xí)目標(biāo)：全面掌握好概念、公式、定理、公理、推論等基礎(chǔ)，切實(shí)落實(shí)好課本中典型的例題和課后典型的練習(xí)題，落實(shí)好每次課的作業(yè)，使能較熟練地運(yùn)用基礎(chǔ)解決簡單的數(shù)學(xué)問題。同時搞好每個單元的跟蹤檢測，注重課本習(xí)題的改造，單元存在的問題在月考中去強(qiáng)化、落實(shí)。

　　3、第二輪復(fù)習(xí)順序：選擇題解法→填空題解法→數(shù)學(xué)→數(shù)學(xué)思想→重要知識點(diǎn)的專題深化。

　　4、第二輪復(fù)習(xí)目標(biāo)：在進(jìn)一步鞏固基礎(chǔ)知識的前提下，注重方法、思想、重要知識的專題深化，使學(xué)生能熟練地運(yùn)用基礎(chǔ)知識和數(shù)學(xué)方法、思想解決較為復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題。同時落實(shí)好每次測試，每月一次的診斷性綜合，并對存在的問題作好整理，為第三輪復(fù)習(xí)作好前期工作。

　　5、第三輪復(fù)習(xí)順序：每周一次模擬考試→查漏補(bǔ)缺訓(xùn)練→規(guī)范答題卡訓(xùn)練。

　　6、第三輪復(fù)習(xí)目標(biāo)：對準(zhǔn)常見題型進(jìn)行強(qiáng)化落實(shí)訓(xùn)練、查漏補(bǔ)缺訓(xùn)練和答題卡作答規(guī)范化的訓(xùn)練，同時落實(shí)好每次課的作業(yè)，每周扎扎實(shí)實(shí)地完成一套模擬，使學(xué)生形成完整的知識體系和較高的適應(yīng)的數(shù)學(xué)綜合。

　　7、復(fù)習(xí)時間表：

　　周次起止時間內(nèi)容

　　下學(xué)期和暑期集合的概念與運(yùn)算，函數(shù)的概念；函數(shù)的解析式與定義域；函數(shù)的值域，函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性；函數(shù)的圖象；二次函數(shù)，指數(shù)、對數(shù)和冪函數(shù)；綜合應(yīng)用，導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，積分的概念和應(yīng)用

　　等差數(shù)列；等比數(shù)列

　　第1周8.8——8.12；數(shù)列的通項(xiàng)與求和

　　第2周8.13——8.19三角函數(shù)的概念；三角函數(shù)的恒等變形；三角函數(shù)中的求值問題

　　第3周8.20——8.26三角函數(shù)的性質(zhì)；y=Asin（ωx+φ）的圖象及性質(zhì)；三角形內(nèi)的三角函數(shù)問題；三角函數(shù)的最值、綜合應(yīng)用

　　第4周8.27——9.2向量的基本運(yùn)算；向量的坐標(biāo)運(yùn)算；平面向量的數(shù)量積

　　第5周9.3——9.9正弦和余弦定理；解三角形；綜合應(yīng)用

　　第6周9.10——9.16不等式和一元二次不等式

　　第7周9.17——9.23二元一次不等式和簡單的線性規(guī)劃；綜合應(yīng)用

　　第8周9.24——9.30簡單幾何體的三視圖和直觀圖；柱體、椎體和球體的表面積和體積

　　第9周10.1——10.7空間兩條直線的位置關(guān)系；線面平行和垂直的性質(zhì)和判定定理

　　第10周10.8——10.14空間中角與距離的解法；空間向量運(yùn)算及在立體幾何中的應(yīng)用

　　第11周10.15——10.21復(fù)習(xí)，章節(jié)訓(xùn)練

　　第12周10.22——10.28復(fù)習(xí)，綜合訓(xùn)練；期試

　　第13周11.3——11.11直線的方程；兩條直線的位置關(guān)系；圓的方程

　　第14周11.12——11.18直線與圓的位置關(guān)系；綜合應(yīng)用

　　第15周11.19——11.25橢圓；

　　第16周11.26——12.2雙曲線；拋物線

　　第17周12.3——12.9直線和圓錐曲線；軌跡；綜合應(yīng)用

　　第18周12.10——12.16排列與組合；.二項(xiàng)式定理；

　　第19周12.17——12.23等可能事件的概率；有關(guān)互斥事件、相互獨(dú)立事件的概率；綜合應(yīng)用

　　第20周12.24——12.30離散型隨機(jī)變量的分布列、期望與方差；統(tǒng)計(jì)的應(yīng)用；獨(dú)立性檢驗(yàn)

　　第21周1.1&mdash 高中數(shù)學(xué);—1.6算法

　　第22周1.7——1.13綜合訓(xùn)練

　　三、具體要求

　　1.三輪復(fù)習(xí)總體要求：科學(xué)安排，狠抓落實(shí)。要求第一輪復(fù)習(xí)立足于基礎(chǔ)知識和基本方法，起點(diǎn)不能太高，復(fù)習(xí)要有層次感，選題以容易題和中檔題為主，盡可能照顧絕大多數(shù)學(xué)生。這樣才能創(chuàng)造良好的氛圍，確�；�礎(chǔ)和方法扎實(shí)，同時盡可能縮短第一輪復(fù)習(xí)時間，給后面的拔高和的反復(fù)訓(xùn)練提供足夠的時間。第二、三輪復(fù)習(xí)要求起點(diǎn)較高，對準(zhǔn)中等及其以上學(xué)生，選題難度以中檔題為主，根據(jù)知識點(diǎn)的需要穿插少量綜合性較大的題，在整個復(fù)習(xí)過程中堅(jiān)持講練結(jié)合，體現(xiàn)學(xué)生的主動性，加強(qiáng)對所學(xué)方法的模仿訓(xùn)練，切實(shí)落實(shí)好作業(yè)、跟蹤檢測和信息反饋。

　　2、多互相，吸取他人優(yōu)點(diǎn)，揚(yáng)長避短，提高復(fù)習(xí)效率，在可能的情況下盡快統(tǒng)一一種可行的、科學(xué)的復(fù)習(xí)模式。

　　3、積極參加教研活動，利用教研活動，能創(chuàng)新、群策能力。本屆高三的教研活動以高考中的知識專題為主，如高考考什么？怎樣考？同時確定專題專人發(fā)言，并提供這方面的集。加強(qiáng)對每次單元測試和月考試卷考前的審題、考后的總結(jié)和評估，加強(qiáng)對和信息整理的互通，特別要加強(qiáng)對第三輪復(fù)習(xí)中高考常見大題的研討，加強(qiáng)針對性訓(xùn)練，突出效果。

　　4、作業(yè)要求：堅(jiān)持三輪都有單元測試的做法。務(wù)必落實(shí)好測試的做和評，搞好課后鞏固這一重要環(huán)節(jié)，力求在這方面有所突破和提高。

　　5、考試要求：堅(jiān)持考前審題和考后小結(jié)與評估，注重對反饋信息的整理（如知識和方法掌握不好的），大題各種方法探索及整理，每次考試主要采用自主命題、確定一人負(fù)責(zé)，全組共同討論的方式命制試題。模擬考試試題研究方向分組如下：文科：一組：侯曉玲，朱燕燕；二組：杜主任，于主任；理科：一組；于主任、冷曉輝；二組：侯曉玲、呂曉輝；三組：張，朱燕燕。

　　6、努力抓好各班總分靠前而數(shù)學(xué)成績偏弱的這一部分學(xué)生，通過重視、關(guān)注、關(guān)心、個別輔導(dǎo)，提高他們的學(xué)數(shù)學(xué)的積極性，確保升學(xué)率和平均分的提高。

　　衷心希望大家能同舟共濟(jì)，團(tuán)結(jié)協(xié)作，研討創(chuàng)新，發(fā)揚(yáng)拼搏、奉獻(xiàn)、吃苦耐勞精神，切實(shí)落實(shí)好工作中每一個環(huán)節(jié)，爭取取得優(yōu)異成績。

　　《3.1.2 用二分法求方程的近似解》測試題

　　一、選擇題

　　1.用二分法求函數(shù)的零點(diǎn)時，初始區(qū)間可選為( ).

　　A. B. C. D.

　　考查目的：考查函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理.

　　答案：B.

　　解析：∵，，∴，∴初始區(qū)間應(yīng)選為.

　　2.下列函數(shù)圖象與軸均有交點(diǎn)，其中能用二分法求函數(shù)零點(diǎn)近似值的是( ).

　　A.① B.② C.③ D.④

　　考查目的：考查能用二分法求零點(diǎn)的函數(shù)必須滿足的條件.

　　答案：C.

　　解析：能用二分法求零點(diǎn)的函數(shù)必須滿足在區(qū)間上連續(xù)不斷，且.

　　3.用二分法求方程在內(nèi)的近似根，要求精確度為0.01，則至少要使用( )次二分法.

　　A.5 B.6 C.7 D.8

　　考查目的：考查精確度的意義及用二分法求方程近似解的基本方法.

　　答案：C.

　　解析：精確度為0.01是指二分法停止在二分區(qū)間時，區(qū)間的長度.對于區(qū)間，二分一次區(qū)間長度為，二分二次區(qū)間長度為，二分三次區(qū)間長度為，…，二分六次區(qū)間長度為，二分七次區(qū)間長度為，故至少要使用七次二分法.

　　二、填空題

　　4.設(shè)，用二分法求方程在內(nèi)近似解過程中，得到，，，則方程的根落在的區(qū)間是 .

　　考查目的：考查函數(shù)零點(diǎn)存在性定理及用二分法求方程近似解的基本方法.

　　答案：.

　　解析：∵，∴答案應(yīng)該為.

　　5.用二分法求方程在區(qū)間內(nèi)的實(shí)根，取區(qū)間中點(diǎn)，那么下一個有根區(qū)間是__________．

　　考查目的：考查二分法求方程近似解的方法.

　　答案：.

　　解析：設(shè)，由計(jì)算器計(jì)算得，

　　，故，∴下一個有根區(qū)間是.

　　6.若函數(shù)的一個正數(shù)零點(diǎn)附近的函數(shù)值部分參考數(shù)據(jù)如下：

　　1

　　1.5

　　1.25

　　1.375

　　1.4375

　　1.40625

　　-2

　　0.625

　　-0.984

　　-0.260

　　0.162

　　-0.054

　　那么方程的一個近似根(精確度為0.1)為__________.

　　考查目的：考查二分法求方程近似解的基本方法與精確度的意義.

　　答案：.

　　解析：由表格知，，∴，而

　　，∴函數(shù)的一個零點(diǎn)近似值是，即為方程的一個近似根.

　　三、解答題

　　7.求方程的近似解(精確到0.1).

　　考查目的：考查函數(shù)零點(diǎn)的意義、精確度的意義和二分法求方程近似解的基本方法.

　　答案：1.4.

　　解析：令，結(jié)合與的圖象可知方程有唯一解.

　　∵，∴在區(qū)間內(nèi)，方程有一解，記為.取區(qū)間的中點(diǎn)，用計(jì)算器可得，∴.取的中點(diǎn)，計(jì)算，∴.如此繼續(xù)下去，得

　　∵1.375與1.4375精確到0.1的近似值都是1.4，∴原方程精確到0.1的近似值為1.4.

　　8.用二分法求函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的零點(diǎn)(精確到0.1).

　　考查目的：考查二分法求方程近似解的基本步驟及精確度的理解.

　　答案：2.3.

　　解析：∵的定義域?yàn)椋��?/p>

　　，∴，∴函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn).

　　又∵在定義域上是單調(diào)遞增的，

　　∴函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個零點(diǎn).

　　利用二分法計(jì)算，列表如下：

　　區(qū)間

　　中點(diǎn)值

　　中點(diǎn)函數(shù)近似值

　　(2，3)

　　2.5

　　0.12

　　(2，2.5)

　　2.25

　　-0.08

　　(2.25，2.5)

　　2.375

　　0.023

　　(2.25，2.375)

　　2.3125

　　-0.027

　　(2.3125，2.375)

　　2.34375

　　-0.0016

　　(2.34375，2.375)

　　2.359375

　　0.01

　　(2.34375，2.359375)

　　2.3515625

　　0.0046

　　(2.34375，2.3515625)

　　2.34765625

　　0.0015

　　(2.34375，2.34765625)

　　∵2.343 75與2.347 656 25精確到0.1的近似值都是2.3，

　　∴函數(shù)在區(qū)間內(nèi)零點(diǎn)的近似值是2.3.

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